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高中数学选修1-2(人教A版)模块综合检测


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高中数学选修 1-2
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.复数 z1=1+ 3i 和 z2=1- 3i 对应的点在复平面内关于________对称( A.实轴 B.虚轴 C.第一、三

象限的角平分线 D.第二、四象限的角平分线 解析:选 A.z1,z2 对应的点分别为(1, 3),(1,- 3),关于实轴对称. 2.若事件 A 与 B 相互独立,则下列不一定相互独立的事件为( ) A.B 与 B B. A 与 B C.A 与 B D. A 与 B 解析:选 A.若事件 A 与 B 相互独立,则事件 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 都是相互独立 的,只有 B 与 B 是对立事件,一般不相互独立. 3.若(x2-1)+(x+1)i 是纯虚数,则实数 x 的值是( ) A.1 B.-1 C.± 1 D.以上都不对 ? 2 ?x -1=0 解析:选 A.由题意得? ,解得 x=1. ? ?x+1≠0 4.某个命题与正整数 n 有关,若 n=λ(λ∈N*)时该命题成立,那么可推得当 n=λ+1 时 该命题也成立.现已知 n=5 时该命题不成立,那么可推得( ) A.n=6 时该命题不成立 B.n=6 时该命题成立 C.n=4 时该命题成立 D.n=4 时该命题不成立 解析:选 D.利用逆否命题求解,若 n=λ+1 时,该命题不成立,则 n=λ 时该命题也不 成立,所以当 5=λ+1 时,n=λ=4. 5.在“由于任何数的平方都是非负数,所以(2i)2≥0”这一推理中,产生错误的原因是 ( ) A.推理的形式不符合三段论要求 B.大前提错误 C.小前提错误 D.推理的结果错误 解析:选 B.大前提“由于任何数的平方都是非负数”是错误的,如 i2=-1<0. 6.图(1)是某县参加 2010 年高考的学生身高的条形统计图,从左到右的各条形表示的 学生人数依次记为 A1、A2、?、A10(如 A2 表示身高(单位:cm)在[150,155)内的学生人数).图 (2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在 160~180
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cm(含 160 cm,不含 180 cm)的学生人数,那么在流程图的判断框内应填写的条件是(

A.i<6 B.i<7 C.i<8 D.i<9 解析:选 C.身高在 160~180 cm(含 160 cm,不含 180 cm)的学生人数为 A4+A5+A6+ A7,算法流程图实质是求和,由此得到应填的条件为 i<8. -2 5 3 2 6 7 1 10 7.观察下列各等式: + =2, + =2, + =2, + 5-4 3-4 2-4 6-4 7-4 1-4 10-4 -2-4 =2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为( ) 8-n n A. + =2 n-4 ?8-n?-4 n+1 ?n+1?+5 B. + =2 ?n+1?-4 ?n+1?-4 n+4 n C. + =2 n-4 ?n+4?-4 n+1 n+5 D. + =2 ?n+1?-4 ?n+5?-4 8-5 5 解析:选 A.各等式可化为: + =2, 5-4 ?8-5?-4 8-2 8-7 2 7 + =2, + =2, 2-4 ?8-2?-4 7-4 ?8-7?-4 8-10 10 + =2, 10-4 ?8-10?-4 可归纳得一般等式: 8-n n + =2.故选 A. n-4 ?8-n?-4 z2 i 8.设复数 z1=2-i,z2=1-3i,则复数 + 的虚部等于( ) z1 5 A.1 B.-1 1 C. 2 1 D.- 2 1+3i i?2+i? 1 3 i 解析:选 A.原式= + = + + i=i. 5 5 5 5 2-i f?2? f?4? f?2012? 9.如果 f(a+b)=f(a)· f(b),且 f(1)=1,则 + +?+ 等于( f?1? f?3? f?2011?
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A.1005 B.1006 C.2008 D.2010 解析:选 B.∵f(a+b)=f(a)· f(b), ∴f(2)=f(1+1)=f(1)· f(1) f(3)=f(2+1)=f(2)· f(1) f(4)=f(3+1)=f(3)· f(1) ?? f(2012)=f(2011+1)=f(2011)· f(1) f?2? f?4? f?2012? ∴ + +?+ f?1? f?3? f?2011? =f(1)+f(1)+?+f(1) =1006f(1)=1006,故选 B. 10.用反证法证明命题“若 a2+b2=0,则 a,b 全为 0(a,b∈R)”时,其假设正确的 是( ) A.a,b 中至少有一个不为 0 B.a,b 中至少有一个为 0 C.a,b 全不为 0 D.a,b 中只有一个为 0 解析:选 A.a,b 全为 0 的否定是不全为 0,也就是 a,b 中至少有一个不为 0. 11.已知△ABC 三个顶点所表示的复数分别是 1+3i,3+2i,5+4i,则△ABC 的面积是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5

