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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题一


阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1. (文)(2014· 甘肃临夏中学、 金昌市二中期中)设集合 A={x|x>1}, B={x|x(x-2)<0},则 A∩B 等于( A.{x|x>2} C.{x|1<x<2} [答案] C [解析] ∵B={x|x(x-2)<0}={x|0<x<2}, ∴A∩B={x|1<x<2}. (理)(2014· 福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联 考)已知全集 U=R, 集合 M={x|x2-x=0}, N={x|x=2n+1, n∈Z}, 则 M∩N 为( A.{0} C.{0,1} [答案] B [解析] ∵M={x|x2-x=0}={0,1},N={x|x=2n+1,n∈Z}中 ) B.{1} D.? ) B.{x|0<x<2} D.{x|0<x<1}

的元素是奇数,∴M∩N={1},选 B. 2.(2014· 威海期中)已知集合 A={-1,1},B={m|m=x+y,x∈ A,y∈A},则集合 B 等于( A.{-2,2} C.{-2,0} ) B.{-2,0,2} D.{0}

[答案] B [解析] ∵x∈A,y∈A,A={-1,1},m=x+y,∴m 的取值为

-2,0,2,即 B={-2,0,2},故选 B. 3.(2014· 山西曲沃中学期中)集合 A={x|(x-1)(x+2)≤0},B= {x|x<0},则 A∪B=( A.(-∞,0] C.[1,2] [答案] B [解析] ∵A={x|-2≤x≤1},B={x|x<0},∴A∪B={x|x≤1}, 故选 B. 4. (文)(2014· 山东省德州市期中)若 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4}, N={2,3,6},则?U(M∪N)=( A.{1,2,3} C.{1,3,4} [答案] B [解析] ∵U={1,2,3,4,5,6},M∪N={1,2,3,4,6}, ∴?U(M∩N)={5}. (理)(2014· 文登市期中)已知集合 A={x|log4x<1},B={x|x≥2}, 则 A∩(?RB)=( A.(-∞,2) C.(-∞,2] [答案] B [ 解析 ] ∵ A = {x|log4x<1} = {x|0<x<4} , B = {x|x≥2} ,∴ ? RB = ) B.(0,2) D.[2,4) ) B.{5} D.{2} ) B.(-∞,1] D.[1,+∞)

{x|x<2},所以 A∩?RB=(0,2),故选 B. 5. (文)(2014· 福州市八县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”

的否定是(

) B.?x0∈R,|x0|>0 D.?x0∈R,|x0|≤0

A.?x∈R,|x|>0 C.?x∈R,|x|≤0 [答案] C

[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题,故其否定为全称 命题,因为命题的否定只否定结论,所以选 C. (理)(2014· 甘肃临夏中学期中)命题“存在 x∈Z, 使 x2+2x+m≤0 成立”的否定是( )

A.存在 x∈Z,使 x2+2x+m>0 B.不存在 x∈Z,使 x2+2x+m>0 C.对于任意 x∈Z,都有 x2+2x+m≤0 D.对于任意 x∈Z,都有 x2+2x+m>0 [答案] D [解析] 特称命题的否定是全称命题. 6.(文)(2014· 河北冀州中学期中)下列命题中的真命题是( 3 A.?x∈R,使得 sinx+cosx=2 B.?x∈(0,+∞),ex>x+1 C.?x∈(-∞,0),2x<3x D.?x∈(0,π),sinx>cosx [答案] B [解析] π 3 ∵sinx+cosx= 2sin(x+4)∈[- 2, 2],2> 2,∴不 )

3 存在 x∈R,使 sinx+cosx=2成立,故 A 错;令 f(x)=ex-x-1(x≥0), 则 f ′(x)=ex-1,当 x>0 时,f ′(x)>0,∴f(x)在[0,+∞)上单调递 增,又 f(0)=0,∴x>0 时,f(x)>0 恒成立,即 ex>x+1 对?x∈(0,+

