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4.函数与二次不等式


4.函数与二次不等式 解关于 x 的不等式 2 x ?

x ??
2

解关于 x 的不等式 5 x ? 24 ? x 若不等式

1 2 x ? qx ? p ? ? 的解为 2 ? x ? ? ,求实数 p、q 的值 p
2

设 a 为参数,解关于 x 的一元二次不等式 ax ? ? a ? 1? x ? 1 ? ? 设 n、a 为参数,解关于 x 的一元二次不等式 n
2

?x

2

? 1? ? 6 ? a 2 ? 2 ? n 2 x ? 3?

2 2 已知不等式 m ? 4m ? 5 x ? 4 ? m ? 1? x ? 3 ? ? 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值

?

?

范围. 若抛物线 y ? x2 ? ax ? 2 与连结两点 M ? 0,1? 、 N ? 2,3? 的线段(包括 M、N 两点)有 两个相异的交点,求 a 的取值范围.
2 ? c ? 0 已知不等式 ax ? bx

的解是 ? ?x??

(其中 ? ?0

).试求不等式

c x2 ? b x ? a ? 0 的解
已知三角形三条边 a、b、c 满足 a 2 ? 2b ? 12c ? 15 ? 0 , a ? 2b ? 6c ? 9 ? 0 .若最大边 a 是整数,求 a、b、c.
2 2 方程 x ? 4 x ? 3a ? 2 ? 0 在 ?1 ? x ? 1 上有实根,求实数 a 的取值范围.

要 使 满 足

x? y y?z z?x ? ? 2 3 7

的 一 切 实 数 x 、 y 、 z 也 满 足 不 等 式

x2 ? y2 ? z 2 ? a ? x ? y ? z ? ? ?1 ,求 a 的取值范围.
设实数 a、 b、 c、 m 满足条件

a b c 2 ? ? ?0 , 且 a>0,m>0,求证: 方程 ax ? bx ? c ? 0 m ? 2 m ?1 m

有一根 x0 ,满足 0< x0 <1 . 在坐标平面上,纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点,试在二次函数 y ? 的图象上找出满足 y ? x 的所有整数点(x,y) ,并说明理由.
2 已知 m、n 均为正整数,若关于 x 的方程 4 x ? 2mx ? n ? 0 的两个实数根都大于 1 且小于

1 2 x 9 x ? ? 10 10 5

2,求 m、n 的值. 解不等式: x ?

5 1 ? x ? x ? 2? ? 2 4

解不等式: x ? 5 x ? 6 ? 0
2

解关于 x 的不等式: 56 x 2 ? ax ? a 2 已知关于 x 的不等式 x 2 ? mx ? n ? 0 的解是 5 ? x ? 1 ,求 m、n 的值
2 2 若对于 x 为任意实数, a ? 3a ? 2 x ? ? a ? 1? x ? 2 ? 0 恒成立,求 a 的取值范围

?

?

已知方程 x ? ? k ?1? x ? k ? 0 有两个大于 2 的实根,求 k 的取值范围
2

对于满足 0 ? p ? 4 的所有实数 p,求使不等式 x2 ? px ? 4x ? p ? 3 成立的 x 的取值范围 若 方 程 a x ? ? 2 a?1 ?
2

x? 3 ? a? ?1 ? 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 x1

、 x2

,且

x1 x22 ? x12 x2 ? 24 ,求 a 的值
2 ? ?x ? x ? 2 ? 0 若关于 x 的不等式组 ? 2 的整数解是 x ? ?2 , 求实数 k 的取值范围 2 x ? 2 k ? 5 x ? 5 k ? 0 ? ? ? ?
2 已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与直线 y=25 有交点,且不等式 ax ? bx ? c ? 0 的

解为 ?

1 1 ? x ? ,求 a、b、c 的取值范围 2 3
2

2 已知在 2a ? x ? a ? 1 时,不等式 x ? ? a ?1? x ? 2 ?3a ?1? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围

3 2 已知在 0 ? x ? 1 时,不等式 ?1 ? px ??1 ? x ? ? x ? x ? 3x ? 1 ? ?1 ? qx ??1 ? x ? 恒成立,

求 p、q 的取值范围 证明: 对于任意自然数 n, 一定存在惟一的一对整数 k 和 t, 使得 n ?
2

k ? k ? 1? 0?t ?k ?t , 2
2 2

已知关于 t 的整系数 (系数为整数) 方程 t ? xt ? y ? 0 有实数根 ? 、 且? ? ? ? 4 , ? , 求 x、y 的值


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