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2012届江苏苏教版学海导航高中新课标总复习(第1轮)文数:第1章第1讲 集合的概念、集合间的基本关系


考纲泛读

①理解集合、子集, 集合交、并、补的概 念及集合运算的性 质. ②了解空集的概念和 意义. ③掌握集合的相关术 语和符号.

高考展望 2012年的高考会在继承 与创新的命题思想下把握好 本章内容的命题,一是保持 以基本概念和运算为主,以 命题的真假判断为切入点, 在知识的选择上关注相关性 和逻辑性,在背景的选择上 更关注教材

和课程;

考纲泛读 ④会正确翻译集合语言,掌 握集合与方程、集合与函数 的联系,灵活运用集合知识 解决某些数学问题. ⑤理解逻辑联结词的含义. ⑥掌握四种命题的关系. ⑦理解充分条件、必要条件 、充要条件的意义. ⑧了解全称命题、存在性命 题及反证法思想.

高考展望 二是作为高中数学的 基础,本章知识的考 查会更加体现基础性 和工具性的作用;三 是在试题立意上会选 择不等式、函数和方 程进行知识的包装, 来考查学生最常用的 “数形结合”“分类 讨论”等基本的数学 思想和方法.

集合的概念
【例1】 用列举法表示下列集合A:

?1? A={( x,y ) | x+y=2,x ? N,y ? N};
6 ? 2 ? A={x | x ? N, ? Z}. 3? x

【解析】 ?1? A={( x,y ) | x+y=2,x ? N,y ? N} ={? 0, 2 ?, ?1,1?, ? 2,0 ?}; 3 x是6的约数,所以 ? 2 ?由题意可知,- 6 A={x | x ? N, ? Z}=?0,1, 2, 4,5,6,9?. 3? x

本题主要考查集合的表示 方法:列举法、描述法及其转 化,注意集合中元素的形式及 元素符合的特征性质.

【变式练习1】 有下列说法: ①所有著名的数学家可以组成一个集合; ②0与?0?的意义相同; 1 ③集合A={x | x= ,n ? N*}是有限集; n ④方程x 2+2x+1=0的解集中只有一个元素. 其中正确的有_____________

【解析】①中的“著名的数学家”著 名的程度无法界定,所以不能构成集 合;②中的 0 是一个数,不是集合, 而{0}表示含有一个元素0的集合,所 以0与{0}的意义不同;③中的集合是 无限集;④中的方程有两个相等的解 x=1,所以填④.

集合元素的特征
【例2】 设a、b ? R,A={1,a+b,a}, b B={0, ,b}. a 若A=B,求a、b的值.

【解析】因为相等的集合元素完全相同, 又a ? 0,所以a+b ? b,所以a+b=0,则 b a=-b,故 =-1,所以a=-1,从而b=1. a 所以符合题意的a、b的值分别为-1、 1.

本题考查集合相等的概念和集合 中元素的互异性特征.对于含有参数 的元素的集合的相等问题,除了对元 素之间的正确分类外,还要注意元素 的互异性特点.一般来讲,首先考虑 元素间的分类,求出元素可能的取值, 再采取排除法确定元素的值.

【变式练习2】 已知集合 A = {a + 2 , (a + 1)2 , a2 + 3a +3}.若1∈A,求实数a的值. 【解析】若a+2=1,则a=-1; 若(a+1)2=1,则a=-2或0; 若a2+3a+3=1,则a=-2或-1. 当a=-1或-2时,不符合题意,所 以a=0.

集合间的基本关系
【例3】 已知集合P={x|x2+x-6=0,x∈R}, S = {x|ax + 1 = 0 , x∈R} ,满足 S?P , 求实数a的取值组成的集合.

【解析】P={-3, 2}, 当a=0时,S=?,满足S ? P, 即a=0适合题意; 1 当a ? 0时,S={- },要满足S ? P, a 1 1 1 1 则有- =-3或- =2,解得a= 或- . a a 3 2 1 1 所以所求集合为{0,,- }. 3 2

当讨论S ? P的关系时,注意是 否有S=?的情形,防止产生漏解.

