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2015-2016学年甘肃省天水一中高一(下)期中数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学 年 甘 肃 省 天 水 一 中 高 一( 下 )期 中 数 学 试 卷 (文科)
一 、 选 择 题 ( 每 题 4 分 , 共 40 分 ) 1. 已 知 扇 形 的 半 径 是 2, 面 积 为 8, 则 此 扇 形 的 圆 心 角 的 弧 度 数 是 ( A. 4 B. 2 C. 8 D. 1 2. 终 边 在 一 、 三 象 限 角 平 分 线 的 角 的 集 合 是 ( ) A. C. 3. 若 将 函 数 B. D. 图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不 ) C.



变,则所得图象对应的函数解析式为( A. D. B.

4 . 如 果 cos θ < 0 , 且 tan θ > 0 , 则 θ 是 ( ) A. 第 一 象 限 的 角 B. 第 二 象 限 的 角 C. 第 三 象 限 的 角 D. 第 四 象 限 的 角 5. 已 知 向 量 λ 的值为( A. B. ) C. 2 D. ,以向量 作为一组 , , ,若向量 与 共线,则

6 . 在 △ ABC 中 , D 为 线 段 BC 上 一 点 , 且 基底,则 A. 7 . sin ( ﹣ A. B. ﹣ 等于( B. )的值是( C. D. ﹣ ) C. ) D.

8 . 已 知 | |=1 , | |=6 , A. B. C.

? ( ﹣ ) =2 , 则 与 的 夹 角 是 ( D.



9 . 已 知 sin φ =

, 且 φ ∈(

, π) , 函 数 f ( x ) =sin ( ω x+ φ ) ( ω> 0) 的 图 象 , 则 f( )的值为( )

的相邻两条对称轴之间的距离等于

A. ﹣

B. ﹣

C.

D. )

10 . 已 知 tan α =2 , 则 sin 2 α ﹣ sin α cos α 的 值 是 ( A. B. C. ﹣ 2 D. 2

二 、 填 空 题 ( 每 题 4 分 , 共 16 分 ) 11 . 设 向 量 , 是 相 互 垂 直 的 单 位 向 量 , 向 量 λ + 与 ﹣ 2 垂 直 , 则 实 数 λ= . 12 . 函 数 13 . 已 知 cos ( α + 的定义域是 ) = , 求 sin ( ﹣ α) 的 值 . . .

14 . 函 数 y=1 ﹣ sin 2 x ﹣ 2sin x 的 值 域 是 三、解答题

15 . 已 知 f ( α ) =



( 1) 化 简 f( α) ; ( 2 ) 若 α 是 第 三 象 限 角 , 且 cos ( α ﹣ ) = , 求 f( α) 的 值 .

16 . 已 知 函 数 y=Asin ( ω x+ φ ) ( A > 0, ω> 0, |φ |< π ) 的 一 段 图 象 如 图 所 示 , ( 1) 求 函 数 的 解 析 式 ; ( 2) 求 这 个 函 数 的 单 调 递 增 区 间 .

17 . 已 知 △ OAB 的 顶 点 坐 标 为 O ( 0 , 0 ) , A( 2, 9) , B( 6, ﹣ 3) ,点 P 的 横 坐 标 为 14 , 且 = λ , 点 Q 是 边 AB 上 一 点 , 且 ? =0 . ( 1) 求 实 数 λ 的 值 与 点 P 的 坐 标 ; ( 2) 求 点 Q 的 坐 标 . 18 . 已 知 函 数 y=a ﹣ bc os ( 2x+ ( 1) 求 a, b 的 值 ; ) ( b> 0) 的 最 大 值 为 3, 最 小 值 为 ﹣ 1.

( 2) 当 求 x∈[



π ] 时 , 函 数 g ( x ) =4asin ( bx ﹣

)的值域.

