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重庆市南开中学2015届高三上学期12月月考数学试卷(理科)


重庆市南开中学 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷 (理科)
一.选择题:本大题共 l0 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集不可能是( ) A.R B.φ C. D.

考点:集合的表示法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:分 a 等于

0,小于 0,大于 0 三种情况考虑,分别求出不等式的解集,即可做出判断. 解答: 解:当 a=0 时, b≤0,不等式无解;b>0,不等式解集为 R; 当 a>0 时,解得:x> 当 a<0 时,解得:x< ,此时不等式的解集为 ,此时不等式的解集为 ; ,

故选:D. 点评:本题考查了含参数不等式的解法,利用了分类讨论的思想,分类讨论时考虑问题要全 面,做到注意不重不漏. 2.抛物线 y =4x 的焦点到准线的距离为( A.1 B.2
2

) C .4

D.8

考点:抛物线的简单性质. 专题:阅读型. 分析: 根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程, 进而利用点到直线的距离求 得焦点到准线的距离. 解答: 解:根据题意可知焦点 F(1,0) ,准线方程 x=﹣1, ∴焦点到准线的距离是 1+1=2 故选 B. 点评:本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用.属 基础题.

3.已知 A.

, B.

,则 cosa=( C.

) D.

考点:二倍角的余弦. 专题:计算题;三角函数的求值. 分析:原式两边平方可解得 sina=﹣ ,由 解答: 解:∵ , ,即可计算 cosa 的值.

∴两边平方可得:1+sina= ,即 sina=﹣ ∵ ∴cosa=﹣ , =﹣

故选:A. 点评:本题主要考察了二倍角的余弦公式的应用,属于基本知识的考查. 4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列.若 a1=1,则 S4=( A.7 B.8 C.15 D.16 考点:等差数列的性质;等比数列的前 n 项和. 专题:计算题. 分析:先根据“4a1,2a2,a3 成等差数列”和等差中项的性质得到 3 者的关系式,然后根据等 比数列的性质用 a1、q 表示出来代入以上关系式,进而可求出 q 的值,最后根据等比数列的 前 n 项和公式可得到答案. 解答: 解:∵4a1,2a2,a3 成等差数列 ∴ , )

∴ ∴q=2 ∴S4= =

,即

=15

故选 C 点评:本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质.属基础题.

5.已知单位向量 A.



夹角为 B.

,则 C .2

=(

) D.

考点:数量积表示两个向量的夹角. 专题:平面向量及应用. 分析:由向量的模长公式,代值计算可得.

解答: 解:∵单位向量 ∴ = = =



夹角为



= 故选:B 点评:本题考查数量积与向量的夹角,涉及模长公式,属基础题.
2 2

6.已知直线 2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)平分圆 C:x +y +2x﹣4y+1=0 的圆周长,则 的最小值为( A. ) B. C .4 D.6

考点:基本不等式在最值问题中的应用;直线与圆的位置关系. 专题:不等式的解法及应用;直线与圆. 2 2 分析:利用直线 2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)始终平分圆 x +y +2x﹣4y+1=0 的圆周,可得 圆的圆心(﹣1,2)在直线 2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)上,再利用“1”的代换,结合基本 不等式,即可求出 的最小值.

解答: 解:由题意,圆的圆心(﹣1,2)在直线 2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)上 ∴﹣2a﹣2b+2=0(a>0,b>0) ∴a+b=1 ∴ b=2 =(a+b) ( 时, )=3+ ≥3+2 . =3+2 ,当且仅当 ,即 a= ,

的最小值为 3+2

故选:B. 点评:本题考查圆的对称性,考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于 中档题. 7.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:当 x≥0 时,f(x)=x ﹣8,则关于 x 的不等式: f(x﹣2 2 )>1 的解集为( ) A.{x|x<0 或 x>2} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<﹣2 或 x>4}D.{x|x<﹣2 或 x>2} 考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:不等式的解法及应用. 分析:根据函数奇偶性和单调性的关系,结合指数不等式即可得到结论. 解答: 解:不等式 2 )>1 的等价为 f(x﹣2)>0, 3 若 x<0,则﹣x>0,即 f(﹣x)=﹣x ﹣8, 3 ∵f(x)是偶函数,∴f(﹣x)=﹣x ﹣8=f(x) ,
f(x﹣2 3

即 f(x)=﹣x ﹣8,x<0. 则不等式 f(x﹣2)>0 等价为 ①或 ②,

3

由①得

,即 x>4.

