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河北省衡水市冀州中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题B卷 理


河北冀州中学 2015—2016 学年度上学期期中考试试题 高二年级理科数学试题
考试时间 150 分钟 试题分数 120 分 一、 选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、命题“对任意 x∈R,都有 x ? ln 2 ”的否定为
2


2



A、对任意

x∈R,都有 x ? ln 2
2

B、存在 x∈R,使得 x ? ln 2 D、不存在 x∈R,都有 x ? ln 2
2

C. 存在 x∈R,使得 x ? ln 2
2

2、 “ m ? n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 A.充分而不必要条件 C .既不充分也不必要条件 3、下列双曲线中与椭圆 B.必要而不充分条件 D.充要条件 有相同焦点的是

(

)

(

)

A.

B.

C.

D.

4、设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为 A. 750 B. 600
n

?

3 2

?

1 3

? ?





C. 450
n?1

D. 300

5、已知 n 次多项式 f ? x ? ? an x ? an?1 x

? ?? a1 x ? a0 ,用秦九韶算法求当 x=x0 时

f ? x0 ?
的值,需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是 A、n ,n B、2n,n C、 ,n D、n+1,n+1 ( )

6、现采用随机模拟的方法估计该运动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率:先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0,1 表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9 表 示击中目标,以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了 20 组随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 ( ) A.0.75 B.0.8 C.0.8192 D.0.852

x2 y2 ? ? 7、 在区间 ?1, 5 ? 和 ? ? 2, 4 ? ? 上分别取一个数,记为 a,b , 则方程 a 2 ? b 2 ? 1 表示焦点在 x
轴上且离心率小于

3 的椭圆的概率为 2
1

( A.



1 2

B.

17 32

C.

31 32

D.

15 32

8、已知等比数列{an}中, an ? 2 ? 3n?1 ,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前 n 项和 Sn 的值为
n n A、 3 ? 1 ? B、 3 3 ? 1 ? C、

?

?

? D、





9、 对某同学的 6 次物理测试成绩(满分 100 分)进行统计, 作出的茎叶图如图所示, 给出关于该同学物理成绩的以下说法:①中位数为 84; ②众数为 85; ③平均数为 85; ④极差为 12。其中,正确说法的序号是 ( ) A. ①② B.③④ C.①③ D. ②④ 10、已知函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? cos x ,则下列说法正确的为 A. 函数 f(x)的最小正周期为 2π B. f(x)的最大值为 C. f(x)的图象关于直线 x=﹣ D. 将 f(x)的图象向右平移 对称 ,再向下平移 个单位长度后会得到一个奇函数的图象 ( )

11、利用随机数表法对一个容量为 500 编号为 000,001,002,?,499 的产品进行抽样检验, 抽取一个容量为 10 的样本,若选定从第 12 行第 5 列的数开始向右读数, (下面摘取了随机数 表中的第 11 行至第 15 行) ,根据下表,读出的第 3 个数是 ( )

A.841
2 2

B.146

C.114

D.014

12、设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任 一点,线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M ,则 M 的轨迹方程为 ( )

4 x2 4 y2 ? ?1 A、 25 21 4 x2 4 y2 ? ?1 21 25

4 x2 4 y2 ? ?1 B、 21 25

4 x2 4 y2 ? ?1 C、 25 21

D、

2

二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、如图所示的程序框图,输入 m ? 98, n ? 63 时,程序运行结束后输出的

m 、i 值的和

为 . 14、在半径为 1 的圆周上有一定点 A,以 A 为端点任作一弦,另一端点在圆周上等可能的选 取,则弦长超过 1 的概率为 .

15、在三角形 ? ABC 中,角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,已知 A ? 60 , b ? 1 ,
0

其面积为

,则 a ?



16、在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 上的点,以 M 为圆心 a 2 b2

的圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F,圆 M 与 y 轴相交于 P 、Q 两点。则该椭圆离心率的取值 范围是 .

三、解答题(本题共 6 道小题,其中 17 题 10 分,其余每题 12 分) 17、 (本小题 10 分) 已知命题 P: 方程

x2 y2 ? ? 1表示双曲线;命题 q: 1 ? m ? t ? 1 ? m ( m ? 0 ), t ? 2 t ? 10

若 ? p 是 ? q 的充分非必要条件,试求实数 m 的取值范围.

18、 (本小题 12 分) 已知 a ? 0 , 命题 p :? x ? 0 ,x ?

a ? 2 恒成立, 命题 q :? k ? R , 直线 kx ? y ? 2 ? 0 x

与椭圆 x ?
2

y2 ? 1 有公共点,求使得 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题的实数 a 的取值范 a2

围.

19、 (本小题 12 分)

3

在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m ? ? cos A,sin A? ,向量

??

? n?

?

?? ? 2 ? sin A,cos A 若 m ? n ? 2 。

?