∞)都成立, 故 B 正确; 在同一坐标系内作出 y=2x 与 y=3x 的图象知, π 2 C 错误;当 x=4时,sinx= 2 =cosx,∴D 错误,故选 B. (理)(2014· 山东省德州市期中)下面命题中,假命题是( A.?x∈R,3x>0 B.?α,β∈R,使 sin(α+β)=sinα+sinβ C.?m∈R,使 f(x)=mxm2+2m 是幂函数,且在(0,+∞)上单 调递增 D.命题“?x∈R,x2+1>3x”的否定是“?x∈R,x2+1>3x” [答案] D [解析] 由指数函数性质知,对任意 x∈R,都有 3x>0,故 A 真; π 当 α=3,β=2π 时,sin(α+β)=sinα+sinβ 成立;故 B 真;要使 f(x) =mxm2+2m 为幂函数,应有 m=1,∴f(x)=x3,显然此函数在(0,+ ∞)上单调递增,故 C 真;D 为假命题,“>”的否定应为“≤”. 7. (文)(2014· 甘肃省金昌市二中期中)a、 b 为非零向量, “a⊥b” 是“函数 f(x)=(xa+b)· (xb-a)为一次函数”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] B [解析] ∵f(x)=(xa+b)· (xb-a)=x2a· b+x(|b|2-|a|2)-a· b, 当 f (x ) 为一次函数时,a· b=0 且|b|2-|a|2≠0,∴a⊥b,当 a⊥b 时,f(x)未必 是一次函数,因为此时可能有|a|=|b|,故选 B. (理)(2014· 江西临川十中期中)已知平面向量 a,b 满足|a|=1,|b| =2,a 与 b 的夹角为 60° ,则“m=1”是“(a-mb)⊥a”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ) ) )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

C.充要条件 [答案] C [解析]

D.既不充分也不必要条件

∵|a|=1,|b|=2, 〈a,b〉=60° ,∴a· b=1×2×cos60°

=1,(a-mb)⊥a?(a-mb)· a=0?|a|2-ma· b=0?m=1,故选 C. 8.(2014· 江西都昌一中月考)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A ={2,3,4},集合 B={2,4,5},则右图中的阴影部分表示( )

A.{2,4} B.{1,3} C.{5} D.{2,3,4,5} [答案] C [解析] 阴影部分在集合 B 中,不在集合 A 中,故阴影部分为 B∩(?UA)={2,4,5}∩{1,5,6}={5},故选 C. 9.(2014· 华安、连城、永安、漳平一中,龙海二中,泉港一中六 校联考)已知 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面, 下列命题正确的是( )

A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 α⊥β,α⊥γ,则 β∥γ C.若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β [答案] D

[解析] m∥α,n∥α 时,m 与 n 可平行,也可相交或异面,故 A 错误;由正方体相邻三个面可知,α⊥β,α⊥γ 时,β 与 γ 可能相交, 故 B 错;当 α∩β=l,m?α,m?β,m∥l 时,m∥α,m∥β,故 C 错, 故选 D. 10.(2014 甘肃临夏中学期中)已知函数 f(x)=x+bcosx,其中 b 为常数.那么“b=0”是“f(x)为奇函数”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] C [解析] 当 b=0 时,f(x)=x 为奇函数,故满足充分性;当 f(x) 为奇函数时,f(-x)=-f(x),∴-x+bcosx=-x-bcosx,从而 2bcosx =0,∵此式对任意 x∈R 都成立,∴b=0,故满足必要性,选 C. 11.(2014· 海南省文昌市检测)下列命题中是假命题 的是( ... A.?m∈R,使 f(x)=(m-1)· xm 上单调递减 B.?a>0,函数 f(x)=ln2x+lnx-a 有零点 C.?α,β∈R,使 cos(α+β)=cosα+sinβ D.?φ∈R,函数 f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数 [答案] D [解析] ∵f(x)为幂函数,∴m-1=1,∴m=2,f(x)=x-1,∴f(x) 1 在(0,+∞)上递减,故 A 真;∵y=ln2x+lnx 的值域为[-4,+∞), ∴对?a>0,方程 ln2x+lnx-a=0 有解,即 f(x)有零点,故 B 真;当 π π α=6,β=2π 时,cos(α+β)=cosα+sinβ 成立,故 C 真;当 φ=2时, f(x)=sin(2x+φ)=cos2x 为偶函数,故 D 为假命题.
2
-4m+3