由②得

,即 x<0,

综上不等式的解集为{x|x<0 或 x>4}, 故选:B 点评:本题主要考查不等式的解法,利用函数奇偶性的性质是解决本题的关键. 8.下列说法正确的个数是( ) 3 2 3 2 ①命题“?x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“?x0∈R,x0 ﹣x0 +1>0”; ②“b= ”是“三个数 a,b,c 成等比数列”的充要条件; ⑨“m=﹣1”是“直线 mx+(2m﹣1)y+1=0 和直线 3x+my+2=0 垂直”的充要条件: ④“复数 Z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的充要条件是 a=0”是真命题. A.1 B.2 C .3 D.4 考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析:①利用命题的否定即可判断出. ②“b=± ”是“三个数 a,b,c 成等比数列”的充要条件,即可判断出; ⑨对 m 分类讨论:m=0, 与当 m≠0, 时,即可判断出; ④“复数 Z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的充要条件是 a=0,b≠0”,即可判断出. 解答: 解:①命题“?x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“?x0∈R,x0 ﹣x0 +1>0”,正确; ②“b=± ”是“三个数 a,b,c 成等比数列”的充要条件,因此②不正确; ⑨直线 mx+(2m﹣1)y+1=0 和直线 3x+my+2=0.当 m=0 时,两条直线分别化为﹣y+1=0, 3x+2=0,此时两条直线垂直; 当 m= 时,两条直线分别化为 x+1=0,3x+ y+2=0,此时两条直线不垂直; 当 m≠0, 时,两条直线的斜率分别为: , ,若两条直线垂直,则 ?( )
3 2 3 2

=﹣1,解得 m=﹣1; ∴“m=﹣1”是“直线 mx+(2m﹣1)y+1=0 和直线 3x+my+2=0 垂直”的充分不必要条件,不正 确: ④“复数 Z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的充要条件是 a=0,b≠0”,因此是假命题. 综上可得:只有①是真命题. 故选:A. 点评:本题考查了简易逻辑的有关知识、相互垂直的直线与斜率之间的关系、分类讨论的思 想方法、复数为纯虚数的充要条件,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

9.设 F1,F2 为双曲线 C:

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过坐标原点 O 的直线

与双曲线 C 在第一象限内交于点 P,若|PF1|+|PF2|=6a,且△ PF1F2 为锐角三角形,则直线 OP 斜率的取值范围是( ) A. B. C. D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析:首先,设直线 OP 的方程,然后根据双曲线的定义,并结合条件|PF1|+|PF2|=6a,求解 |PF1|和|PF2|的值,然后,根据△ PF1F2 为锐角三角形,联立方程组写出相应的点 P 的坐标, 最后限制范围即可. 解答: 解:∵|PF1|+|PF2|=6a, |PF1|﹣|PF2|=2a, ∴|PF1|=4a,|PF2|=2a, ∵|F1F2|=2c, ∵△PF1F2 为锐角三角形,











<e


2

∴3<1+( ) <5, ∴ < <2,

欲使得过坐标原点 O 的直线与双曲线 C 在第一象限内交于点 P, ∴k∈( , ) .

故选:A. 点评:本题重点考查了双曲线的标准方程、几何性质、直线与双曲线的位置关系等知识,属 于中档题.解题关键是理解直线与双曲线的位置关系处理思路和方法. 10.存在实数 a,使得对函数 y=g(x)定义域内的任意 x,都有 a<g(x)成立,则称 a 为 + g (x) 的下界, 若 a 为所有下界中最大的数, 则称 a 为函数 g (x) 的下确界. 已知 x, y, z∈R 且以 x,y,z 为边长可以构成三角形,则 f(x,y,z)= 的下确界为( )

A.

B.

C.

D.

