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2015-2016学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 2四种命题 四种命题间的相互关系课时作业 新人教A版选修2-1


课时作业(二)

四种命题

四种命题间的相互关系

A 组 基础巩固 1.命题“若 A∪B=A,则 A∩B=B”的否命题是( ) A.若 A∪B≠A,则 A∩B≠B B.若 A∩B=B,则 A∪B=A C.若 A∩B≠B,则 A∪B≠A D.若 A∪B≠A,则 A∩B=B 解析:命题“若 p,则 q”的否命题为“若綈

p,则綈 q”,故 A 正确. 答案:A 2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.若一个数是负数,则它的平方不是正数 B.若一个数的平方是正数,则它是负数 C.若一个数不是负数,则它的平方不是正数 D.若一个数的平方不是正数,则它不是负数 解析:命题“若 p,则 q”的逆命题是“若 q,则 p”,故 B 正确. 答案:B 3.命题:“a,b 都是奇数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是( ) A.若 a,b 都不是奇数,则 a+b 是偶数 B.若 a+b 是奇数,则 a,b 都是偶数 C.若 a+b 不是偶数,则 a,b 都不是奇数 D.若 a+b 不是偶数,则 a,b 不都是奇数 解析:∵a,b 都是奇数的否定为:a,b 不都是奇数,a+b 是偶数的否定为:a+b 不是 偶数, ∴逆否命题为:若 a+b 不是偶数,则 a,b 不都是奇数. 答案:D 4.命题“若 a>-3,则 a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个 数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:易知原命题为真命题,从而逆否命题为真命题. ∵逆命题为“若 a>-6,则 a>-3”,∴逆命题为假命题,∴否命题为假命题.从而真 命题的个数是 2. 答案:B 5.已知命题 p:垂直于平面 α 内无数条直线的直线 l 垂直于平面 α ,q 是 p 的否命题, 下面结论正确的是( ) A.p 真,q 真 B.p 假,q 假 C.p 真,q 假 D.p 假,q 真 解析:当平面 α 内的直线相互平行时,l 不一定垂直于平面 α ,故 p 为假命题. 易知 p 的否命题 q:若直线 l 不垂直于 α 内无数条直线,则 l 不垂直于 α ,易知 q 为真 命题. 答案:D 6.下列有关命题的说法正确的是( ) x A.“若 x>1,则 2 >1”的否命题为真命题 B.“若 cosβ =1,则 sinβ =0”的逆命题是真命题 C.“若平面向量 a,b 共线,则 a,b 方向相同”的逆否命题为假命题 D.命题“若 x>1,则 x>a”的逆命题为真命题,则 a>0 x x 解析:A 中,2 ≤1 时,x≤0,从而否命题“若 x≤1,则 2 ≤1”为假命题,故 A 不正确; B 中,sinβ =0 时,cosβ =±1,则逆命题为假命题,故 B 不正确;D 中,由已知条件得 a 的 取值范围为[1,+∞),故 D 不正确. 答案:C

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7.命题“若 a>b,则 2 >2 -1”的否命题是________________. 解析:“若 p,则 q”的否命题为“若綈 p,则綈 q”. a b 答案:若 a≤b,则 2 ≤2 -1 8.已知命题“若 m-1<x<m+1,则 1<x<2”的逆命题为真命题,则 m 的取值范围是 ________. 解析:由已知,逆命题“若 1<x<2,则 m-1<x<m+1”为真命题. ∴?
? ?m-1≤1, ? ?m+1≥2,

a

b

∴1≤m≤2.