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

是幂函数,且在(0,+∞)

12.(2014· 黄冈中学检测)已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于 任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集 合 M 是“理想集合”,则下列集合是“理想集合”的是( 1 A.M={(x,y)|y=x} B.M={(x,y)|y=cosx} C.M={(x,y)|y=x2-2x+2} D.M={(x,y)|y=log2(x-1)} [答案] B [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由 x1x2+y1y2=0 知 OA⊥OB, 由理想集合的定义知,对函数 y=f(x)图象上任一点 A,在图象上存在 1 点 B,使 OA⊥OB,对于函数 y=x ,图象上点 A(1,1),图象上不存在 点 B,使 OA⊥OB;对于函数 y=x2-2x+2 图象上的点 A(1,1),在其 图象上也不存在点 B,使 OA⊥OB;对于函数 y=log2(x-1)图象上的 点 A(2,0), 在其图象上不存在点 B, 使 OA⊥OB; 而对于函数 y=cosx, π π 无论在其图象上何处取点 A,总能在其位于区间[-2,2]的图象上找 到点 B,使 OA⊥OB,故选 B. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确 答案填在题中横线上.) 13.(文)(2014· 高州四中质量检测)已知函数 f(x)=x2+mx+1,若 命题“?x0>0,f(x0)<0”为真,则 m 的取值范围是________. [答案] (-∞,-2) )

[解析]

?-m>0, 由条件知? 2 ?m2-4>0,

∴m<-2.

(理)(2014· 福州市八县联考)已知命题 p:m∈R,且 m+1≤0,命 题 q:?x∈R,x2+mx+1>0 恒成立,若 p∧q 为假命题且 p∨q 为真 命题,则 m 的取值范围是________. [答案] m≤-2 或-1<m<2 [解析] p:m≤-1,q:-2<m<2,∵p∧q 为假命题且 p∨q 为 真命题,∴p 与 q 一真一假,当 p 假 q 真时,-1<m<2,当 p 真 q 假 时,m≤-2,∴m 的取值范围是 m≤-2 或-1<m<2. 14. (文)(2014· 安徽程集中学期中)以下四个命题: ①在△ABC 中, π 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA=acosB,则 B=4; ②设 a,b 是两个非零向量且|a· b|=|a||b|,则存在实数 λ,使得 b=λa; ③方程 sinx-x=0 在实数范围内的解有且仅有一个;④a,b∈R 且 a3-3b>b3-3a,则 a>b;其中正确的是________. [答案] ①②③④ [解析] ∵bsinA=acosB,∴sinBsinA=sinAcosB,∵sinA≠0,∴ π sinB=cosB,∵B∈(0,π),∴B=4,故①正确; ∵|a· b|=||a|· |b|· cos〈a,b〉|=|a|· |b|,∴|cos〈a,b〉|=1,∴a 与 b 同向或反向,∴存在实数 λ,使 b=λa,故②正确;由于函数 y=sinx 的图象与直线 y=x 有且仅有一个交点,故③正确;∵(a3-3b)-(b3 -3a)= (a3-b3)+3(a-b)= (a-b)(a2+ab+b2+3)>0,∵a2+ab+b2 +3>0,∴a-b>0,∴a>b,故④正确. (理)(2014· 屯溪一中期中)下列几个结论: ①“x<-1”是“x<-2”的充分不必要条件;

②?1(ex+sinx)dx=e-cos1;
?0

1 4 9 ③已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y=a+b的最小值为2; aπ ④若点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,则 tan 3 的值为- 3; π kπ π ⑤函数 f(x)=2sin(2x-3)-1 的对称中心为( 2 +6,0)(k∈Z) 其中正确的是________.(写出所有正确命题的序号) [答案] ②③④
1 x [解析] x<-1?/ x<-2, x<-2?x<-1, 故①错误; ? (e +sinx)dx

