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二次方程根的分布问题


二次方程的实根分布问题
一般地,对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 就做函数 y=f(x)的零 点.
2 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 在某个区间上有实根, 求其中字母系数的

问题称为实根分布问题。 实根分布问题一般考虑四个方面,即: ①开口方向 ②端点函数值的正负

/>③判别式

④对称轴

设一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两根为 x1 , x2 ( x1 < x2 ) (1) 一个根大于 k ,一个根小于 k ,即 x1 < k < x2 ( k 为常数, )

{

a>0 f (k ) < 0
(3)两根在区间 [m, n] 外

(2)两根在区间 [m, n] 内

f ( m) > 0

f ( m) > 0
ì ? f (m) < 0 í ? ? f ( n) < 0


{

f ( n) > 0 ?>0 b m <- < n 2a

{

f ( n) > 0 ?>0 b b - < m或- > n 2a 2a

(4)一内一外

f (m) f (n) < 0

例 1、已知二次方程 x 2 + (2m-3) x + 4 = 0 有且只有一个根在 (0,1) 内,求实数 m 的 取值范围.

1

例 2、 关于 x 的方程 x 2 ? 2?m ? 3?x ? 2m ? 14 ? 0 有两个实根,
(1)若一个大于 1,一个小于 1,求 m 的取值范围 (2)有两实根在 ?0,4? 内,求 m 的取值范围

1) x-(5m + 2) = 0 的一个根小于 - 例 3、已知二次方程 x 2 + (2m- 1 ,另一根大于 1,

求实数 m 的取值范围.

例 4、已知二次方程 (2m +1) x 2 - 2mx + (m - 1) = 0 有一正根和一负根,求实数 m 的 取值范围.

2

例 5、已知方程 2 x 2 - (m +1) x + m = 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围.

例 6、已知二次函数 y = (m + 2) x 2 - (2m + 4) x + (3m + 3) 与 x 轴有两个交点,一个大 于 1,一个小于 1,求实数 m 的取值范围.

例 7、已知二次方程 mx 2 + (2m - 3) x + 4 = 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数
m 的取值范围.

3

例 8、函数 f ( x) = 2ax 2 + 2 x - 3 - a 在 [- 1,1] 上有零点,求 a 的取值范围。

练习:1.当 a 取何值时,方程 ax2-2x+1=0 的一个根在(0,1)上,另一个 根在(1,2)上.

4

练习 2.关于 x 的一元二次方程 x2-2ax+a+2=0,当 a 为何实数时
(1)有两不同正根; (2)不同两根在(1,3)之间; (3)有一根大于 2,另一根小于 2; (4)在(1,3)内有且只有一解

练习 3.已知关于 x 的方程 2 x 2 ? 3x ? 2m ? 3 ? 0 的两根都在 [-1, 1] 上.求实数 m 的取值范围.

5

家庭作业 1.关于 x 的方程 2 x + (m-3) x + 2m-1 = 0 有两个实根 x1 , x2 ,且满足 x1 < 1 < x2 , 则 m 的取值范围为 。 2.若方程 x 2 -(k+2)x+4=0 有两负根,求 k 的取值范围.
2

3.若方程 x 2 ? 2tx ? t 2 ? 1 ? 0 的两个实根都在 ? 2 和 4 之间,求实数 t 的取值范围.

4.若关于 x 的方程 kx2-(2k+1)x-3=0 在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根,求 k 的 取值范围.

6

5.已知集合 A ? {x |

6 ? 1, x ? R}, B ? {x | x 2 ? 2 x ? 2m ? 0, x ? R} . x ?1

(1)当 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4} 时,求 m 的值.(2)当 A ? B ? A 时,求 m 的取值 范围.

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