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高考(江苏专用)理科数学二轮专题复习:专题一 函数与导数、不等式


第5讲
一、填空题

导数与实际应用及不等式问题

1 1.已知函数 f(x)=3x3-2x2+3m,x∈[0,+∞),若 f(x)+5≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是________. 解析 f′(x)=x2-4x,由 f′(x)>0,得 x>4 或 x<0.

∴f(x)在(0,4)上单调递减,在(4

,+∞)上单调递增,∴当 x∈[0,+∞)时, f(x)min=f(4).∴要使 f(x)+5≥0 恒成立,只需 f(4)+5≥0 恒成立即可,代入 17 解之得 m≥ 9 . 答案 ?17 ? ? 9 ,+∞? ? ?

2.若存在正数 x 使 2x(x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是________. 解析 1 ∵2x(x-a)<1,∴a>x-2x.

1 令 f(x)=x-2x, ∴f′(x)=1+2-xln 2>0. ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f(x)>f(0)=0-1=-1, ∴a 的取值范围为(-1,+∞). 答案 (-1,+∞)

3. (2014· 江苏卷)已知函数 f(x)=x2+mx-1, 若对于任意 x∈[m, m+1], 都有 f(x) <0 成立,则实数 m 的取值范围是________. 解析 作出二次函数 f(x)的图象,对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0,则

2 2 ?f(m)<0, ?m +m -1<0, 2 有? 即? 解得- 2 <m<0. 2 ?f(m+1)<0, ?(m+1) +m(m+1)-1<0,

答案

? 2 ? ?- ,0? ? 2 ?

1 4 4.(2015· 南师附中调研)已知函数 f(x)=3x3-x2-3x+3,直线 l:9x+2y+c=0, 若当 x∈[-2,2]时,函数 y=f(x)的图象恒在直线 l 下方,则 c 的取值范围 是________. 解析 1 4 9 c c 根据题意知3x3-x2-3x+3<-2x-2在 x∈[-2, 2]上恒成立, 则-2>

1 3 2 3 4 3x -x +2x+3, 1 3 4 设 g(x)=3x3-x2+2x+3, 3 则 g′(x)=x2-2x+2, 则 g′(x)>0 恒成立, 所以 g(x)在[-2,2]上单调递增, 所以 g(x)max=g(2)=3,则 c<-6. 答案 (-∞,-6)

5.如图,某飞器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处 开始下降, 已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析 式为______________.

解析

设所求解析式为 y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),

∵函数图象过(0,0)点,∴d=0. 又图象过(-5,2),(5,-2), ∴函数为奇函数. ∴b=0,代入可得-125a-5c=2,① 又 y′=3ax2+c,当 x=-5 时,y′=75a+c=0,② 1 3 由①②得 a=125,c=5, 1 3 ∴函数解析式为 y=125x3-5x.

答案

1 3 y=125x3-5x

6.(2015· 全国Ⅱ卷改编)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是________. 解析 因为 f(x)(x∈R)为奇函数,f(-1)=0,所以 f(1)=-f(-1)=0.当 x≠0 f(x) 则 g(x)为偶函数, 且 g(1)=g(-1)=0.则当 x>0 时, g′(x) x ,

时, 令 g(x)=

?f(x)? xf′(x)-f(x) ?′= =? <0,故 g(x)在(0,+∞)上为减函数,在(-∞, x2 ? x ? 0)上为增函数. 所以在(0, +∞)上, 当 0<x<1 时, g(x)>g(1)=0? 0?f(x)>0; 在(-∞,0)上,当 x<-1 时,g(x)<g(-1)=0? f(x) x <0?f(x)>0.综上, f(x) x >

得使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1). 答案 (-∞,-1)∪(0,1)

7. (2015· 苏、 锡、 常、 镇模拟)设函数 f(x)=ax3-3x+1(x∈R), 若对于任意 x∈[- 1,1],都有 f(x)≥0 成立,则实数 a 的值为________. 解析 若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成立;

当 x>0 时,即 x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 3 1 a≥x2-x3. 3(1-2x) 3 1 令 g(x)=x2-x3,则 g′(x)= , x4 1? ? ?1 ? 所以 g(x)在区间?0,2?上单调递增,在区间?2,1?上单调递减. ? ? ? ? ?1? 因此 g(x)max=g?2?=4,从而 a≥4. ? ? 当 x<0 时,即 x∈[-1,0)时, 3 1 同理 a≤x2-x3. g(x)在区间[-1,0)上单调递增, 所以 g(x)min=g(-1)=4,从而 a≤4,综上可知 a=4. 答案 4

8. (2015· 青岛模拟)已知函数 f(x)=x-

1 , g(x)=x2-2ax+4, 若对于任意 x1∈[0, x+1

1],存在 x2∈[1,2],使 f(x1)≥g(x2),则实数 a 的取值范围是________. 解析 由于 f′(x)=1+ 1 >0,因此函数 f(x)在[0,1]上单调递增,所 (x+1)2

以 x∈[0,1]时,f(x)min=f(0)=-1.根据题意可知存在 x∈[1,2],使得 g(x) x 5 x 5 =x2-2ax+4≤-1, 即 x2-2ax+5≤0, 即 a≥2+2x能成立, 令 h(x)=2+2x, x 5 则要使 a≥h(x)在 x∈[1, 2]能成立, 只需使 a≥h(x)min, 又函数 h(x)=2+2x在 9 9 x∈[1,2]上单调递减,所以 h(x)min=h(2)=4,故只需 a≥4. 答案 ?9 ? ?4,+∞? ? ?