解析:选 B.将三个顶点坐标在直角坐标系中表示出来,最好用梯形面积计算省去求夹 角与两点距离的繁杂计算, 如图所示, 过点 A, C 分别作 x 轴的垂线, B, 分别交 x 轴于点 A′, ?3+4?×4 ?3+2?×2 B′,C′,所以 S△ABC=S 梯形 AA′C′C-S 梯形 AA′B′B-S 梯形 CC′B′B= - - 2 2 ?2+4?×2 =14-5-6=3. 2 12.某自来水厂一蓄水池可以用甲、乙两个水泵注水,单开甲泵需 15 小时注满,单开 乙泵需 18 小时注满,若要求 10 小时注满水池,并且使两泵同时开放的时间尽可能地少,则 甲、乙两水泵同时开放的时间最少需( ) A.4 小时 B.7 小时 C.6 小时 D.14 小时 解析:选 C.根据题意开放水泵的工序流程图有两个方案:

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1 1 如果用方案一注水, 可设甲、 乙两泵同时开放的时间为 x 个小时, 由题意得方程( + )x 18 15 1 + (10-x)=1. 15 解得:x=6(小时). 如果用方案二注水,可设甲、乙两泵同时注水的时间为 y 个小时. 1 1 1 则( + )y+ (10-y)=1, 18 15 18 60 2 解得:y= =6 (小时). 9 3 所以选方案一注水,可得甲、乙两水泵同时开放注水的时间最少,需 6 个小时,故选 C. 二、填空题(本大题共 4 小题.把正确答案填在题中横线上) 13.若 z∈C,且满足 z · (1+i)=-2+3i,则 z=________. -2+3i ?-2+3i??1-i? 1+5i 解析:因为 z = = = , 2 2 1+i 1 5 所以 z= - i. 2 2 1 5 答案: - i 2 2 14.(2011 年高考陕西卷)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ? 照此规律,第 n 个等式为 ________________________________________________________________________. 解析: ∵1=12,2+3+4=9=32,3+4+5+6+7=25=52, ∴第 n 个等式为 n+(n+1)+? 2 +(3n-2)=(2n-1) . 答案:n+(n+1)+?+(3n-2)=(2n-1)2 15.(2010 年高考广东卷)某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居 民某年的月均用水量进行了抽样调查,其中 n 位居民的月均用水量分别为 x1,x2,?,xn(单 位: 根据如图所示的程序框图, n=2, x1,2 分别为 1,2, 吨). 若 且 x 则输出的结果 s 为________.

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1 解析:当 i=1 时,x1=1,执行 i≤2 后,s1=1,s2=1,此时 s= (1-1)=0.当 i=2 时, 1 1 9 1 2 x2=2,执行 i≤2 后,s1=1+2=3,s2=1+2 =5,此时 s= (5- )= . 2 2 4 1 答案: 4 16.如图所示,对于函数 f(x)=x2(x>0)上任意两点 A(a,a2),B(b,b2),线段 AB 必在 a2+λb2 → 弧 AB 上方.设点 C 分AB的比为 λ,则由图象中的点 C 在点 C′上方,可得不等式 > 1+λ a+λb 2 ( ) , 请 分 析 函 数 y = lnx(x > 0) 的 图 象 , 类 比 上 述 不 等 式 可 以 得 到 的 不 等 式 是 1+λ ______________.