?0

1 =(ex-cosx)|1 b>0,a+b=2,∴y=a+ 0=e-cos1,故②正确;∵a>0, 4 1 1 4 1 b 4a 1 = ( a + b )( + ) = (5 + + ) ≥ b 2 a b 2 a b 2 (5 + 2 b 4a 9 · ) = a b 2,等号在

?b=4a, ?a b ?a+b=2,

2 4 即 a=3,b=3时成立,故③正确;∵(a,9)在函数 y=3x

2π π 的图象上,∴3a=9,∴a=2,∴tan 3 =-tan3=- 3,故④正确; π f(x)=2sin(2x-3)-1 的对称中心不落在 x 轴上,故⑤错.正确答案为 ②③④. 15.(2013· 福建文,16)设 S,T 是 R 的两个非空子集,如果存在 一个从 S 到 T 的函数 y=f(x)满足: (1)T={f(x)|x∈S}; (2)对任意 x1, x2∈S, 当 x1<x2 时, 恒有 f(x1)<f(x2), 那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下 3 对集合: ①A=N,B=N*; ②A={x|-1≤x≤3},B={x|-8≤x≤10};

③A={x|0<x<1},B=R. 其中, “保序同构”的集合对的序号是________. (写出所有“保 序同构”的集合对的序号) [答案] ①②③ [解析] 由(1)知 T 是定义域为 S 的函数 y=f(x)的值域; 由(2)知 f(x) 为增函数,因此对于集合 A、B,只要能够找到一个增函数 y=f(x), 其定义域为 A,值域为 B 即可. 对于①,A=N,B=N*,可取 f(x)=x+1,(x∈A); 9 对于②,A={x|-1≤x≤3},B={x|-8≤x≤10},可取 f(x)=2x 7 -2(x∈A); 1 对于③,A={x|0<x<1},B=R,可取 f(x)=tan(x-2)π(x∈A). 16.(文)(2014· 合肥八中联考)给出下列四个命题: ①?α,β∈R,α>β,使得 tanα<tanβ; ②若 f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上是增函数,θ π π ∈(4,2),则 f(sinθ)>f(cosθ); π 1 ③在△ABC 中,“A>6”是“sinA>2”的充要条件; 1 ④若函数 y=f(x)的图象在点 M(1, f(1))处的切线方程是 y=2x+2, 则 f(1)+f ′(1)=3,其中所有正确命题的序号是________. [答案] ①④ 3π π [解析] ①当 α= 4 ,β=3时,tanα<0<tanβ,∴①为真命题; ∵f(x)是[-1,1]上的偶函数,在[-1,0]上单调递增,

π π 2 ∴在[0,1]上单调递减,又 θ∈(4,2),∴1>sinθ>cosθ> 2 ,从而 f(sinθ)<f(cosθ),∴②为假命题; 5π π 1 ③当 A= 6 时,A>6成立,但 sinA=2,∴③为假命题; 1 1 5 ④由条件知 f ′(1)=2,f(1)=2×1+2=2,∴f(1)+f ′(1)=3, ∴④为真命题. (理)(2014· 银川九中一模)给出下列命题: a+1 a ①已知 a,b 都是正数,且 > ,则 a<b; b+1 b ②已知 f ′(x)是 f(x)的导函数, 若?x∈R, f ′(x)≥0, 则 f(1)<f(2) 一定成立; ③命题“?x∈R,使得 x2-2x+1<0”的否定是真命题; ④“x≤1 且 y≤1”是“x+y≤2”的充要条件. 其中正确命题的序号是________.(把你认为正确命题的序号都 填上) [答案] ①②③ a+1 a [解析] ①∵a,b 是正数,∴a+1>0,b+1>0,∵ > ,∴b(a b+1 b +1)>a(b+1),∴b>a,即 a<b,∴①正确; ②∵对任意 x∈R,f ′(x)≥0,∴f(x)在 R 上为增函数, ∴f(1)<f(2),∴②正确; ③“?x∈R,使得 x2-2x+1<0”的否定为“?x∈R,x2-2x+ 1≥0”,∵x∈R 时,x2-2x+1=(x-1)2≥0 成立, ∴③正确; ④当 x≤1 且 y≤1 时,x+y≤2 成立;当 x=3,y=-2 时,满足