考点:分析法的思考过程、特点及应用;函数的最值及其几何意义. 专题:新定义;函数的性质及应用. 分析:运用极端法,就是三角形在趋近于无法构成时,即:x→0,并令 y=z,可得原式> 恒 成立,再由分析法证明,注意运用配方和三角形的三边关系,可得下确界为 . 解答: 解:运用极端法,就是三角形在趋近于无法构成时, 即:x→0,并令 y=z, 所以 = ,当然此值只是一个极限值,

原式=

> 恒成立,

可运用分析法证明上式. 2 即证(x+y+z) <4xy+4yz+4zx, 2 2 2 即有 x +y +z <2xy+2yz+2zx, 2 2 2 2 2 2 即有(x﹣y) +(y﹣z) +(z﹣x) <x +y +z , 由三角形中,|x﹣y|<z,|y﹣z|<x,|z﹣x|<y, 均为(x﹣y) <z , (y﹣z) <x , (z﹣x) <y . 则上式成立. 故下确界是 . 故选 B. 点评:本题考查新定义的理解和运用,考查三角形的三边的关系和不等式的证明,属于中档 题. 二、填空置:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
2 2 2 2 2 2

11.设实数 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值为 14.

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可求最大值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大.



,解得

,即 A(4,6) ,

代入目标函数 z=2x+y 得 z=2×4+6=14. 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 14. 故答案为:14

点评:本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法. 12.数列{an}满足:a1=2014,an﹣an?an+1=1,ln 表示 an 的前 n 项之积,则 l2014=﹣2014. 考点:数列递推式. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析:通过化简可知递推式为 an+1=1﹣ 现,进而计算可得结论. 解答: 解:∵an﹣anan+1=1, ∴an+1=1﹣ ∵a1=2014, ∴a2=1﹣ a3=1﹣ a4=1﹣ = =﹣ , , , ,进而逐一求出 a2、a3、a4 发现数列的项周期出

=2014,

∴该数列是周期为 3 的周期数列, 且前三项之积为 2014? ?(﹣ )=﹣1,

∵2014=671×3+1, 671 ∴l2014=(﹣1) ?2014=﹣2014, 故答案为:﹣2014.

点评:本题考查数列的通项,注意解题方法的积累,属于中档题.

13.椭圆

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,若椭圆上存在点 P 使线段 PF1

与以椭圆短轴为直径的圆相切,切点恰为线段 PF1 的中点,则该椭圆的离心率为



考点:椭圆的简单性质. 专题:计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:设线段 PF1 的中点为 M,另一个焦点 F2,利用 OM 是△ F1PF2 的中位线,以及椭圆的 定义求出直角三角形 OMF1 的三边之长,使用勾股定理求离心率. 解答: 解:设线段 PF1 的中点为 M,另一个焦点 F2, 由题意知,OM=b,又 OM 是△ F1PF2 的中位线, ∴OM= PF2=b,PF2=2b,由椭圆的定义知 PF1=2a﹣PF2=2a﹣2b, 又 MF1= PF1= (2a﹣2b)=a﹣b,又 OF1=c, 直角三角形 OMF1 中,由勾股定理得: (a﹣b) +b =c ,又 a ﹣b =c , 可得 2a=3b,故有 4a =9b =9(a ﹣c ) ,由此可求得离心率 e= = 故答案为: .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



点评:本题考查椭圆的定义、方程和性质,考查直线和圆相切的条件,考查运算能力,属于 中档题. 二、考生注意.14、15、16 为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给 分. 14.如图,EA 是圆 O 的切线,割线 EB 交圆 O 于点 C,C 在直径 AB 上的射影为 D,CD=2, BD=4,则 EA= .

考点:与圆有关的比例线段. 专题:立体几何. 分析:由相交弦定理,得 CD =AD?BD,由△ BDC∽△BAE,得 解答: 解:由相交弦定理,得 CD =AD?BD, 2 即 2 =AD×4,
2 2

,由此能求出 AE.

解得 AD=1,∴AB=1+4=5, ∵EA 是圆 O 的切线,C 在直径 AB 上的射影为 D, ∴△BDC∽△BAE, ∴ ∴AE= , = = .

故答案为: . 点评: 本题考查与圆有关的线段长的求法, 是中档题, 解题时要注意相交弦定理的合理运用.

