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正弦定理在实际问题中的应用


正弦定理在实际问题中的应用
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,并且都等于外接圆的直径.这 一定理的引入,标志着对三角形的又向前迈进了一步,由过去的解直角三角形到可以解任 意三角形.正弦定理在实际问题中有着广泛的应用,下面介绍几例. 例 1 某人在草地上散步,看到他西南有两根相距 6 米的标杆,当他向正北方向步行 3 分钟后,看到一根标杆在其南方向上,另一根标杆在其南偏西 30 ? 方向上,求此人步行的速 度. 解:如图所示,A、B 两点的距离为 6 米,当此人沿正北方 向走到 C 点时, 测得∠BCO = 45 ? , =∠BCO-∠ACO = 45 ? - 30 ? = 15 ? . 由题意,知∠BAC = 120 ? ,∠ABC = 45 ? . ∠ACO = 30 ? , ∴∠BCA 北

C
30 ? 45 ?

AC AB = , sin ?ABC sin ?BCA AB ? sin ?ABC 6 ? sin 45 ? 即有 AC = = = 6 3 +6. sin ?BCA sin 15 ?
在△ABC 中,由正弦定理,得: 在直角三角形 AOC 中,有: OC = AC·cos 30 ? = ( 6 3 +6)×

西

B

A

O




3 = 9+ 3 3 . 2

设步行速度为 x 米/分,则 x =

9?3 3 = 3+ 3 ≈4.7. 3
60 ?

C

即此人步行的速度为 4.7 米/分. 例 2 某海轮以 30 海里/小时的速度航行,在 A 点测得海面上油井 P 在南偏东 60 ? ,向北航行 40 分钟后到达 B 点,测得油井 P 在南偏东 30 ? , 海轮改为北偏东 60 ? 的航向再行驶 80 分钟到达 C 点,求 P、C 间的距离. 解:如图,在△ABP 中,AB = 30× ∠APB = 30 ? ,∠BAP = 120 ? , 由正弦定理,得:

B
30 ?

40 = 20, 60

A

60 ?

P

AB BP 20 BP = ,即 = ,解得 BP = 20 3 . 1 sin ?BPA sin ?BAP 3 2 2 80 = 40, 60
2 2

在△BPC 中,BC = 30×

由已知∠PBC = 90 ? ,∴PC = PB2 ? BC 2 = (20 3 ) ? 20 = 20 7 (海里).

所以 P、C 间的距离为 20 7 海里. 评析:上述两例是在准确理解方位角的前提下,合理运用正弦定理把问题解决,因此, 用正弦定理解有关应用问题时,要注意问题中的一些名称、术语,如仰角、俯角、视角、象 限角、方位角等. 例 3 某工厂生产主要产品后,留下大量中心角为 60 ? ,半径为 a 的扇形边角料,现要 废物利用,从中剪裁下巨型毛坯,要求矩形面积尽可能大,请问如何裁剪? 分析:从实际出发,尽可能使面积最大,有两种裁剪方法.一种是使矩形的一边落在扇 形的半径上, 另一种是使矩形的两顶点分别在扇形的两条半径上, 分别计算出这两种情况下 的最大值,再比较结果的出最佳方案. 解:方案一,如图 1,矩形有两个顶点在半径 OA 上,设∠AOP = ? ,则 PM = a·sin ? , ∵扇形中心角为 60 ? ,∴∠PQO = 120 ? , 由正弦定理,得:

OP PQ 2 = ,即 PQ = ·a·sin( 60 ? - ? ), sin 120 ? sin(60? ? ? ) 3

∴矩形的 MPQR 的面积为: S 1 =PM·PQ =

2 3
2

·a ·sin ? ·sin( 60 ? - ? ) =
2

1 3

·a [cos( 2? - 60 ? )-
2

cos 60 ? ]≤

1 3

·a ·(1-

1 3 2 ) = a , 2 6

当 ? = 30 ? 时,cos( 2? - 60 ? ) = 1,S 1 取得最大值

3 2 a . 6

方案二,如图 2,矩形有两个顶点分别在扇形的两条半径 OA、OB 上,

1 × 60 ? = 30 ? ,∠MRO = 150 ? , 2 RM a 由正弦定理,得: = ,即 RM = 2a·sin ? , sin ? sin 150 ?
设∠AOM = ? ,∠MRA = 又

a OR = ,∴OR = 2a·sin( 30 ? - ? ), sin(30? ? ? ) sin 150 ?

∴矩形的 MPQR 的面积为: S 2 = MR·PQ = 4a ·sin ? ·sin( 30 ? - ? ) = 2a ·[cos( 2? - 30 ? )-
2 2

cos 30 ? ]≤2a ·(1-
2

3 2 ) = (2- 3 )a . 2

即在此情况下,∠AOM = ? = 15 ? 时,可求出 M 点,然后作出 MPQR 面积为最大. 由于 S 1 -S 2 =

a2 3 2 2 a -(2- 3 )a = ( 7 3 -12)>0,所以第一种方案能使裁出的 6 6

矩形面积最大,即∠AOP = ? = 30 ? ,使 P 取在 AB 弧中点,分别向扇形的一条半径作垂线及 平行线得到矩形 MPQR,即为最大矩形.

B Q

B

P

Q

P M A

M
O

O

R

图1

R 图2

A


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