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对一道竞赛题的探究


数学通讯 一 2 0 1 4年第 9期 ( 下半 月)  

?

课 外园地?  

对 一 道 竞赛 题 的探 究 
寇恒清  
( 上海 市黄浦 区教育学 院 , 2 0 0 0 2 3 )  

1 一z  
+ 

1 一z 
_

  I



2一  
十 

1一 z  
  一

1一  
  如下: 有部 分学 生 的解 = 法  



由 2 c , y , z 是 正 实 数 , 且 z   ≥   ,   ≥ { , , 可 得  
上   专 V   ≤ 5   , 所 以   Z   十 号 、 I   十   2 7 ≤ 荨 q   z +   Z  
1—  
  一
●上  



又 由   ≥ 号 , 可 知 荨   +   3   4 5 斗 5 ? 了 2 + 萼 = 1 3 ,  
求  十   十   的 最大值 .  
X  Y 

这是一道 2 0 1 4 年上海市高 中数学竞赛题 , 竞赛 
组 委 会公布 的答案 如 下 :  
1一  

l~ 故     2一 +    
+  十 

解法 1   由了 2 ≤ ≤mi n {  
,  

≤  一 4  
Z 

} 得   ≤ 丢 , 詈 ≤  
+ 

所 以 , 1 Z  V   +  +  导 的 最 大 值 为 1 3  
3< 5 5
2 q

2一 y  3 一z  
=  

畦  ≤ 
一 ,  

1 . 又由  z ≥  得  ≤ 

于是  

3 ≤   
. L  

.  

  一 上 述 解 法 显 然 是 错 误 的 , 其 主 要 错 误 在 于 普 z   所 

+ _

? 了 2+   并不成立



3  

而 且 , 当 z ≥ 詈 时 ,   z  
l —z  
n 
4  

以 

且 

十 
, -

≤  ? , T / i 3
? 

当 
+ 



1  

≤  不存在最大值 . 出错原因在于 : 将  +   +   放  m   32   V  Z 

5 ( 1 一 詈 )  

=  

2— 3 
= 一

缩 到 荨 z +   时 , 放 “ 过 ” 了 !  
上述解法予 以修正呢?答案是肯定 的  

号 2   (  一   5   ) 2   4 - 4  ̄ 4 . 。  
v  Y 
=  +

那么 , 上 述 解 法 是 否 有合 理 成 份 呢?能 不 1能将  一  
同 

『 I  

1— 2 

类似的, 由   √ ≤  .   ,   ≤1 , 得 
I   】
2 — 5 
日  

解法 2   由z   ≥  , 可得  ≤  z , 又  ≤ 理  z,  
可 
l —  

+ 

z  Y   { z   j 2 Y   、 f   ‘   4+ 1{ z  Y )  
+ 

得 

lI }z  

≤  2? 4 3?   +   ( 1 一   )  
L  ) 

≤ 

( 1 ) 当   2 ≤ z  
≤4 +2 ?   9=1 3


等≤   ≤   ,  ̄ i - z i %  

,   :  时 日 , 等 寺 号 亏 成 戚   当   = 号 ,  丢
Y:

立.  

所以, 1十   十   的最  大值 为 1 3 .  
X  Y 

十   的 最 大 值 为 萼 ? 了 2 十   1 5 = 1 3 .  

在 阅卷 过程 中 , 我 们发  现此题的得分率很低. 大 

( 2 ) 当 譬 < z ≤ 吾 时 ,   1 5 z ≤   ,   < 5   , 故   ≤  

约有 1 0 %的学生猜出了最大值 1 3 , 但没有给出证明  或证明有明显错误 ( 基 本上没有学生采用上述答 案 
中的解法 ) .  

5   < 1 5
?



