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2.1向量及其运算2.2向量的线性关系


多媒体教学课件

华南农业大学理学院应用数学系

第二章
2.1
2.2

向量与线性方程组

向量及其运算
向量的线性关系

2.3
2.4

向量组与矩阵的秩
齐次线性方程组

2.5

非齐次线性方程组

?消元法解线性方程组的三种同解变形 ,用矩阵的初等行 变换表示了用消元法解线性方程组的过程。 ?n 个未知量n个方程的线性方程组,引进行列式的概念,若 系数行列式的值不等于0,那么可由克拉默法则表示出它的唯 一解。同时,这类方程也可以表示为矩阵方程,用求逆矩阵的 方法也能够表示出它的唯一解。 ?当方程组的系数行列式等于0,或者方程的个数少于未知量 的个数时,求逆矩阵和克拉默法则的这两种方法都失效了。 ?此时,是否有解?如果有,有几个?不止一个时,解与解之 间是什么联系?

2.1 向量及其运算
引例 一个方程对应一组数

a1x1 ? a2 x2 ?

? an xn ? b ? ? a1, a2 ,

, an , b ?

矩阵的一行对应一组数

线性方程组可对应一组数组;矩阵也可对应一组数组。 定义2.1
由n个数 a1 , a2 ,

, an 组成的有序数组 (a1 , a2 , , an ) 称为一个 n 维行向量,记作 ? ? (a1 , a2 , , an ) ,其中 ? a1 ? ai 称为向量 ? 的第i个分量(或坐标)。 ? ? a2 ? ? 如果将有序数组写成一列的形式,则称向量 ? ? ? ? ? ?a ? ? 为列向量。 ? n?

实际上,行向量即为一个行矩阵,列向量即为一个列矩阵。

●几个概念
1、同维向量:分量个数相等的向量称为同维向量。 2、相等向量:如果向量 ?与 ? 是同维向量,而且对应 的分量相等,则称向量 ?与

? 相等。

3、零向量:分量都是0的向量称为零向量,记作O。

4、负向量:称向量 ? ?a1, ?a2 ,
的负向量,记作 ?? 。

, ?an ? 为向量 ? ? ? a1 , a2 ,

, an ?

5、向量组:如果n个向量 ?1 , ? 2 , 向量组 ?1 , ? 2 , , ? n

, ? n 是同维向量,则称为

●向量的线性运算
1、向量的加减法 设

? ? ? a1, a2 , , an ? , ? = ?b1, b2 , , bn ? ,则称向量

? a1 ? b1, a2 ? b2 ,
量,记作 ?

, an ? bn ? 为向量 ? 与向量 ? 的和向

??

,称向量

? a1 ? b1, a2 ? b2 ,
??。

, an ? bn ?

为向量 ? 与向量 ? 的差向量,记作 ? 2、数乘向量 设向量 ? ? (a1 , a2 ,

, an ), ? ? R, 则称向量 (?a1, ?a2 , 为数 ? 与向量 ? 的数乘向量,记作 ??

, ?an )

向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算。

●向量线性运算的运算律

() 1 ? ? ? ? ? ?? (2) (? ? ?) ?? ?? ? (? ? ?) (3)? ? O ? ? (4) ? ? (?? ) ? O

交换律 结合律

(5) 1?? ? ? (6) ? (?? ) ? ? (?? ) ? (?? )? (7) ? (? ? ?)=?? ? ??
(8) (? ? ? )? ? ?? ? ??
分配律

例1

设向量? ? (2, ?1 , 0) , ?? (?11 , , 3),求3? ? 4?



3? ? 4? ? 3 ? 2, ? 1, 0 ? ? 4 ? ?11 , , 3? ? ? 6, ? 3, 0 ? ? ? ?4, 4, 12 ? ? ?10, ? 7, ? 12 ?

练习:已知 ? ? ?3,5,7,9? , ? ? ? ?1,5,2,0? , ? ? ? ? ? ,求 ?


? ? ? ? ? ? ? ?4,0, ?5, ?9?

●线性方程组的向量表达式

线性方程组

?a11 x1 ? a12 x2 ? ? a1n xn ? b1 ?a x ? a x ? ? a x ? b ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ? ? ?am1 x1 ? am 2 x2 ? ? amn xn ? bm

(1)

? a1 j ? ? ? a2 j ? ? ( j ? 1, 2, 若记 ? j ? ? ? ? ?a ? ? mj ? ?
则方程组有向量形式

, n)

? j 即为系数矩阵的第 j 列

x1?1 ? x2?2 ?

? xn?n ? b

2.2 向量的线性关系
定义2.4
一组数 k1 , k2 , 设有同维向量 ?1 , ? 2 ,

,?n ,?

