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苍溪中学高二文科数学期末测试卷


四川省苍溪中学 2014-2015 学年度高 二(上)期末考试试题 数
考试说明: (1)考试时间:120 分钟,试卷满分:150 分; (2)请将选择题答案涂在答题卡上,将非选择题答在答题卡相应位置上. 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求. ) 1. 已知直线的方程为 3x ? 2 y ? 7 ? 0 ,则直线的斜率

为( C A. ) D. ?





卷(文科)

3 2

B.

2 3

C. ?

3 2

2 3

2.椭圆 A. 2

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1和F2 , P 为椭圆上一点,若 PF1 ? 2 ,则 PF2 ? ( D ) 25 16
B. 4 C. 6 D. 8

3.如果双曲线的半实轴长为 2,焦距为 6,那么该双曲线的离心率是 ( A )

A.

3 2

B. 3

C.

6 2

D. 2

4.已知命题“ p ? q ”为真,“ ? p ”为真,则( C ) A. p 真 q 真 B. p 真 q 假 C. p 假 q 真 D. p 假 q 假

5. 当 m ? 7, n ? 3 时, 执行如图所示程序框图, 输出的 S 值为 ( C ) A. 7 B. 42 C. 210 ) D. 840

开始 输入m,n的值 k=m,S=1 k=k 1 k<m n+1 是 输出S 结束 否 S=S?k

2 6.“ a ? 2 ”是“ a ? 2a ? 0 ”的(B

A.充分非必要条件 C.充要条件

B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

7. 椭圆长轴是短轴的 3 倍, 且过点 A(3, 0) , 则椭圆标准方程是 ( D )

(A)

x2 y 2 ? ?1 9 81

(B)

x2 y 2 ? ?1 9 81

(C)

x2 ? y2 ? 1 9

(D)

x2 x2 y 2 2 ? y ? 1, 或 ? ?1 9 9 81

8.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩,其中 一个数字被污损,则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为( D ) A. 4 5 3 B. 5 2 C. 5 1 D. 5

9.若 x, y 满足 x ? y ? 1 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最小值为( B ) (A)

2 2

(B)

1 2

(C) 2

(D) 1

10.抛物线 y ? x 2 上的点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离为( B ) A.

2

B.

7 2 8

C. 2 2

D. 1

11.若点 P 为共焦点的椭圆 C1 和双曲线 C 2 的一个交点, F1 、F1 分别是它们的左右焦点.设 椭圆离
心率为 e1 ,双曲线离心率为 e2 ,若 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,则 A.1 12.设椭圆 B. 2

1 e1
2

?

1 e2
2

?( B


D.4

C.3

x2 y 2 ? ? 1 的两焦点为 F1 , F2 , M 为椭圆上任一点,P 为 ?F1MF2 的内心,连结 MP 并 25 16
S ?F1PM S ?F1PN
4 3
的值为( D )

延长交椭圆长轴于 N,则

(A)

3 4

(B)

(C)

3 5

(D)

5 3

二、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 11.抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标为
2

1 ) . 16 12. 个袋子中有 5 个大小相同的球, 其中有 3 个黑球与 2 个红球, 如果从中任取两个球, (0,

2 则恰好取到两个同色球的概率是___5_____.
13.直线 y ? x 与曲线 x ? y ? 2x ? 2 y ? 0 的位置关系是 相交
2 2

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 2,它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,则 mn 的值为 14.双曲线 m n
3 16
.

15.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 棱长为 1,动点 P, Q 分别在棱 BC , CC1 上,过点 A, P, Q 的平面截该 正方体所得的截面记为 S ,设 BP ? x , CQ ? y ,其中 x, y ? [0,1] , 下列命题正确的是 (2) ( 4) (写出所有正确命题的编号) ①当 x ? 0 时, S 为矩形,其面积最大为 1;

1 时, S 为等腰梯形; 2 1 3 ③当 x ? , y ? 时, S 为六边形; 2 4
②当 x ? y ? ④当 x ?

