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考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性


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考点 5 函数的单调性与最值、 函数的奇偶性与周期性
一、选择题 1. (2011·安徽高考理科·T3)设 f ? x ? 是定义在R上的奇函数,当 x ? 0 时,
<

br />f ? x ? ? 2x2 ? x ,则

f ?1? ? (
(A)-3

) (B)-1 (C)1 (D)3

【思路点拨】由奇函数的定义有 f (? x) ? ? f ( x), 所以 f ?1? ? ? f (?1). 【精讲精析】选 A. 由奇函数的定义有 f (? x) ? ? f ( x), 所以

f ?1? ? ? f (?1) ? ?[2 ? (?1)2 ?1] ? ?3 .

2.(2011·福建卷理科·T9)对于函数 f(x)=asinx+bx+c(其中,a,b ? R,c ? Z),选取 a,b,c 的一组值计 算 f(1)和 f(-1) ,所得出的正确结果一定不可能是( (A)4 和 6 (B)3 和 1 ) (D)1 和 2

(C)2 和 4

【思路点拨】先求出 f (1)、f (?1) ,探究 f (1) ? f (?1) 与 c 的关系,然后由 c ? Z 限定

f (1)和f (-1)的取值.
【精讲精析】选 D.
?c ?

f (1) ? a sin1 ? b ? c, f (?1) ? ?a sin1 ? b ? c, ? f (1) ? f (?1) ? 2c ,
c ? Z, ?

f (1) ? f ( ?1) ,又 2

f (1)和f (?1)的值一定不可能是1和2


(0, +?) 3.(2011·新课标全国高考理科·T2)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是(
(A) y ? x3 (B) y ? x ?1 (C) y ? ? x2 ? 1 (D) y ? 2
?x

【思路点拨】对选项进行逐个判断,一是看是否满足奇偶性,二是检验单调性. 【精讲精析】 选 B. 函数 y ? x 是奇函数, 故可排除 A, 当 x ? 0 时,y ?| x | ?1 ? x ? 1 是增函数,y ? ? x ? 1
3 2

是减函数, y ? 2

?| x|

1 ? 2? x ? ( ) x 为减函数. 2


4.(2011·新课标全国高考文科·T3)下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ??? 上单调递增的函数是( (A) y ? x
3

(B) y ? x ?1

(C) y ? ? x ? 1
2

(D) y ? 2

?x

-1-

圆学子梦想 铸金字品牌 【思路点拨】对选项进行逐个判断,一是看是否满足奇偶性,二是检验单调性. 【精讲精析】 选 B .函数 y ? x3 是奇函数, 故可排除 A, 当 x ? 0 时, 是增函数, y ?| x | ?1 ? x ? 1 , y ? ? x2 ? 1 是减函数, y ? 2
?| x|

1 ? 2? x ? ( ) x 为减函数. 2

5. (2011·辽宁高考文科·T6)若函数 f ( x) =

x 为奇函数,则 a =( (2 x ? 1)(x ? a)
3 4
(D)1



(A)

1 2

(B)

2 3

(C)

【思路点拨】利用奇函数的定义,从 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立入手,即得. 【精讲精析】选 A.∵函数 f ( x) 为奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立.



x ?x ? ? 0 恒成立.可化为 (2 x ? 1)(x ? a) ? (2 x ? 1)(x ? a) 恒成立.整 (2 x ? 1)(x ? a) (?2 x ? 1)(? x ? a)
1 . 2

理得 2(1 ? 2a) x ? 0 恒成立,只有 1 ? 2a ? 0 ,∴ a ?

6.(2011·广东高考理科·T4)设函数 f ( x ) 和 g ( x) 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的 是 ( ) (B) f ( x ) -| g ( x) |是奇函数 (D)| f ( x ) |- g ( x) 是奇函数

(A) f ( x ) +| g ( x) |是偶函数 (C)| f ( x ) | + g ( x) 是偶函数

【思路点拨】本题主要考查函数的奇偶性,可由奇偶性的概念进行判断. 【精讲精析】选 A.由题意 f (? x) ? f ( x), g (? x) ? ? g ( x) .令 F ( x) ? f ( x)? | g ( x) | ,则

F (? x) ? f (? x)? | g (? x) |? f ( x)? | g ( x) |? F ( x) . ? F ( x ) 是偶函数.故选 A.
7. (2011·北京高考理科·T8)设 A(0,0), B(4,0), C (t ? 4, 4), D(t , 4)(t ? R) ,记 N (t ) 为平行四边形 ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数 N (t ) 的值域为( (A){9,10,11} (B){9,10,12} (C){9,11,12} (D){10,11,12} y D 4 3 2 1 O C )

【思路点拨】作图,分别求出 t=0,1,2,3,4,…时的函数值,即可选出答案. 【精讲精析】选 C.如图所示.N(0)=9, N(1)=12, N(2)=11, N(3)=12,…,故值域 为{9,11,12}. 8. (2011·湖南高考文科 T8)已知函数 f(x)= e ? 1 ,g(x)= ? x ? 4 x ? 3. 若有
x 2

f(a)=g(b),则 b 的取值范围为(


-2-

A B 1 2 3 4

x

圆学子梦想 铸金字品牌 (A) [2 ? 2 ,2 ? 2 ] (C)[1,3] (B) (2 ? 2 ,2 ? 2 ) (D)(1,3)

【思路点拨】本题以考查函数的值域为载体,重点考查对 f(a)=g(b)的理解,f(a)=g(b)表示二元方程,把 二元方程转化为函数或不等式. 【精讲精析】选 B.? f (a) ? ?1,? g (b) ? ?1,? ?b 2 ? 4b ? 3 ? ?1,

?b2 ? 4b ? 2 ? 0,?2 ? 2 ? b ? 2 ? 2.
二、填空题 9. (2011·安徽高考文科·T11)设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时, f ( x ) = 2 x ? x ,则
2

f (1) ?