,如果存在

则称向量 ? 可由向量组

判断向量 ? 能否由向量组 ?1,? 2 线性表示?如果可以,求出 表达式。 小结: 解 设 ? ? k1?1 ? k2?2


? 是向量组 ?1 ? (, 1 2, 1 ),?2 ? (2,3,6),? =(5,8,13), 例2 设

?1 ,? 2 , ,? n 线性表示,或称向量 ?1 ,? 2 , ,? n 的线性组合。

, kn ,使得 ? ? k1?1 ? k2?2 ?

? kn?n 成立,

? 可由向量组?1,?2, ,?n ? k1 ? 2k2 ? 5 ? k1 ? 1 ? ? 2k1 ? 3k2 ? 8 ? ? 线性表示 线性方程组 k ? 2 ? k ? 6k ? 13 ? 2 2 ? 1 有解
? ? ?1 ? 2? 2

x1?1 ? x2?2 ?

? xn?n ? ?

所以

定义2.5
设有向量组?1,?2, ,? n ,如果存在一组不全为零的数

, kn ,使得 k1?1 ? k2?2 ? ? kn?n ? o 成立,则称 向量组 ?1,?2, ,? n 线性相关,否则,称向量组 k1 , k2 ,

?1,?2, ,?n 线性无关。即当且仅当 k1, k2 , , kn
全为零时, k1?1 ? k2?2 ?

? kn?n ? O 才成立,则称向量组

?1,?2, ,?n 线性无关。
●显然:含有零向量的向量组是线性相关的。
因为

1? O ? 0 ??1 ? 0 ??2 ?

? 0 ?? n ? O

●两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。

例3

证明下列向量组线性无关。

?1 ? ?1 , 0, 0, , 0?,? 2 ? ? 01 , , 0, , 0?, ,? n ? ? 0, 0, 0, ,1?
证明 设

k1?1 ? k2? 2 ? k1 ? k2 ?

? kn? n ? o ? kn ? 0
线性无关。

? 0, 0, , 0) 则 (k1,k2, ,kn)(
所以

所以向量组

?1,? 2, ,? n

称向量组 ?1,? 2, ,? n 为n维向量空间的单位坐标向量组。 任何一个n维向量

? ? ? a1, a2 , , an ?

都可由向量组

?1,? 2, ,? n 线性表示, ? ? a1?1 ? a2? 2 ?

? an? n

例4 讨论向量组

?1 ? ?11 , , 2, 21 ,, 215 , , , ?1?, ? ?2 ? ?0,
的线性相关性

?3 ? ? 2, 0, 3, ?13 ,, , , 0, 4, ?1? ? ?4 ? ?11
解 设

k1?1 ? k2?2 ? k3?3 ? k4?4 ? 0
可见,向量组 ?1 , ? 2 ,

?k1 ? 2k3 ? k4 ? 0 ? k1 ? 2k2 ? k4 ? 0 ? ? 则 ?2k1 ? k2 ? 3k3 ? 0 ? 2 k ? 5k ? k ? 4 k ? 0 2 3 4 ? 1 ? ?k1 ? k2 ? 3k3 ? k4 ? 0 利用矩阵的初等变换,可求得

,?n

线性相关
齐次线性方程组

x1?1 ? x2?2 ?
有非零解

? xn?n ? 0

k1 ? ?2, k2 ? k3 ? 1, k4 ? 0 注:有无穷多组解
所以向量组

?1,?2 ,?3 ,?4 线性相关。

练习 判断向量组的线性相关性

?1 ? ? 2,1, ?1, ?1? ,?2 ? ?0,3, ?2,0? ,?3 ? ? 2,4, ?3, ?1?
解 设

k1?1 ? k2?2 ? k3?3 ? 0
?2k1 ? 2k3 ? 0 ?k ? 3k ? 4k ? 0 ? 1 2 3 ? ??k1 ? 2k2 ? 3k3 ? 0 ? ??k1 ? k3 ? 0

则有

因为 k1 ? 1, k2 ? 1, k3 ? ?1 是方程组的一组非零解 所以 ?1 ,? 2 ,? 3 线性相关

例5 已知向量组 ?1,? 2,?3 线性无关,证明:向量组

?1 ? ?2,?2 ? ?3,?3 ? ?1 线性无关。
证明 设

k1 ??1 ? ?2 ? ? k2 ??2 ? ?3 ? ? k3 ??3 ? ?1 ? ? 0

(k1 ? k2)?2 ? (k2 ? k3)?3 ? 0 则 (k1 ? k3)?1 ?
因为 ?1,? 2,?3 线性无关

? k1 ? k3 ? 0 ? 所以有 ? k1 ? k 2 ? 0 ?k ? k ? 0 ? 2 3
解得

k1 ? k2 ? k3 ? 0

所以向量组

?1 ? ?2,?2 ? ?3,?3 ? ?1 线性无关。

例6 设 ?1 ,? 2 ,? 3 线性无关,又 ?1 ? ?1 ? ?2 ? 2?3 , ?2 ? ?2 ? ?3 , ?3 ? 2?1 ? ?2 ? 3?3 ,试证明 ?1, ?2 , ?3 线性相关