1 1 1 , y ? ( ,1) 时,设 S 与棱 C1D1 的交点为 R ,则 RD1 ? 2 ? 2 2 y

三.解答题(本大题共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )
17. (本题满分 12 分)过圆 x ? y ? 1 外一点 M ( 2,3) ,作这个圆的两条切线 MA 、 MB ,切点
2 2

分别是 A 、 B ,求直线 AB 的方程。

4分

8分

12 分

18.(本题满分 12 分)

设命题 p:(4x-3)2≤1;命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 q 是 p 的必要不充分条

件,求实数 a 的取值范围 解: 设 A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},
? ? ? ?1 ? 易知 A=?x?2≤x≤1 ?,B={x|a≤x≤a+1}.……………………6 分 ? ? ? ? ?

由 q 是 p 的必要不充分条件,

1 ? ?a≤ , ? 从而 p 是 q 的充分不必要条件, 即 A ? B, ∴? 2 ? ?a+1≥1.

1? ? 故所求实数 a 的取值范围是?0,2?.………………………………12 分 ? ?
19. (本题满分 12 分)

已知直线 l 过点 P (1,2)为,且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点. (1)当 OP ? l 时,求直线 l 的方程; (2)当 ?OAB 面积最小时,求直线 l 的方程并求出面积的最小值.

解:(Ⅰ)由已知

,



由直线方程的点斜式可得直线 的方程为

,所以直线 的方程为 ………………………………………………4 分

(Ⅱ) 由题意可知,直线 与与 轴、

轴的正半轴相交,故斜率一定存在且不为 0

设直线 的方程为

,因为直线过

,所以



,∴

, 当且仅当

,即

时,取得等号.8 分



,即面积的最小值为

所以,直线 的方程是

,即

………………………………………………………………………12 分

20.有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛,由 500 名大众评委现场投票决定歌手名 次.根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下: 组别 人数 A 50 B 100 C 150 D 150 E 50

(1)为了调查评委对 7 位歌手的支持情况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从 B 组抽取了 6 人,请将其余各组抽取的人数填入下表.

组别 人数 抽取人数

A 50

B 100 6

C 150

D 150

E 50

(2)在(1)中,若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手,现从这两组被抽 到的评委中分别任选 1 人,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 解 (1)由题设知,分层抽样的抽取比例为 6%,所以各组抽取的人数如下表: 组别 人数 抽取人数 A 50 3 B 100 6 C 150 9 D 150 9 E 50 3

(2)记从 A 组抽到的 3 个评委为 a1,a2,a3,其中 a1,a2 支持 1 号歌手;从 B 组抽到 的 6 个评委为 b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中 b1,b2 支持 1 号歌手.从{a1,a2,a3} 和{b1,b2,b3,b4,b5,b6}中各抽取 1 人的所有结果为:

由以上树状图知所有结果共 18 种,其中 2 人都支持 1 号歌手的有 a1b1,a1b2,a2b1,

4 2 a2b2 共 4 种,故所求概率 P=18=9.

21. (本小题满分 13 分)已知椭圆 于 A、B 两点. (1)若直线 l 的倾斜角 ? ?

x2 ? y 2 ? 1的左焦点为 F,O 为坐标原点。过点 F 的直线 l 交椭圆 2

?
4

,求 AB .

(2)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程. 解: (1)直线 l 方程为 y ? x ? 1 与

x2 ? y 2 ? 1联立得 2

3x 2 ? 4 x ? 0, ? x1 ? x2 ?
(2)当直线 AB 的斜率存在时

4 3

? AB ?