(1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 外接圆的半径为 2,b=2,求边 c 的长.

20、 (本小题 12 分) 某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取 60 名同学 将其成绩(百分制,均为整数)分成六组后,得到频 率分布直方图(如图) ,观察图形中的信息,回答下 列问题. (1)从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中 位数; (2)若从第 1 组和第 6 组两组学生中,随机抽取 2 人, 求所抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 的概率.

21、设 F1,F2 分别是椭圆 E: x ?
2

y2 ? 1 ? 0 ? b ? 1? 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相 b2

交于 A、B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列. (Ⅰ)求|AB|; (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值.

22、已知椭圆 E :

1 x2 y2 ? ? 1 a ? 3 的离心率 e ? 。直线 x=t(t>0)与曲线 E 交于 2 2 a 3

?

?

不同的两点 M , N ,以线段 MN 为直径作圆 C ,圆心为 C . (1)求椭圆 E 的方程; (2)若圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A,B,求△ABC 的面积的最大值. 高二年级理科数学期中考试答案

4

A 卷:1、D 2、C 3、B 4、B 5、A 6、D 7、B 8、D 9、D 10、D 11、B 12、D B 卷:1、B 2、D 3、D 4、C 5、A 6、A 7、D 8、D 9、C 10、D 11、C 12、A 13、11 ;14、

? 5 ?1? 2 0, 15、 13 ? ? ? 2 ? 3; ; 16、 ? ?
∴ ?2 ? t ? 10 2分 4分 6分

17、由命题 P 得 (t ? 2)(t ? 10) ? 0 由命题 q 得∴ t ? (1 ? m,1 ? m)

由题意及逆否命题的等价性可知 q ? p ,即 (1 ? m,1 ? m) ? (?2,10)

∴由 ?

?1 ? m ? ?2 (不同时取等号)及 m ? 0 得 0 ? m ? 3 ?1 ? m ? 10

8分 10 分

∴所求 m 的取值范围为 0 ? m ? 3 18、解:命题 p:因为 a>0 时,对? x>0,x+ 2 ,a≥1; ,则:

2分

命题 q:由

得:

(k +a )x +4kx+4﹣a =0 则: △=4a (a +k ﹣4)≥0,即 a ≥﹣k +4; 而﹣k +4 在 R 上的最大值为 4; ∴a ≥4,∵a>0,∴解得 a≥2; 【也可利用直线过定点(0,2) 】 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题时,p,q 一真一假; ∴(1)若 p 真 q 假,则: (2)若 p 假 q 真,则: ;∴1≤a<2; ;∴a∈?; 8分 10 分 12 分 ﹣sinA,cosA) ,
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

6分

综上可得,a 的取值范围是 1≤a<2 19、解: (1)∵ =(cosA,sinA) , =( ∴ + =(cosA﹣sinA+ ∵| + |=2, ∴(cosA﹣sinA+ ,cosA+sinA) ,

) +(cosA+sinA) =4,化简得:sinA=cosA,即 tanA=1,
5

2

2

则 A=

; , ,

6分

(2)∵△ABC 外接圆的半径为 2,b=2,A= ∴在△ABC 中,由正弦定理
2 2 2

=2R=4,即 a=4sinA=2

8分

由余弦定理可得:a =b +c ﹣2b?c?cosA, 化简得:c ﹣2 解得:c= +
2

c﹣4=0, (负值舍去) . 12 分

19、解: (1)由频率分布直方图知, 前三组的频率之和为 0.1+0.15+0.15=0.4, ∴中位数在第四组,设中位数为 70+x, 则 0.4+0.030x=0.5,解得 x= ∴该组数据的中位数为 70+ = , ; 6分

(2)第 1 组的频数为:60×0.1=6 人(设为 1,2,3,4,5,6) , 第 6 组的频数为:60×0.1=3 人(设为 A,B,C) ; 从这 9 人中任取 2 人,共有 36 个基本事件, 满足抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 的基本事件有 18 个, 所以,所求的概率为 P= = . 12 分

20、解: (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得 4分 (2)L 的方程式为 y=x+c,其中

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 A,B 两点坐标满足方程组

. ,

化简得(1+b )x +2cx+1﹣2b =0. 则 因为直线 AB 的斜率为 1,所以 . 6分

2

2

2

6









解得



12 分

22、解:∵椭圆

的离心率



∴ 解得 a=2.



∴椭圆 E 的方程为



4分

(2)解:依题意,圆心为 C(t,0) , (0<t<2) .







6分

∴圆 C 的半径为



∵圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A,B,且圆心 C 到 y 轴的距离 d=t, ∴ ,即 . 8分

∴弦长 ∴△ABC 的面积 =



=

. 当且仅当 ,即 . 时,等号成立. 12 分

∴△ABC 的面积的最大值为

7


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