证明 设 k1?1 ? k2 ?2 ? k3 ?3 ? 0

则有

(k1 ? 2k3 )?1 ? (?k1 ? k2 ? k3 )?2 ? (2k1 ? k2 ? 3k3 )?3 ? 0 因为 ?1 ,? 2 ,? 3 线性无关
?k1 ? 2k3 ? 0 所以有 ? ??k1 ? k2 ? k3 ? 0 ?2k ? k ? 3k ? 0 3 ? 1 2 1 0 2 由于 所以 k , k , k 不全为零 ?1 1 ? 1 ? 0 1 2 3 2 ?1 3
所以 ?1 , ?2 , ?3 线性相关
事实上,可取

k1 ? 2, k2 ? 1, k3 ? ?1

定理2.1若向量组? ,?
1

2

, ,? m

线性无关,而向量组

?1,?2, ,? m,? 线性相关,则向量 ? 可由向量组 ?1,?2, ,?m线性表示,而且表示方法惟一。
证明 因为向量组

?1,?2, ,? m,?

线性相关

所以存在一组不全为零的数

k1?1 ? k2? 2 ? ? ? km? m ? k? ? 0


k1 , k2 ,?, km ,使得

k ? 0 否则,若 k ? 0 则由 ?1 ,? 2 ,?,? m 线性无关,
线性无关

k1 ? k2 ? ? ? km ? 0 于是向量组 ?1,?2, ,? m,?
可推得

这与已知矛盾,所以

k ?0

于是

1 ? ? ? (k1?1 ? k2? 2 ? k
?1,?2, ,?m

? km? m )
线性表示。

所以 ? 可由向量组 假设另有表达式

? ? l1?1 ? l2?2 ?

? lm?m
km ? (lm ? )? m ? 0 k

k1 k2 则可得 (l1 ? )?1 ? (l2 ? )? 2 ? k k
由于

?1,? 2 ,?,? m
ki li ? ? k

线性无关,

所以

(i ? 1,2,? , m)

所以 ? 可由向量组

?1,?2, ,?m

且表示方法唯一 线性表示,

定理2.2 向量组?1 , ? 2 ,?, ? n 线性相关的充分必要条件 是该向量组中至少有一个向量可由其余的向量组线性 表示。 证明 因为向量组

?1 ,? 2 ,?,? n 线性相关
k1 , k2 , , kn ? kn?n ? 0
使得

所以存在不全为零的数 不妨设 k1 ? 0

k1?1 ? k2?2 ?

1 于是有 ?1 ? ? (k2? 2 ? k3? 3 ? k1
反过来,若有 则有

? kn? n )

?1 可由 ? 2 ,?3 , ,? n 线性表示 ?1 ? l2?2 ? l3?3 ? ? lm?m

l2?2 ? l3?3 ? ? lm?m ? ?1 ? 0 所以 ?1 , ? 2 ,?, ? n 线性相关

2 ? ? 1 ? ? ,1,1 , ? ? 1,1 ? ? ,1 , ? ? 1,1,1 ? ? , ? ? 1, ? , ? ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? 例7 设 1 ?

试问

?

为何值时, ? 可由

?1 ,? 2 ,?3 线性表示,且表示

方法唯一? 解 设 ? ? x1?1 ? x2?2 ? x3?3

??1 ? ? ? x1 ? x2 ? x3 ? 1 ? 则有 ? x ? ?1 ? ? ? x ? x ? ? (*) 1 2 3 ? 2 x ? x ? 1 ? ? x ? ? ? ? 3 ? 1 2 因为 ? 可由 ?1 ,? 2 ,? 3 线性表示,且表示方法唯一
所以,方程组(*)只有唯一的一组解

1? ?
所以有

1

1
解得

1 1

1? ? 1 ?0 1 1? ?

? ? 0且? ? ?3

小结:
(1) 向量组

?1 ,? 2 , ,? n

线性相关

齐次线性方程组

x1?1 ? x2?2 ?
(2) 向量组

? xn?n ? 0

有非零解

?1 ,? 2 , ,? n

线性无关

齐次线性方程组

x1?1 ? x2?2 ?

? xn?n ? 0 ,? n

只有零解

(3) 向量 ? 可由向量组 ?1 ,? 2 ,
线性方程组

线性表示

x1?1 ? x2?2 ?

? xn?n ? ? 有解

●向量组的线性相关性的几个性质定理
1、单个非零向量是线性无关的。
2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。 3、增加向量,不改变向量组线性相关;减少向量,不改变

向量组线性无关。即部分相关,则整体相关;整体无关,
则部分无关。 4、增加分量,不改变向量组线性无关;减少分量,不改变向 量组线性相关。即低维无关,则高维无关;高维相关,则 低维相关。

? 作业 ? P71 ? 2.1(2)(4)



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