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2010年福建省高中数学竞赛暨全国数学联赛福建预赛试卷


2010 年福建省高中数学竞赛暨全国数学联赛福建预赛试卷 一、填空题(每题 6 分) 1. 用区间表示函数 f ( x ) = ln

11. 当实数 a 为何值时,关于 x 的方程 ax = ln x 无解、一解、两解?

1 x 1 的定义域为____________ x+3
1 3

2. 在

ABC 中,若 sin A + cos A = , 则 cos 2 A = __________ 3. 在 数 列 {an } 中 , 已 知 a1 = 2, an +1 2an = 2 __________ 4. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,对任意 x ∈ R 均有 f ( x + 2 ) = f ( x ) , 且 x ∈ ( 0,1) 时, f ( x ) = x , 则
2 n +1

( n ∈ N *) , 则 使 an > 10 成 立 的 最 小 正 整 数 n 的 值 为

3 f + f (1) = ________ 2
5. 如图,在棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,

12. 已知函数 f ( x ) = x x 2a . 试求 f ( x ) 在区间 [ 0,1] 的最大值 g ( a ) 。

PAB 为等边

三 角 形 , O 为 AB 边 中 点 , 且 PO ⊥ 面ABCD, 则 二 面 角

P AC D 的余弦值为______________
6. 已 知 集 合 A = x x = a0 + a1 × 7 + a2 × 7 + a3 × 7
2

{

3

},

其 中

ai ∈ {0,1, 2,3, 4,5, 6} , i = 0,1, 2,3, 且 a3 ≠ 0 .若正整数 m, n ∈ A ,
且 m + n = 2010, m > n, 则符合条件的正整数 m 有___________________个. 7. 函数 f ( x ) = sin
3 2k

x + cos 2 k x ( k ∈ N *) 的最小值为________________
3 3 3 3

8. 将 方 程 x 3 x [ x ] = 4 的 实 数 解 从 小 到 大 排 列 得 x1 , x2 , x3 ,L xk , 则 x1 + x 2 + x3 + L + x k 的 值 为 _____________( [ x ] 表示不超过 x 的最大整数) 9. 若 正 整 数 m 使 得 对 任 意 一 组 满 足 a1a2 a3 a4 = 1 的 正 数 a1 , a2 , a3 , a4 都 有

a1m + a 2m + a 3m + a 4m ≥

1 1 1 1 + + + 成立,则正整数 m 的最小值为_____________ a1 a2 a3 a4

10. 如图,记从“田字型”网格(由四个边长为 1 的正方形组成)的 9 个交点中任取 3 个点构成的三角形面 积为 ξ (当所取的三点共线时 ξ = 0 ) ,则 ξ 的期望 Eξ = _________二、解答题(共 5 小题每题 20 分)

13. 如图,在锐角三角形 ABC 中, AB = AC , ∠ACB 的平分线交 AB 于点 D,过 ABC 的外心 O 作 CD 的垂线交 AC 于点 E,过点 E 作 AB 的平行线交 CD 于点 F。 (1) 求证:C,E,O,F 四点共圆。 (2) 求证:A,O,F 三点共线; (3) 求证:EA=EF。

14. 数列 {an } 中,已知 a1 = 2 ,且对一切正整数 n 都有 an +1 = a1a2 L an + 1. 求证;

1 1 1 1 1 1 1 1 + + L + ≥ + + + L n 对一切正整数 n 均成立。 a1 a2 a3 an 2 4 8 2

14.已知双曲线 C :

x2 y 2 = 1( a > 0, b > 0 ) 的离心率为 2,过点 P ( 0, m )( m > 0 ) 斜率为 2 的直线 l 交双 a 2 b2
uuu r uuu uuu uuu r r r

曲线 C 于 A, B 两点,且 AP = 3PB, OA OB = 3. (1)求双曲线方程; (2)设 Q 双曲线 C 右支上的动点, F 为双曲线 C 的右焦点,在 x 轴负半轴上是否 存在点 M 使得 ∠QFM = 2∠QMF ? 若存在求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。


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