4 2 3

设弦 AB 的中点 M 的坐标为 (x,y),A(x1,y1),B(x2,y2) 依题意有

? x1 2 2 ? y1 ? 1 ? ? 2 ? x2 2 2 ? y2 ? 1 ? 2 ? ? 2 2 ? x1 ? x 2 ? 2 x ? x ? x ? 2 y ? 0 ?y ? y ? 2y 2 ? 1 ? y1 ? y 2 y ? x ? x ? x ?1 2 ? 1 ? ?
当直线 AB 的斜率不存在时,中点为 F(-1,0)也满足上式. 综上得:弦 AB 的中点 M 的轨迹方程为 x ? x ? 2 y ? 0 .
2 2

22.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C 的左右焦点分别为 F 1 (? 3,0) , F 2 ( 3,0) ,且过点 ( ?1,

3 )。 2

(1)求曲线 C 的方程; (2)已知定点 A(1, ) ,过原点 O 的直线 l 与曲线 C 交于 M 、 N 两点,求 ?MAN 面积的最大值。

1 2

x2 ? y 2 ? 1的左焦点为 F,O 为坐标原点。过点 F 的直线 l 交椭 21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 2
圆于 A、B 两点. (1)若直线 l 的倾斜角 ? ?

?
4

y
,求 AB .

A

(2)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程.

F

O
B

x

数学试题答案 1-10. 11.(0,1) CDACB 12. BCABD

10 3

13. 4 x ? y ? 3 ? 0

14.

3 16

15.

2 5 5

y2 x2 ? 1, 16,解:由题意知双曲线焦点为F 1 (0, ?3) F 2 (0,3) ,可设双曲线方程为 2 ? a 9 ? a2
点 ( 15, 4) 在曲线上,代入得 a ? 4或a ? 36(舍) ? 双曲线的方程为
2 2

y 2 x2 ? ?1 4 5

17.解: (1)由已知得圆心在直线上,将(1,2)代入直线方程得 k=-2. (2)因为直线 PC 的斜率为

2 -1 ? -1 , 1( - - 2)

所以所求直线 l 的斜率为 k=1 所以直线 l 的方程为: y ? 1 ? x ? 2, 即 x ? y ? 1 ? 0 . 18.解:f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3), 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=3. x 变化时,f′(x)的符号变化情况及 f(x)的增减性如下表所示: x f′(x) f(x) (-∞,-1) + 增 -1 0 极大值 (-1,3) - 减 3 0 极小值 (3,+∞) + 增

f(-1) (1)由表可得函数的递减区间为(-1,3); (2)由表可得,当 x=-1 时,函数有极大值为 f(-1)=16; 当 x=3 时,函数有极小值为 f(3)=-16. 19. 解:由 p 得 ?3 ? x ? 9 由 q 得 ?m ? 1 ? x ? m ? 1 ∵q 是 p 的必要而不充分条件

f(3)

?1 ? m ? ?3 ∴? 得m ?8 ?1 ? m ? 9
又因为 m ? 8 时命题成立。 ∴实数 m 的取值范围是 m ? 8

20.解: (1)证明:因为 AC、BD 是正方形 ABCD 的对角线,所以 AC?BD. 故在折叠后的?ABD 和?BCD 中,有 BD?AO,BD?CO. 又 AO∩CO=O,所以 BD?平面 AOC. 因为 BD?平面 BCD,所以平面 AOC? 平面 BCD. (2)

6 3
x2 ? y 2 ? 1联立得 2

21.解: (1)直线 l 方程为 y ? x ? 1 与

3x 2 ? 4 x ? 0, ? x1 ? x2 ?
(2)当直线 AB 的斜率存在时

4 3

? AB ?

4 2 3

设弦 AB 的中点 M 的坐标为 (x,y),A(x1,y1),B(x2,y2) 依题意有

? x1 2 2 ? y1 ? 1 ? 2 ? ? x2 2 2 ? y2 ? 1 ? 2 ? ? 2 2 ? x1 ? x 2 ? 2 x ? x ? x ? 2 y ? 0 ?y ? y ? 2y 2 ? 1 ? y1 ? y 2 y ? x ? x ? x ?1 2 ? 1 ? ?
当直线 AB 的斜率不存在时,中点为 F(-1,0)也满足上式. 综上得:弦 AB 的中点 M 的轨迹方程为 x ? x ? 2 y ? 0 .
2 2


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