x+y≤2,∴由“x+y≤2”推不出“x≤1 且 y≤1”, ∴④错误. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 福州市八县联考)A={x|x2-2x -8<0},B={x|x2+2x-3>0},C={x|x2-3ax+2a2<0}, (1)求 A∩B; (2)试求实数 a 的取值范围,使 C?(A∩B). [解析] (1)依题意得:A={x|-2<x<4},B={x|x>1 或 x<-3}, ∴A∩B={x|1<x<4}. (2)①当 a=0 时,C=?,符合 C?(A∩B); ②当 a>0 时,C={x|a<x<2a},
? ?a≥1 要使 C?(A∩B),则? ,解得 1≤a≤2; ?2a≤4 ?

③当 a<0 时,C={x|2a<x<a}, ∵a<0,C?(A∩B)不可能成立,∴a<0 不符合题设. ∴综上所述得:1≤a≤2 或 a=0. (理)(2014· 甘肃临夏中学期中)记函数 f(x)=lg(x2-x-2)的定义域 为集合 A,函数 g(x)= 3-|x|的定义域为集合 B. (1)求 A∩B; (2)若 C={x|x2+4x+4-p2<0,p>0},且 C?(A∩B),求实数 p 的取值范围. [解析] (1)由条件知,x2-x-2>0,∴A={x|x<-1,或 x>2},由 g(x)有意义得 3-|x|≥0, 所以 B={x|-3≤x≤3}, ∴A∩B={x|-3≤x< -1,或 2<x≤3};

(2)∵C={x|x2+4x+4-p2<0}(p>0), ∴C={x|-2-p<x<-2+p}, ∵C?(A∩B),∴-2-p≥-3,且-2+p≤-1, ∴0<p≤1, ∴实数 p 的取值范围是{p|0<p≤1}. 18.(本小题满分 12 分)(2014· 山东省菏泽市期中)已知命题 p:关 于 x 的不等式|x-1|>m-1 的解集为 R,命题 q:函数 f(x)=(5-2m)x 是 R 上的增函数,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围. [解析] 不等式|x-1|>m-1 的解集为 R,须 m-1<0,即 p 是真 命题时,m<1; 函数 f(x)=(5-2m)x 是 R 上的增函数,须 5-2m>1,即 q 是真命 题时,m<2. ∵p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题, ∴p、q 中一个为真命题,另一个为假命题. (1)当 p 真,q 假时,m<1 且 m≥2,此时无解; (2)当 p 假,q 真时,m≥1 且 m<2,此时 1≤m<2, 因此 1≤m<2. 19.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 灵宝实验高中月考)设命题 p: 实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a<0;命题 q:实数 x 满足 x2+2x -8>0 且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. [解析] 由 x2-4ax+3a2<0 及 a<0 得,3a<x<a, ∴p:3a<x<a;由 x2+2x-8>0 得,x<-4 或 x>2, ∴q:x<-4 或 x>2.∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, ∴p 是 q 的充分不必要条件,∴a≤-4. (理)(2014· 福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联

考)设命题 p:实数 x 满足(x-a)(x-3a)<0,其中 a>0,命题 q:实数 x x-3 满足 ≤0. x-2 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)∵a=1,∴不等式化为(x-1)(x-3)<0,∴1<x<3; 由 x-3 ≤0 得,2<x≤3,∵p∧q 为真,∴2<x<3. x-2

(2)∵綈 p 是綈 q 的充分不必要条件, ∴q 是 p 的充分不必要条件,
? ?a≤2, 又 q:2<x≤3,p:a<x<3a,∴? ∴1<a≤2. ?3a>3, ?