.

【思路点拨】由奇函数的定义有 f (? x) ? ? f ( x), 所以 f ?1? ? ? f (?1). 【精讲精析】由奇函数的定义有 f (? x) ? ? f ( x), 所以 f ?1? ? ? f (?1) ? ?[2 ? (?1) ?1] ? ?3 .
2

【答案】-3 10.(2011·广东高考文科·T12)设函数 f(x)=x cosx+1,若 f(a)=11,则 f(-a)=_______. 【思路点拨】令 g(x)=x cosx,利用 g(x)是奇函数,求出 g(a)=10,从而 f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1,可得结 论. 【精讲精析】 令 g(x)=x cosx,则 f(x)= g(x)+1 且 g(x)为奇函数, 所以 g(-a)=-g(a).由 f(a)=11 得 g(a)+1=11, 所以 g(a)=10, f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-10+1=-9. 【答案】-9 11. (2011·湖南高考文科·T12)已知 f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则 f(2)=______. 【思路点拨】本题考查利用奇函数的性质(对称性)求函数值. 【精讲精析】因为 f(x)=g(x)-9 是奇函数,所以 f(-x)=-f(x),
3 3 3

? g(-x)-9=-[g(x)-9],? g(-2)-9=-[g(2)-9],? g (?2) ? 3 ,g(2)=15,
所以 f(2)=g(2)-9=6. 【答案】6 12.(2011·浙江高考理科·T11)若函数 f ( x) ? x ? x ? a 为偶函数,则实数 a ?
2

.

【思路点拨】两个偶函数的和函数亦是偶函数,偶函数与其他函数的和函数为非奇非偶函数. 【精讲精析】
-3-

圆学子梦想 铸金字品牌 函数 y ? x2 为偶函数, 函数 y ? x ? a 是由偶函数 y ? x 向左或向右平移了 a 个单位, 要使整个函数为偶 函数,则需 a ? 0 . 【答案】0 13. (2011·北京高考文科·T14)设 A(0,0), B(4,0), C (t ? 4,3), D(t ,3)(t ? R) ,记 N (t ) 为平行四边形

ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则 N(0)=
的所有可能取值为 .

;N(t)

【思路点拨】在直角坐标系中作出坐标网格,当 t 变化时,可求出 N(t)的可能取值. 【精讲精析】如图所示,N(0)=6,N(1)=8,N(1.5)=7,…,所以可能取值为 6,7,8. 4 3 2 1 A 1 【答案】6 三、解答题 14. (2011·湖南高考理科·T20)如图所示,长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向作匀速 移动,速度为 v(v>0) ,雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c ? R) ,E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部 分: (1)P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c| ? S 成正比,比例系数为 其他面的淋雨量之和,其值为 (1)写出 y 的表达式; (2)设 0<v ? 10,0 ? c ? 5, 试根据 c 的不同取值范围, 确定移动速度 v,使总淋雨量 y 最少. 【思路点拨】本题考查学生运用知识的能力,重点考查 学生的以下能力:一是阅读能力.二是转化能力.三是表达能力.能否把文字语言转化为符号语言的理解能 力.四是解题能力.本题主要考查学生的阅读能力、建模能力和运算能力,阅读后建立函数模型是关键. 【精讲精析】 (1)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为 6,7,8 2 3 B 5 x y D C

1 ; (2) 10

1 3 .记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量.当移动距离 d=100,面积 S= 时, 2 2

3 1 |v?c|? , 20 2

-4-

圆学子梦想 铸金字品牌 故y?

100 3 1 5 ( | v ? c | ? ) ? (3 | v ? c | ?10) . v 20 2 v 5 5(3c ? 10) (3c ? 3v ? 10) ? ? 15; v v

(2)由(1)知,当 0 ? v ? c 时, y ?

当 c ? v ? 10 时, y ?

5 5(10 ? 3c) (3v ? 3c ? 10) ? ? 15. v v

? 5(3c ? 10) ? 15, 0 ? v ? c ? ? v 故y?? . ? 5(10 ? 3c) ? 15, c ? v ? 10 ? v ?
(1)当 0 ? c ?

10 3c 时, y 是关于 v 的减函数.故当 v ? 10 时, ymin ? 20 ? . 3 2

(2) 当

10 ? c ? 5 时,在 (0, c] 上, y 是关于 v 的减函数;在 (c,10] 上, y 是关于 v 的增函数;故当 v ? c 3 50 . c

时, ymin ?

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-5-


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