15.在平面直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 直线 l 的坐标方程为 则直线 l 截曲线 C 所得的弦长为 .

以原点为极 =0,

考点:简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 分析:本题可以先将曲线 C 的参数方程消去参数,得到曲线的普通方程,再将直线 l 的极坐 标方程化成平面直角坐标方程,然后列出方程组,由弦长公式求出弦长,得到本题结论. 解答: 解:∵曲线 C 的参数方程为 ,

∴消去参数得: ∵直线 l 的极坐标方程为 ∴y﹣ x+ =0, 即: x﹣y﹣ =0.

. =0,


2



得:5x ﹣8x=0, ∴x=0 或 , ) , ( , ) , = . .

∴交点坐标分别为(0, 弦长为 故答案为:

点评:本题考查了参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与平面直角坐标方程的互化,还 考查了弦长公式,本题难度不大,属于基础题.

16.若不等式|3x﹣b|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3,则 b 的取值范围 5<b<7. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:计算题;压轴题. 分析:首先分析题目已知不等式|3x﹣b|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3,求 b 的取值 范围,考虑到先根据绝对值不等式的解法解出|3x﹣b|<4 含有参数 b 的解,使得解中只有整 数 1,2,3,即限定左边大于 0 小于 1,右边大于 3 小于 4.即可得到答案. 解答: 解:因为 又由已知解集中的整数有且仅有 1,2,3, ,

故有



故答案为 5<b<7. 点评:此题主要考查绝对值不等式的解法问题,题目涵盖知识点少,计算量小,属于基础题 型.对于此类基础考点在 2015 届高考中属于得分内容,同学们一定要掌握. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)= sinxcosx﹣cos x+ ,△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,
2

b,c 且 f(A)=1. (I) 求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=7,b=5,求 c 的值. 考点:二倍角的余弦;二倍角的正弦;余弦定理. 专题:计算题;解三角形. 分析: (I)由 f(x)=
2 2

sinxcosx﹣cos x+ 利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简,然
2

2

后结合 f(A)=1,及 A∈(0,π)可求 A; (Ⅱ)由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 可求 c 解答: 解: (I)因为 f(x)= = =sin(2x﹣ ) … )=1,A∈(0,π) ,… , …
2 2 2

sinxcosx﹣cos x+

2

又 f(A)=sin(2A﹣ 所以 ∴

(Ⅱ)由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA

得到

,所以 c ﹣5c﹣24=0

2



解得 c=﹣3(舍)或 c=8 … 所以 c=8 点评: 本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式在三角函数化简中的应用, 特殊角的三角函 数值及余弦定理的应用 18.已知点 A(2,0)关于直线 l1:x+y﹣4=0 的对称点为 A1,圆 C: (x﹣m) +(y﹣n) 2 =4(n>0)经过点 A 和 A1,且与过点 B(0,﹣2 )的直线 l2 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)求直线 l2 的方程. 考点:圆的标准方程;直线的一般式方程. 专题:计算题. 分析: (1)由点 A 和 A1 均在圆 C 上且关于直线 l1 对称,得到圆心在直线 l1 上,由圆的方 程找出圆心坐标,代入直线 l1,得到关于 m 与 n 的方程,然后把点 A 的坐标代入到圆的方 程中,得到关于 m 与 n 的另一个方程,联立两方程即可求出 m 与 n 的值,确定出圆 C 的方 程; (2)当直线 l2 的斜率存在时,设出直线 l2 的方程,由直线与圆相切时圆心到直线的距离等 于圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关于 k 的方程,求出方程的解即可得到 k 的值, 从而确定出直线 l2 的方程;当直线 l2 的斜率不存在时,x=0 显然满足题意,综上,得到所有 满足题意得直线 l2 的方程. 解答: 解: (1)∵点 A 和 A1 均在圆 C 上且关于直线 l1 对称, ∴圆心在直线 l1 上,由圆 C 的方程找出圆心 C(m,n) , 把圆心坐标直线 l1,点 A 代入圆 C 方程得: ,解得
2 2