解析:先类比猜想,再检验所猜想的结论是否正确. lna+λlnb a+λb 答案: <ln 1+λ 1+λ 三、解答题(本大题共 6 小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.调查某桑场采桑员和辅助工桑毛虫皮炎发病情况结果如下表: 采桑 不采桑 合计 18 12 患者人数 5 78 健康人数 合计 利用 2×2 列联表的独立性检验估计,“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关?认为两者 有关系会犯错误的概率是多少? 解:n11=18,n12=12,n21=5,n22=78, 所以 n1+=30,n2+=83,n+1=23,n+2=90,n=113. n?n11n22-n12n21?2 所以 χ2= n1+n2+n+1n+2 113×?18×78-5×12?2 = ≈39.6>6.635. 30×83×23×90
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所以有 99%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系.认为两者有关系会犯错误 的概率是 1%. 18.(2011 年高考上海卷)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的 虚部为 2,且 z1·2 是实数,求 z2. z 解:(z1-2)(1+i)=1-i?z1=2-i. 设 z2=a+2i,a∈R, 则 z1·2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. z ∵z1·2∈R,∴a=4. z ∴z2=4+2i. 19.某市公车票价按下列规则规定: ①5 公里以内(包括 5 公里)票价 2 元; ②5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里按 5 公里计算). 已知两个相邻的公共汽车站间距约 1 公里,如果沿途(包括起点站和终点站)共有 16 个 汽车站,请设计一个算法求出某人坐车 x 公里所用的票价,画出程序框图. 解:据题意,可得某人坐车 x 公里所用票价

?2,0<x≤5, ? y=?3,5<x≤10, ?4,10<x≤15. ?
程序框图:

20.(2011 年高考安徽卷)某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据: 2002 2004 2006 2008 2010 年份 236 246 257 276 286 需求量(万吨) ^ (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量. 解:(1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升的,下面求回归直线方 程.为此对数据预处理如下: 0 2 4 年份-2006 -4 -2 0 19 29 需求量-257 -21 -11 对预处理后的数据,容易算得 x =0, y =3.2. ^ b= ?-4?×?-21?+?-2?×?-11?+2×19+4×29-5×0×3.2 ?-4?2+?-2?2+22+42-5×02 260 = =6.5, 40 ^ ^ a= y -b x =3.2. 由上述计算结果,知所求回归直线方程为
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^ ^ ^ y-257=b(x-2006)+a=6.5(x-2006)+3.2, ^ 即y=6.5(x-2006)+260.2.① (2)利用直线方程①,可预测 2012 年的粮食需求量为 6.5×(2012-2006)+260.2 =6.5×6+260.2=299.2(万吨). 1+b 1+a 21.已知 a>0,b>0,且 a+b>2,求证: , 中至少有一个小于 2. a b 1+b 1+a 1+b 1+a 证明:假设 , 都不小于 2,则 ≥2, ≥2. a b a b 因为 a>0,b>0,所以 1+b≥2a,1+a≥2b, 两式相加可得 1+1+a+b≥2(a+b),即 2≥a+b, 这与已知 a+b>2 矛盾,故假设不成立, 1+b 1+a 即 , 中至少有一个小于 2. a b 22.已知 a,b,c 为正实数,求证: (1)(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc; b+c-a c+a-b a+b-c (2) + + ≥3. a b c 证明:(1)ab+a+b+1=(a+1)(b+1), ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c). ∵a>0,b>0,c>0, ∴a+1≥2 a>0,b+1≥2 b>0, a+c≥2 ac>0,b+c≥2 bc>0, ∴(a+1)(b+1)≥4 ab, (a+c)(b+c)≥4 abc2=4c ab, ∴(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)≥16abc. 故当 a,b,c 为正实数时,有 (ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc, 当且仅当 a=b=c=1 时,等号成立. b+c-a b+c b c (2) = -1= + -1, a a a a c+a-b c a a+b-c a b = + -1, = + -1. b b b c c c ∵a,b,c 为正实数, b a c a b c ∴ + ≥2, + ≥2, + ≥2, a b a c c b b a c a b c ∴ + + + + + ≥6, a b a c c b b c c a a b ∴( + -1)+( + -1)+( + -1)≥3, a a b b c c b+c-a c+a-b a+b-c 即 + + ≥3. a b c

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