2015-2016 学 年 甘 肃 省 天 水 一 中 高 一 ( 下 ) 期 中 数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一 、 选 择 题 ( 每 题 4 分 , 共 40 分 ) 1. 已 知 扇 形 的 半 径 是 2, 面 积 为 8, 则 此 扇 形 的 圆 心 角 的 弧 度 数 是 ( ) A. 4 B. 2 C. 8 D. 1 【考点】扇形面积公式. 【 分 析 】扇 形 的 圆 心 角 的 弧 度 数 为 α ,半 径 为 r ,弧 长 为 l ,面 积 为 s ,由 面 积 公式和弧长公式可得到关于 l 和 r 的方程,进而得到答案. 【 解 答 】 解 : 由 扇 形 的 面 积 公 式 得 : S= 因 为 扇 形 的 半 径 长 为 2 c m, 面 积 为 8 c m2 所 以 扇 形 的 弧 长 l=8 . 设 扇 形 的 圆 心 角 的 弧 度 数 为 α, 由 扇 形 的 弧 长 公 式 得 : l= | α |R , 且 R=2 所 以 扇 形 的 圆 心 角 的 弧 度 数 是 4. 故 选 : A. 2. 终 边 在 一 、 三 象 限 角 平 分 线 的 角 的 集 合 是 ( A. C. 【考点】象限角、轴线角. 【 分 析 】 当 角 的 终 边 在 第 一 象 限 的 平 分 线 上 时 , 则 α =2k π + 终 边 在 第 三 象 限 的 平 分 线 上 时 , 则 α =2k π + , k∈z. , k∈z, 当 角 的 B. D. ) lR ,

【 解 答 】 解 : 设 角 的 终 边 在 第 一 象 限 和 第 三 象 限 的 平 分 线 上 的 角 为 α, 当 角 的 终 边 在 第 一 象 限 的 平 分 线 上 时 , 则 α =2k π + 当 角 的 终 边 在 第 三 象 限 的 平 分 线 上 时 , 则 α =2k π + 综 上 , α =2k π + 即 α =k π + , k∈z 或 α =2k π + , k∈z, , k∈z, , k∈z,

, k∈z, , k∈z }.

终 边 在 一 、 三 象 限 角 平 分 线 的 角 的 集 合 是 : { α | α =k π + 故 选 D.

3. 若 将 函 数

图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不 ) C.

变,则所得图象对应的函数解析式为( A. D. B.

【 考 点 】 函 数 y=Asin ( ω x+ φ ) 的 图 象 变 换 . 【分析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论. 【 解 答 】 解 : 函 数 y= sin ( x ﹣ 倍, (纵坐标不变) , 得 到 y= sin ( 故 选 : A. 4 . 如 果 cos θ < 0 , 且 tan θ > 0 , 则 θ 是 ( ) A. 第 一 象 限 的 角 B. 第 二 象 限 的 角 C. 第 三 象 限 的 角 D. 第 四 象 限 的 角 【考点】三角函数值的符号. 【分析】根据三角函数的符号,判断 θ 是哪一象限角即可. 【 解 答 】 解 : ∵ co s θ < 0 , ∴ θ 是 第 二 、 第 三 象 限 角 或 x 负 半 轴 角 , 又 tan θ > 0 , ∴ θ 是 第 一 或 第 三 象 限 角 , ∴θ 是 第 三 象 限 角 . 故 选 : C. x﹣ )的图象. )的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 2

5. 已 知 向 量 λ 的值为( A. B. ) C. 2 D.





,若向量

与 共线,则

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示. 【分析】先求出 【 解 答 】 解 : ∵向 量 ∴ ∴由 解得 故 选 : D. , 与 共 线 得 ﹣ 8 ﹣ ( 2 λ +1 ) =0 , . , ,再由 , 与 共线,能求出 λ 的值. ,

6 . 在 △ ABC 中 , D 为 线 段 BC 上 一 点 , 且 基底,则 A. 等于( B. ) C. D.

,以向量

作为一组

【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【分析】由题意作图辅助,从而可得 即可. 【解答】解:由题意作图如右, = + = = = 故 选 : D. + + ( ﹣ , ) = + = + ( ﹣ ) ,从而化简

7 . sin ( ﹣ A. B. ﹣

)的值是( C. D. ﹣



【考点】运用诱导公式化简求值. 【分析】直接利用诱导公式化简求值即可. 【 解 答 】 解 : sin ( ﹣ 故 选 : D. 8 . 已 知 | |=1 , | |=6 , A. B. C. ? ( ﹣ ) =2 , 则 与 的 夹 角 是 ( D. ) ) = ﹣ sin ( 2 π + ) = ﹣ sin =﹣ .

【考点】平面向量数量积的运算.

=6cos θ , 再 根 据 ? ( ﹣ ) 【 分 析 】 设 与 的 夹 角 是 θ, 则 由 题 意 可 得 =2 , 求 得 cos θ 的 值 , 可 得 θ 的 值 . =1 × 6 × cos θ =6cos θ , 【 解 答 】 解 : 设 与 的 夹 角 是 θ, 则 由 题 意 可 得 再 根 据 ?( ﹣ ) = 故 选 : C. ﹣ =6cos θ ﹣ 1=2 , ∴ cos θ = , ∴θ= ,

9 . 已 知 sin φ = , 且 φ ∈ (

, π) , 函 数 f ( x ) =sin ( ω x+ φ ) ( ω> 0) 的 图 象 , 则 f( )的值为( )

的相邻两条对称轴之间的距离等于 A. ﹣ B. ﹣ C. D.