2

(与 n>0 矛盾,舍去) ,

则圆 C 的方程为: (x﹣2) +(y﹣2) =4; (2)当直线 l2 的斜率存在时, 设直线 l2 的方程为 y=kx﹣2 ,由(1)得到圆心坐标为(2,2) ,半径 r=2, 根据题意得:圆心到直线的距离 d= =r=2,解得 k=1,

所以直线 l2 的方程为 y=x﹣2 ; 当直线 l2 的斜率不存在时, 易得另一条切线为 x=0, 综上,直线 l2 的方程为 y=x﹣2 或 x=0. 点评:此题考查了圆的标准方程,以及直线与圆的位置关系.要求学生会利用待定系数法求 圆的方程,掌握直线与圆相切时满足的关系,在求直线 l2 的方程时,注意由所求直线的斜 率存在还是不存在,利用分类讨论的方法得到所有满足题意得方程. 19.已知函数 f(x)=x +bx 为偶函数,数列{an}满足 an+1=2f(an﹣1)+1,且 a1=3,an>1. (1)设 bn=log2(an﹣1) ,求证:数列{bn+1}为等比数列; (2)设 cn=nbn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.
2

考点:数列的求和;等比关系的确定. 专题:综合题;等差数列与等比数列. 2 分析: (1)利用函数 f(x)=x +bx 为偶函数,可得 b,根据数列{an}满足 an+1=2f(an﹣1) +1,可得 bn+1+1=2(bn+1) ,即可证明数列{bn+1}为等比数列; n (2)由 cn=nbn=n?2 ﹣n,利用错位相减可求数列的和. 2 解答: (1)证明:∵函数 f(x)=x +bx 为偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) ,∴b=0 ∵an+1=2f(an﹣1)+1, 2 ∴an+1﹣1=2(an﹣1) , ∵bn=log2(an﹣1) , ∴bn+1=1+2bn, ∴bn+1+1=2(bn+1) ∴数列{bn+1}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列 n (2)解:由(1)可得,bn+1=2 , n ∴bn=2 ﹣1 n ∴cn=nbn=n?2 ﹣n, ∴Sn=1?2+2?2 +…+n?2 ﹣ 令 T=1?2+2?2 +…+n?2 , 2 3 n n+1 2Tn=1?2 +2?2 +…+(n﹣1)?2 +n?2 2 3 n n+1 n+1 两式相减可得,﹣Tn=2+2 +2 +…+2 ﹣n?2 =(1﹣n)?2 ﹣2 n+1 ∴Tn=(n﹣1)?2 +2, ∴Sn=(n﹣1)?2
n+1 2 n 2 n

+2﹣



点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式, 错位相减求 数列的和的应用是求解的关键

20.设函数 f(x)=ln(x﹣1)+ (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)已知对任意的 x∈(1,2)∪(2,+∞) ,不等式 a 的取值范围.



成立,求实数

考点:利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:计算题;分类讨论;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)求出函数的导数,对 a 讨论,①当 0≤a≤2,②当 a>2 时,求出导数为 0 的根, 解不等式,即可得到单调区间; (2)当 x>1 且 x≠2 时,不等式 成立等价为 1<x<2 时,f(x)<a

且 x>2 时,f(x)>a 恒成立.分别讨论当 0≤a≤2 时,当 a>2 时,函数的单调性和最值情 况,即可得到 a 的范围.

解答: 解: (1)f(x)的导数 f′(x)=
2 2

=

令 g(x)=x ﹣2ax+2a(a≥0,x>1) ,则△ =4a ﹣8a=4a(a﹣2) ,对称轴 x=a, ①当 0≤a≤2,g(x)≥0,即 f′(x)≥0,f(x)在(1,+∞)上递增; ②当 a>2 时,g(x)=0 的两根 x1=a﹣ ,x2=a+ ,

由 g(1)=1﹣2a+2a=1>0,a>2,则 1<x1<x2, 当 x∈(x1,x2) ,g(x)<0,f(x)递减, 当 x∈(1,x1)∪(x2,+∞) ,g(x)>0,f(x)递增; 则有 f(x)的增区间为(1,a﹣ 减区间为(a﹣ ,a+ ) , (a+ ) ; 成立 ,+∞) ,