譬 + 5 4 3 =  < 1 3 .  
<  1 5z
,   ,  

≥  ”  “ 0 <x ≤z ≤号,  
1  C 


( 3 )当  > 2  时

,  

1<5  

故  ≤ 
.  

x z ≤  ” , 在 这 样 的 条 件 
叶  

≤  , 所 以  +   +   ≤ 亘 <3   Ji - 5 <1 3
V  Z  Z  V  Z 

下, 我们 来求 t =X +Z 的  最大值 . 由于 条 件 中 含 有  非线性条 件 , 因 此 这 实 际 
上是 非 线 性 规 划 问 题 . 根  据 图形 , 我 们 很 容 易 得 到 

综上 讨论 可 知 : 当  =   2
,  



丢 ,   = 了 2 时 ,  

+   +   取得 最 大值 为 1 3 .  
2 

图1  

说明: 解法 2 通过分类讨论 , 分而治之 , 各个击 
破, 使 问题 迎 刃而 解 . 在证 明过程 中还用 到 了双 曲线 

“ 0 < x ≤ z ≤   , X Z ≤ 萼 ” 不 变 , 则 目 标 函 数 f = X  
+   z(   >1 , 且  为 常数 ) 的最 大 值 仍 在 、 、   3
,  

函数  =纰 +   ( 口>o , 6 >0 ) 的单调 性 . 在情形 
( 1 ) 中, 所做 的放缩 与前 面 的错 误解 法 中的放 缩是 完 

全 相 同 的 , 但 是 由 于 在 前 提 条 件 “   ≤   ≤ 等 ’ 的 制  
约下, 因此这 里 的放 缩是 合 理 与适 当 的 .  

要) 处 取得. 因 此, 原 题的 结论可 作如 下推 广.  

上面的解法 2 稍显繁琐 , 有无更简单的思路呢?  
答案 是 肯定 的 !  

『 号 ≤   ≤ m i n {  } ,  

解法 3   设  =足   (  >0 ) , 则  ≥  , 由了 2 ≤ 

≤ m i n { z ,   } , 可 得 号 ≤   ≤   所 以   ≤ 积 : = 忌   , 又  
z,  , z是 正实 数 , 故  2≤ z ≤忌
. 

{   ≥   ,   【   ≥ { .  
则 a +. 鱼 _ +旦 (   6, f为 正 常数 , 且 口+6 ≤ 


且 厂 (   ) =  + { 在 [ 号 ,   ] 上 是 减 函 数 , 故 参 +   的 最 大 值 为 厂 ( 号 ) :   2 +  
? .

‘  

+ 



: 

+ 



c ) 的最 大值 为  口十2 b +   5   c
. 



又  +   5( 足   ≥  ) 的最大值为  ?   +   5=4

.  

f , z ≤  ≤ mi n { z, Y} ,  

_ 《 . f E Z ≥乃 ,  
【   ≥  .  

故当 . 2 7 -   2
,  



 

时, 1


十   取得最大值 4 .  


同理 可得 : 当  =   1 值  .  

z =

詈 时 , 专 十   取 得 最 大  

则詈 十  +  的 Z最 大 值 为   |   +   譬 b   + _ n C ?  

故当 z=了 2
,  


=   ,

z =   时 ,   + 号 +   3 :  

推广 3  设 a f , h   ( i 一1 , 2, …, 7 z ) 都 是 正常数 ,  

(  +   ) + 2 (   +   ) 取得最大值为 1 3 .  
说明: 在 解 法 3中 , 先把 z  看 成 常 量 k   , 求 出 

且h i gh ,   (   =1 , 2 , …,   一1 ) , n   - I &   ≤口  若正实数  z   ( i :1 , 2 , …,  ) 满足: ^   ≤z   ≤r ai n { z 1 , 3 S 2 , …,  

的最大值 , 这种分步处理 的方法是解决 多变量问题  的常用方法.  

+   的 最 大 值 g (   ) , 然 后 再 求 g ( 忌 ) ( 是 ≥ √   )  3  ̄ n - 1 } , z  ≥ ^  (   = 1 , 2 , … ,   一 1 ) , 则 蓦  的 最  
大 值 为 高   .  
如果令  :x,   :z, 则条件“   ≤  ≤ , 艘 


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