【考点】正弦函数的图象. 【 分 析 】 由 周 期 求 出 ω , 由 条 件 求 出 cos φ 的 值 , 从 而 求 得 f ( )的值.

【 解 答 】 解 : 根 据 函 数 f ( x ) =sin ( ω x+ φ ) ( ω> 0) 的 图 象 的 相 邻 两 条 对 称 轴之间的距离等于 可得 = = ,

, ∴ ω =2 . , π) , 可 得 co s φ = ﹣ + φ ) =cos φ = ﹣ , ,

由 sin φ = , 且 φ ∈ ( ∴则 f ( 故 选 : B. ) =sin (

10 . 已 知 tan α =2 , 则 sin 2 α ﹣ sin α cos α 的 值 是 ( A. B. C. ﹣ 2 D. 2



【考点】三角函数的化简求值. 【 分 析 】 先 在 sin 2 α ﹣ sin α cos α 加 上 分 母 1 , 即 ,然 后 分

子 分 母 同 时 除 以 c os 2 α 即 可 得 到 关 于 tan α 的 关 系 式 , 进 而 得 到 答 案 . 【 解 答 】 解 : 因 为 sin 2 α ﹣ sin α co s α = =

=

= .

故 选 A. 二 、 填 空 题 ( 每 题 4 分 , 共 16 分 )

11 . 设 向 量 , 是 相 互 垂 直 的 单 位 向 量 , 向 量 λ + 与 ﹣ 2 垂 直 , 则 实 数 λ = 2 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据向量垂直,令数量积为零列方程解出. 【 解 答 】 解 : ∵向 量 , 是 相 互 垂 直 的 单 位 向 量 , ∴ =0 , .

∵λ + 与 ﹣ 2 垂 直 , ∴( λ + ) ? ( ﹣ 2 ) = λ ﹣ 2=0 . 解 得 λ =2 . 故 答 案 为 2.

12 . 函 数

的定义域是

Z)



【考点】三角函数的定义域;函数的定义域及其求法. 【分析】列出使函数有意义的不等式组,即由被开方数不小于零,得三角不 等式组,分别利用正弦函数和余弦函数图象解三角不等式组即可 【解答】解:要使函数有意义,需

解得:

( k∈Z)

即 2k π + 故答案为

≤ x ≤ 2k π + π

( k∈Z) Z)

13 . 已 知 cos ( α +

) = , 求 sin (

﹣ α) 的 值



【考点】三角函数的化简求值. 【分析】原式中的角度变形后,利用诱导公式化简,将已知等式代入计算即 可求出值. 【 解 答 】 解 : ∵ co s ( α + ∴ sin ( ﹣ α ) =sin [ . )= , ) ] =cos ( α + )= ,

﹣ ( α+

故答案为:

14 . 函 数 y=1 ﹣ sin 2 x ﹣ 2sin x 的 值 域 是 [ ﹣ 2 , 2 ] . 【考点】三角函数的最值;同角三角函数基本关系的运用. 【 分 析 】 利 用 正 弦 函 数 的 值 域 , 二 次 函 数 的 性 质 , 求 得 函 数 f( x) 的 值 域 , 属于基础题.

【 解 答 】 解 : ∵ sinx ∈ [ ﹣ 1 , 1 ] , ∴函 数 y=1 ﹣ sin 2 x ﹣ 2 sin x= ﹣ ( sinx+1 ) 2 +2 , 故 当 sinx=1 时 , 函 数 f ( x ) 取 得 最 小 值 为 ﹣ 4+2= ﹣ 2 , 当 sinx= ﹣ 1 时 , 函 数 f ( x ) 取 得 最 大 值 为 2 , 故 函 数 的 值 域 为 [ ﹣ 2 , 2 ] , 故 答 案 为 : [﹣ 2, 2]. 三、解答题

15 . 已 知 f ( α ) =



( 1) 化 简 f( α) ; ( 2 ) 若 α 是 第 三 象 限 角 , 且 cos ( α ﹣ ) = , 求 f( α) 的 值 .