(2)当 x>1 且 x≠2 时,不等式

等价为 1<x<2 时,f(x)<a 且 x>2 时,f(x)>a 恒成立. 由(1)知,当 0≤a≤2 时,f(x)在(1,+∞)上递增, f(2)≥a 且 f(2)≤a,即有 f(2)=a, 即有 ln1+ =a,成立,则 0≤a≤2 恒成立;

当 a>2 时,g(2)=4﹣4a+2a=4﹣2a<0,即 1<x1<2<x2, x1<x<2 时,f(x)递减,f(x)>f(2)=a; 则存在 1<x<2,f(x)>a 即 1<x<2 时,f(x)<a 不恒成立,不满足题意. 综上,a 的取值范围是[0,2]. 点评:本题考查函数的导数的运用:求单调区间,考查不等式的恒成立问题,注意转化为求 函数的最值问题,考查分类讨论的思想方法,考查运算能力,属于中档题和易错题. 21.已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且经过点 . (1)求椭圆 C1 的标准方程; (2) 如图, 以椭圆 C1 的长轴为直径作圆 C2, 过直线 x=﹣2 上的动点 T 作圆 C2 的两条切线, 设切点分别为 A、B,若直线 AB 与椭圆 C1 求交于不同的两点 C、D,求 的取值范围.

考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (1)由已知得

,由此能求出椭圆的标准方程.

(2)圆 C2 的方程为 x +y =2,设直线 x=﹣2 上的动点 T 的坐标为(﹣2,t) , (t∈R) ,设 A (x1,y1) ,B(x2,y2) ,则直线 AT 的方程为 x1x+y1y=2,直线 BT 的方程为 x2x+y2y=2,直 线 AB 的方程为﹣2x+ty=2, 由此利用点到直线的距离和导数的性质能求出 的取值范围.

2

2

解答: 解: (1)设椭圆 C1 的标准方程为 将点 P( ) ,Q(﹣1,﹣ )代入,得:

(a>b>0) ,

,解得 a=

,b=1,

∴椭圆的标准方程为
2 2



(2)圆 C2 的方程为 x +y =2, 设直线 x=﹣2 上的动点 T 的坐标为(﹣2,t) , (t∈R) , 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则直线 AT 的方程为 x1x+y1y=2, 直线 BT 的方程为 x2x+y2y=2, 又 T(﹣2,t)在直线 AT 和 BT 上,即 ∴直线 AB 的方程为﹣2x+ty=2, 由原点 O 到直线 AB 的距离为 d= , ,

得|AB|=2

=2



联立

,消去 x,得(t +8)y ﹣4ty﹣4=0,

2

2

设 C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,







从而|CD|=

=




2

=



设 t +4=m,m≥4, 则 = = ,

又设 则

.0<s =

, ,
3

设 f(s)=1+6s﹣32s , 令 f′(s)=6﹣96s =0,解得
3 2



故 f(s)=1+6s﹣32s 在 s∈(0, ]上单调递增, f(s)∈(1,2], ∴ ∈(1, ].

点评: 本题考查椭圆的方程的求法, 考查两线段比值的取值范围的求法, 解题时要认真审题, 注意函数与方程思想的合理运用.

22.己知数{an}满足 a1=1,an+1=an+2n,数列{bn}满足 bn+1=bn+ (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 cn= ,记 Sn=c1+c2+…+cn,求证:

=1.

<1.

考点:数列的求和;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 2 分析: (1)由已知得 an+1﹣an=2n,由此利用累加法能求出 an=n +n+1. (2)由已知得 = = ,从而 ,进而 cn<

[(

)﹣(

)],由此能证明

<1.

解答: (1)解:∵{an}满足 a1=1,an+1=an+2n, ∴an+1﹣an=2n, ∴an=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+an+1﹣an =1+2+4+6+…+2n =1+2× =n +n+1. (2)证明:∵bn+1=bn+ =1,
2



=





=

=







∴cn=

=



= [ = [( )﹣(

] )],

∴Sn=c1+c2+…+cn < [(1﹣ = = (2﹣ )<1, )+( +…+ )]

又由 cn=

=



得{cn}是增数列,∴Sn=c1+c2+…+cn≥c1=

= ,



<1.

点评:本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意累加 法和裂项求和法的合理运用.


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