二、解答题 9.(2015· 天津卷改编)已知函数 f(x)=nx-xn,x∈R,其中 n∈N*,n≥2. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y= g(x),求证:对于任意的正实数 x,都有 f(x)≤g(x). (1)解 由 f(x)=nx-xn, 可得 f′(x)=n-nxn-1=n(1-xn-1). 其中 n∈N*, 且 n≥2,

下面分两种情况讨论: ①当 n 为奇数时. 令 f′(x)=0,解得 x=1,或 x=-1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-1) - -1 0 极小值 (-1,1) + 1 0 极大值 (1,+∞) - ↘





所以,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)内单调递增. ②当 n 为偶数时. 当 f′(x)>0,即 x<1 时,函数 f(x)单调递增; 当 f′(x)<0,即 x>1 时,函数 f(x)单调递减; 所以,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.

(2)证明 则 x0=n

设点 P 的坐标为(x0,0), 1 ,f′(x0)=n-n2. n-1

曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程为 y=f′(x0)(x-x0), 即 g(x)=f′(x0)(x-x0). 令 F(x)=f(x)-g(x), 即 F(x)=f(x)-f′(x0)(x-x0), 则 F′(x)=f′(x)-f′(x0). 由于 f′(x)=-nxn-1+n 在(0,+∞)上单调递减, 故 F′(x)在(0,+∞)上单调递减, 又因为 F′(x0)=0, 所以当 x∈(0,x0)时,F′(x)>0, 当 x∈(x0,+∞)时,F′(x)<0, 所以 F(x)在(0,x0)内单调递增, 在(x0,+∞)上单调递减, 所以对于任意的正实数 x, 都有 F(x)≤F(x0)=0, 即对于任意的正实数 x, 都有 f(x)≤g(x). 10.(2015· 苏州调研)根据统计资料,某工艺品厂的日产量最多不超过 20 件,每 日 产 品 废 品 率 p 与 日 产 量 x( 件 ) 之 间 近 似 地 满 足 关 系 式 p = 2 * ? ?15-x,1≤x≤9,x∈N , ?x2+60 * ? ? 540 ,10≤x≤20,x∈N (日产品废品率= 日废品量 ×100%) 日产量

已知每生产一件正品可赢利 2 千元, 而生产一件废品则亏损 1 千元(该车间的 日利润 y=日正品赢利额-日废品亏损额). (1)将该车间日利润 y(千元)表示为日产量 x(件)的函数; (2)当该车间的日产量为多少件时,日利润最大?最大日利润是几千元?



(1)由题意可知
2

24x-2x * ? ? 15-x ,1≤x≤9,x∈N , y=2x(1-p)-px=? 5 x3 * x - ? ?3 180,10≤x≤20,x∈N . 24x-2x ? ? 15-x ,1≤x≤9, (2)考虑函数 f(x)=? 5 x3 x - ? ?3 180,10≤x≤20, 当 1≤x≤9 时,f′(x)=2- 得 x=15-3 5. 当 1≤x<15-3 5时,f′(x)>0,函数 f(x)在[1,15-3 5)上单调递增; 当 15-3 5<x≤9 时,f′(x)<0, 函数 f(x)在(15-3 5,9]上单调递减. 所以当 x=15-3 5时,f(x)取得极大值,也是最大值, 64 又 x 是整数,f(8)= 7 ,f(9)=9, 64 所以当 x=8 时,f(x)有最大值 7 . 5 x2 100-x 当 10≤x≤20 时,f′(x)=3-60= 60 ≤0, 所以函数 f(x)在[10,20]上单调递减, 100 所以当 x=10 时,f(x)取得极大值 9 ,也是最大值. 100 64 由于 9 > 7 ,所以当该车间的日产量为 10 件时,日利润最大. 100 故当该车间的日产量为 10 件时,日利润最大,最大日利润是 9 千元. 11.已知函数 f(x)= mx (m,n∈R)在 x=1 处取得极值 2. x2+n
2 2

90 ,令 f′(x)=0, (15-x)2

(1)求函数 f(x)的解析式; a (2)设函数 g(x)=ln x+x , 若对任意的 x1∈R, 总存在 x2∈[1, e], 使得 g(x2)≤f(x1)

7 +2,求实数 a 的取值范围. 解 m(x2+n)-2mx2 (1)f′(x)= (x2+n)2

mx2-2mx2+mn -mx2+mn = = 2 , (x2+n)2 (x +n)2 由于 f(x)在 x=1 处取得极值 2, mn-m ? ?(1+n)2=0, ?m=4, 故 f′(1)=0,f(1)=2,即? 解得? m ?n=1, =2, ? ?1+n 经检验,此时 f(x)在 x=1 处取得极值. 故 f(x)= 4x . x +1
2

(2)由(1)知 f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=-f(x). 故 f(x)为奇函数,f(0)=0. 当 x>0 时,f(x)>0,f(x)= 1≤2, x+ x 4

当且仅当 x=1 时取“=”. 故 f(x)的值域为[-2,2], 7 3 从而 f(x1)+2≥2. 3 依题意有 g(x)min≤2,x∈[1,e], 1 a x-a g′(x)= x -x2= x2 , ①当 a≤1 时, g′(x)≥0, 函数 g(x)在[1, e]上单调递增, 其最小值为 g(1)=a≤1 3 <2,符合题意; ②当 1<a<e 时,函数 g(x)在[1,a]上单调递减,在[a,e]上单调递增, 所以函数 g(x)的最小值为 g(a)=ln a+1. 3 由 ln a+1≤2,得 0<a≤ e, 从而知当 1<a≤ e 时,符合题意;

a ③当 a≥e 时,显然函数 g(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为 g(e)=1+ e≥2 3 >2,不符合题意. 综上所述,a 的取值范围为(-∞, e].


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