【考点】三角函数的化简求值. 【分析】 ( 1) 利 用 三 角 函 数 的 诱 导 公 式 对 函 数 进 行 化 简 即 可 ; ( 2) 由 于 函 数 化 简 后 为 f ( α ) = ﹣ co s α , 所 以 只 要 求 得 ﹣ cos α 便 可 , 由 求 得 sin α , 又 α 是 第 三 象 限 角 , 可 求 得 cos α , 从 而 求 得 f ( α ) 的 值 . 【解答】解: ( 1) 根 据 已 知 的 关 系 式 , 结 合 诱 导 公 式 可 知 ; ( 2) 因 为 α 是 第 三 象 限 角 , 且 那么可知 所以 , . , , 可

16 . 已 知 函 数 y=Asin ( ω x+ φ ) ( A > 0, ω> 0, |φ |< π ) 的 一 段 图 象 如 图 所 示 , 1 ( )求函数的解析式; ( 2) 求 这 个 函 数 的 单 调 递 增 区 间 .

【考点】正弦函数的图象. 【分析】 ( 1) 由 函 数 的 最 值 求 出 A, 由 周 期 求 出 ω, 由 特 殊 点 的 坐 标 求 出 φ 的值,可得函数的解析式.

( 2) 利 用 正 弦 函 数 的 单 调 性 , 求 得 这 个 函 数 的 单 调 递 增 区 间 . 【 解 答 】解 : ( 1 )由 图 可 知 :A=2 , 得 ω =2 , 所 以 y=2 sin ( 2x+ ? ) ,又因为该图象过点 所以 所以 又 因 为 |? |< π , 所 以 ( 2) 由 得 所以这个函数的单调增区间为 , 即 . ,即 即 , ∴函 数 y=2sin ( 2 x+ , , , , ) . , ,所 以 T= π ,由

17 . 已 知 △ OAB 的 顶 点 坐 标 为 O ( 0 , 0 ) , A( 2, 9) , B( 6, ﹣ 3) ,点 P 的 横 坐 标 为 14 , 且 = λ , 点 Q 是 边 AB 上 一 点 , 且 ? =0 . ( 1) 求 实 数 λ 的 值 与 点 P 的 坐 标 ; ( 2) 求 点 Q 的 坐 标 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 ( 1 ) 先 设 P ( 14 , y ) ,分 别 表 示 的 方 程 可 求 y; ( 2 ) 先 设 点 Q( a , b ) ,则 可 表 示 向 量 Q 在 边 AB 上 可 得 然后由 ,建 立 关 于 y

,由

, 可 得 3a=4b , 再 由 点

, 从 而 可 解 a, b, 进 而 可 得 Q 的 坐 标 . ,

【解答】解: ( 1 ) 设 P ( 14 , y ) ,则



,∴

,解得



∴点 P 坐 标 为 ( 14 , ﹣ 7 ) . ( 2) 设 点 Q( a, b) ,则 ∵ , ,

, ∴ 12a ﹣ 16b=0 , 即 3a=4b . , 即 3a+b ﹣ 15=0 ;

∵点 Q 在 边 AB 上 , ∴ k AB =k B Q , 即 联立 , 解 得 a=4 , b=3 ,

∴点 Q 坐 标 为 ( 4 , 3 ) .

18 . 已 知 函 数 y=a ﹣ bc os ( 2x+ ( 1) 求 a, b 的 值 ; ( 2) 当 求 x∈[ ,

) ( b> 0) 的 最 大 值 为 3, 最 小 值 为 ﹣ 1.

π ] 时 , 函 数 g ( x ) =4asin ( bx ﹣

)的值域.

【 考 点 】 函 数 y=Asin ( ω x+ φ ) 的 图 象 变 换 ; 余 弦 函 数 的 定 义 域 和 值 域 . 【分析】 ( 1) 由 题 意 可 得 , 由 此 求 得 a、 b 的 值 . ) , 根 据 x∈[ , π], 利 用 正

( 2 ) 由 ( 1 ) 可 得 函 数 g ( x ) =4sin ( 2x ﹣

弦 函 数 的 定 义 域 和 值 域 求 得 函 数 g( x) 的 值 域 . 【 解 答 】解 : ( 1 ) ∵函 数 y=a ﹣ b cos ( 2x+ 为 ﹣ 1, ∴ ,解得 . ) =4sin ( 2x ﹣ ) , ) ( b> 0) 的 最 大 值 为 3, 最 小 值

( 2 ) 由 ( 1 ) 可 得 函 数 g ( x ) =4asin ( bx ﹣ ∵x∈[ , π ] , ∴ 2x ﹣ ) ∈[﹣ ∈[ , 1], . , ],

∴ sin ( 2x ﹣

故 函 数 g( x) 的 值 域 为 :

2016 年 7 月 4 日



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