答案:1≤m≤2 9.有下列四个命题,其中真命题有__________(只填序号). ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; 2 ③“若 q≤1,则 x +2x+q=0 有实根”的逆命题; 2 2 ④“若 a>b,则 ac >bc ”的逆否命题. 解析:①中逆命题为“若 x,y 互为相反数,则 x+y=0”,是真命题. ②的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,是假命题. 2 ③的逆命题为“若 x +2x+q=0 有实根, 则 q≤1”, 为真命题, 由 Δ =4-4q≥0, 得 q≤1, ④中当 c=0 时,原命题不正确,因此逆否命题是假命题. 综上可知①③是真命题. 答案:①③ 2 10.设 M 是一个命题,它的结论是 q:x1,x2 是方程 x +2x-3=0 的两个根,M 的逆否命 题的结论是綈 p:x1+x2≠-2 或 x1x2≠-3. (1)写出 M; (2)写出 M 的逆命题、否命题、逆否命题. 2 解:(1)设命题 M 表述为:若 p,则 q 那么由题意知其中的结论 q 为:x1,x2 是方程 x +2x -3=0 的两个根.而条件 p 的否定形式綈 p 为:x1+x2≠-2 或 x1x2≠-3,故綈 p 的否定形式 即 p 为:x1+x2=-2 且 x1x2=-3.所以命题 M 为:若 x1+x2=-2 且 x1x2=-3,则 x1,x2 是方 2 程 x +2x-3=0 的两个根. 2 (2)M 的逆命题为:若 x1,x2 是方程 x +2x-3=0 的两个根,则 x1+x2=-2 且 x1x2=-3. 2 逆否命题为:若 x1,x2 不是方程 x +2x-3=0 的两个根,则 x1+x2≠-2 或 x1x2≠-3. 2 否命题为:若 x1+x2≠-2 或 x1x2≠-3,则 x1,x2 不是方程 x +2x-3=0 的两个根. B 组 能力提升 11.给出命题:若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y=f(x)的图象不过第四象限.在它的 逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析:原命题与逆否命题等价,而原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.原命题的 逆命题为: 若 y=f(x)的图象不过第四象限, 则函数 y=f(x)是幂函数, 显然此命题为假命题. 又 ∵逆命题与否命题同真假,∴否命题为假.故选 C. 答案:C 12.若命题 p 的否命题为 q,命题 p 的逆否命题为 r,则 q 与 r 的关系是__________. 解析:设命题 p 为“若 m,则 n”,∴命题 q 为“若綈 m,则綈 n”,命题 r 为“若綈 n, 则綈 m”.∴q 与 r 是互逆命题. 答案:互逆命题 13.判断下列命题的真假,并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题,同时判断这些命 题的真假. (1)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形; 2 2 (2)若在二次函数 y=ax +bx+c 中,b -4ac<0,则该二次函数图象与 x 轴有公共点; (3)在△ABC 中,若 a>b,则∠A>∠B. 解:(1)该命题为真命题.
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逆命题:若四边形是圆的内接四边形,则四边形的对角互补,为真命题. 否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内接四边形,为真命题. 逆否命题:若四边形不是圆的内接四边形,则四边形的对角不互补,为真命题. 2 2 (2)该命题为假命题.∵当 b -4ac<0 时,二次方程 ax +bx+c=0 没有实数根,因此二 2 次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴无公共点. 2 2 逆命题:若二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有公共点,则 b -4ac<0,为假命题. 2 2 否命题:若在二次函数 y=ax +bx+c 中,b -4ac≥0,则该二次函数图象与 x 轴没有公 共点,为假命题. 2 2 逆否命题:若二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴没有公共点,则 b -4ac≥0,为假命 题. (3)该命题为真命题. 逆命题:在△ABC 中,若∠A>∠B,则 a>b,为真命题. 否命题:在△ABC 中,若 a≤b,则∠A≤∠B,为真命题. 逆否命题:在△ABC 中,若∠A≤∠B,则 a≤b,为真命题. 14.将命题“正偶数不是素数”改写为“若 p,则 q”的形式,写出它的逆命题、否命题、 逆否命题,并判断它们的真假. 解析:原命题:若一个数是正偶数,则这个数不是素数,是假命题; 逆命题:若一个数不是素数,则这个数是正偶数,是假命题; 否命题:若一个数不是正偶数,则这个数是素数,是假命题; 逆否命题:若一个数是素数,则这个数不是正偶数,是假命题. 15.设 a,b,c 为三个人,命题 A:“如果 b 的年龄不是最大,那么 a 的年龄最小”和命 题 B:“如果 c 的年龄不是最小,那么 a 的年龄最大”都是真命题,则 a,b,c 的年龄的大小 顺序是否能确定?请说明理由. 解:显然命题 A 和 B 的原命题的结论是矛盾的,因此我们应该从它的逆否命题来看. 由命题 A 可知,b 不是最大时,则 a 是最小,∴c 最大,即 c>b>a; 而它的逆否命题也为真,“a 不是最小,则 b 最大”为真,即 b>a>c. 同理由命题 B 为真可得:a>c>b 或 b>a>c. 故由 A 与 B 均为真命题,可知 b>a>c. 因此 a,b,c 三人的年龄的大小顺序是:b 最大,a 次之,c 最小.

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