20.(本小题满分 12 分)(2014· 马鞍山二中期中)设命题 p:f(x)= 2 在区间(1,+∞)上是减函数;命题 q:x1,x2 是方程 x2-ax-2 x-m =0 的两个实根,且不等式 m2+5m-3≥|x1-x2|对任意的实数 a∈[- 1,1]恒成立,若(綈 p)∧q 为真,试求实数 m 的取值范围. [解析] 对命题 p:x-m≠0,又 x∈(1,+∞),故 m≤1, 对命题 q:|x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2= a2+8对 a∈[-1,1]有 a2+8≤3, ∴m2+5m-3≥3?m≥1 或 m≤-6. 若(綈 p)∧q 为真,则 p 假 q 真,
?m>1, ? ∴? ∴m>1. ? ?m≥1或m≤-6,

21.(本小题满分 12 分)(2014· 河北冀州中学期中)设集合 A 为函

1 数 y=ln(-x2-2x+8)的定义域,集合 B 为函数 y=x+ 的值域, x+1 1 集合 C 为不等式(ax-a)(x+4)≤0 的解集. (1)求 A∩B;(2)若 C??RA,求 a 的取值范围. 1 [解析] (1)由于-x2-2x+8>0,解得 A=(-4,2),又 y=x+ x+1 =(x+1)+ 1 -1, x+1 1 ?x+1?· -1=1;当 x+1<0 时,y≤- x+1

当 x+1>0 时,y≥2 2 1 ?x+1?· -1=-3. x+1

∴B=(-∞,-3]∪[1,+∞), ∴A∩B=(-4,-3]∪[1,2). (2)∵?RA=(-∞,-4]∪[2,+∞), 1 由(ax-a)(x+4)≤0,知 a≠0, 1 1 当 a>0 时,由(ax-a)(x+4)≤0,得 C=[-4,a2],不满足 C??
RA;

1 1 当 a<0 时,由(ax-a)(x+4)≤0,得 C=(-∞,-4]∪[a2,+∞), 1 欲使 C??RA,则a2≥2, 2 2 解得:- 2 ≤a<0 或 0<a≤ 2 , 2 又 a<0,所以- 2 ≤a<0, 2 综上所述,所求 a 的取值范围是[- 2 ,0).

22.(本小题满分 14 分)(2014· 九江市七校第一次联考)“城中观 海”是近年来国内很多大中型城市内涝所致的现象,究其原因,除天 气因素、城市规划等原因外,城市垃圾杂物也是造成内涝的一个重要 原因.暴雨会冲刷城市的垃圾杂物一起进入下水道,据统计,在不考 虑其他因素的条件下,某段下水道的排水量 V(单位:立方米/小时)是 杂物垃圾密度 x(单位:千克/立方米)的函数.当下水道的垃圾杂物密 度达到 2 千克/立方米时,会造成堵塞,此时排水量为 0;当垃圾杂物 密度不超过 0.2 千克/立方米时, 排水量是 90 立方米/小时; 研究表明, 0.2≤x≤2 时,排水量 V 是垃圾杂物密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤2 时,求函数 V(x)的表达式; (2)当垃圾杂物密度 x 为多大时,垃圾杂物量(单位时间内通过某 段下水道的垃圾杂物量,单位:千克/小时)f(x)=x· V(x)可以达到最大, 求出这个最大值. [解析] 当 0.2≤x≤2 时,排水量 V 是垃圾杂物密度 x 的一次函 数,设为 V(x)=mx+n,将(0.2,90),(2,0)代入得 V(x)=-50x+100,
? ?90?0≤x≤0.2?, V(x)=? ? ?-50x+100?0.2<x≤2?. ? ?90x?0≤x≤0.2?, (2)f(x)=x· V(x)=? ?-50x?x-2??0.2<x≤2?. ?

当 0≤x≤0.2 时,f(x)=90x,最大值为 1.8 千克/小时; 当 0.2≤x≤2 时,f(x)=50x(2-x)≤50, 当 x=1 时,f(x)取到最大值 50, 所以,当杂物垃圾密度 x=1 千克/立方米,f(x)取得最大值 50 千 克/小时.


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