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函数的最值与导数


3.3.3 函数的最值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的局部 性质,而不是函数在整个定义域内的性质。 但是我们往往更关心函数在某个区间上 哪个值最大,哪个值最小。

观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象, 你能找出它的极大值点,极小值点吗?

y

ab c
极大值点

r />
d

o

e

f

g

h

x

极小值点 b d f ceg ,

你能说出函数的最大值点和最小值点吗? 最大值点 :a , 最小值点:d

图1
y ? f ( x)

y

函数y=f(x)在区间[a,b]上 最大值是f (a), 最小值是f (b).

a

o

b

x

单调函数的最大值和最小值容易被找到。

图2

y
y ? f ( x)

a x1 x2 o x3
函数y=f (x)在区间[a,b]上

x4

x5

b

x

最大值是f (x3), 最小值是f (x4).

一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f (x) 的图象是一条连续不断的曲线,那么 它必有最大值和最小值。

怎样求函数y=f (x)在区间[a ,b]内的最大值

和最小值?
只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点 的函数值进行比较即可。

例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的 最大值,最小值。

(-∞,-2) -2 f ?( x) + 0 f(x) 单调递增↗ 28 x

(-2,2) 单调递减↘
y

2 (2,+∞) 0 + -4 单调递增↗

f ( x) ? x3 ?12x ? 12

-2 o

2

x

例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的 最大值,最小值。

解:由上节课的例1知,在[0,3]上,
当x=2时, f(x)=x3-12x+12有极小值, 并且极小值为f (2)=-4. 又由于f (0)=12,f (3)=3,

因此,函数 f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的
最大值为12,最小值为-4。

求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的 步骤如下
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值);

②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(即 端点的函数值)作比较,其中最大的一个 为最大值,最小的一个为最小值.

练习1、求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间
[-2,2]上的最大值与最小值。 解: f ?( x ) =-36+6x+12x2=6(2x2+x-6) 令 f ?( x ) =0,解得x1=-2 , x2=1.5

因为f(-2)=57, f(1.5)=-28.75, f(2)=-23
所以函数的最大值为57,最小值为-28.75

练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间
[-1,1]上的最值。 解:f ?( x ) =3x2-6x+6=3(x2-2x+2)

因为 f ?( x ) 在[-1,1]内恒大于0, 所以 f(x)在[-1,1]上是增函数,
故当x=-1时,f(x)取得最小值-12; 当x=1时,f(x)取得最大值2。

例2、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a; (1)求f(x)的单调递减区间; (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值。 解: (1) f ?( x ) =-3x2+6x+9
令 f ?( x ) <0,解得x<-1或x>3 函数f(x)的单调递减区间为 (-∞,-1) ∪(3,+∞)

f

( x)

?

? x3

? 3x 2

? 9x ? a

y

o

- 23 1

x

(2) ∵f(-2)=8+12-18+a=2+a
f(2)=-8+12+18+a=22+a ∴f(2)>f(-2) 于是有22+a=20,解得a=-2 ∴f(x)=-x3+3x2+9x-2 ∴在(-1,3)上 f ?( x ) >0, ∴f(x)在[-1,2]上单调递增

又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,

∴ f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的
最大值和最小值。

∴f(-1)=1+3-9-2=-7,
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7。

例3、证明:当x>0时,x>ln(1+x) 解:设f(x)=x-ln(1+x).
1 x 当x ? 0时, f ?( x) ? 1 ? ? ?0 1? x 1? x

又因为f(x)在x=0处连续, 所以f(x)在x≥0上单调递增, 从而当x>0时,有f(x)=x-ln(1+x)>f(0)=0 即x>ln(1+x).

练习3:当x>1时,证明不等式:
1 2 x ? 3? . x

1 证:设 f ( x ) ? 2 x ? 3 ? , x

显然f(x)在[1,+∞)上连续,且f(1)=0.
1 1 1 1 f ?( x ) ? ? 2? (1 ? ). x x x x x

显然,当x>1时, f ?( x ) ? 0 ,故f(x)是

[1,+∞)上的增函数.
所以当x>1时,f(x)>f(1)=0,即当x>1时,
1 2 x ? 3? . x

例4、求证

1 1 2 2 ln x ? ? ( x ? 1) ? 1 ? (1 ? x)3 x 2 3

证明:设
1 1 2 2 f ( x) ? ln x ? ? ( x ? 1) ? 1 ? ( x ? 1) 3 ( x ? 0) x 2 3

1 1 2 ? f ( x) ? ? 2 ? ( x ? 1) ? 2( x ? 1) x x
x ?1 ? 2 ? ( x ? 1) ? 2( x ? 1) 2 x

1 ? ( x ? 1)[ 2 ? 1 ? 2( x ? 1)] x

1? x2 ? ( x ? 1)[ 2 ? 2( x ? 1)] x 1? x 2 3 1? 2x ? ( x ? 1) ? (2 ? 2 ) ? ( x ? 1) ? 2 x x 令 f ?( x) =0,解得x=1,

在x=1附近 f ?( x) 由负到正 当x=1时,f(x)有极小值,这里也是最小值 所以当x>0时,f(x) ≥f(1)=0
从而
1 1 2 2 ln x ? ? ( x ? 1) ? 1 ? (1 ? x)3 x 2 3

小 结:
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的 步骤如下 ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值);

②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(即 端点的函数值)作比较,其中最大的一个 为最大值,最小的一个为最小值.


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