【变式练习3】 x?a 记关于x的不等式 ? 0的解集为P, x ?1 不等式 | x-1|? 1的解集为Q.

?1? 若P ? Q,求实数a的取值; ? 2 ? 若Q ? P,求实数a的取值范围.

【解析】 ?1? 集合Q={x | 0 ? x ? 2}. 因为P ? Q,只有当P为空集时成立, 所以a=-1.

? 2 ?当a ? -1时,集合P={x | -1 ? x ? a}.
由于Q ? P,所以a ? 2(等号不成立); 当a ? -1时,集合P={x | a ? x ? -1}, 不合题意. 所以,当Q ? P时,a ? (2,+?).

1. 下 列 集 合 中 : ① {0} ; ② {(x , y)|x2 + y2 = 0} ;③ {x|x2 + 3x + 2 = 0 , x∈N} ; ④ {x∈Z|1 < |x|≤3} , 表 示 ③ 空集的有______.

2.若集合 A= {x|x2 +2ax+1=0}的子 集只有一个,则实数a的取值范围为 {a|-1<a<1} ________________.
【解析】因为集合A的子集中只有一个, 所以A=?,?=4a 2-4 ? 0,解得-1 ? a ? 1,所以a的取值集合为{a | -1 ? a ? 1}.

3.含有三个实数的集合可表示为集合 b {a,,,也可表示为 1} {a 2,a+b,0},则 a 1 a 2012+b2012=________ b 【解析】因为{a, ,= 1} {a 2,a+b,0}, a b 所以0 ? {a, ,,因而 1} a ? 0,故b=0. a 2 因此由?a,0,1?={a ,a,0}知a=-1,

所以a 2012+b 2012=1.

4.设集合A={x | -2 ? x ? 5}, B={x | m+1 ? x ? 2m-1}. 若B ? A,求实数m的取值范围.
【解析】当B=?时,B ? A,只需m+1 ? 2m-1, 即m ? 2. ? m ? 1 ? 2m ? 1 ? 当B ? ?时,B ? A,只需 ?m ? 1 ? ?2 , ? 2m ? 1 ? 5 ? 解得2 ? m ? 3. 综上,m的取值范围为(-?, 3].

1 5.已知集合M={x | x=m+ ,m ? Z}, 6 n 1 N={x | x= - ,n ? Z}, 2 3 p 1 P={x | x= + ,p ? Z}, 2 6 试确定集合M 、N、P之间满足的关系.

1 【解析】M={x | x=m+ ,m ? Z}= 6 6m ? 1 3?2m ? 1 {x | x= ,m ? Z}={x | x= ,m ? Z} 6 6 n 1 3n ? 2 N={x | x= - ,n ? Z}={x | x= ,n ? Z}; 2 3 6 p 1 3p ?1 P={x | x= + ,p ? Z}={x | x= ,p ? Z} 2 6 6 3n ? 2 ={x | x= ,n ? Z}=N . 6 所以M ?? N=P.

本节内容主要考查对集合基础知识 的理解和应用,主要知识有集合中元素 的性质(确定性、互异性、无序性),集 合的表示方法,元素与集合、集合与集 合的关系,其中集合中元素的互异性、 描述法表示集合以及空集是任何集合的 子集是常考知识点.

(1)集合中元素的互异性:集合中元素 的三性中互异性对解题的影响最大,特别 是带有字母参数的集合,实际上就隐含着 对字母参数的一些要求.在解题时也可以 先确定字母参数的范围后,再具体解决问 题.如已知集合 A = {x , xy} ,求实数 x , y 满足的条件.就是考查集合中元素的互异 性,即x≠xy,解得x≠0且y≠1.

(2) 熟悉几种重要集合所表示的意义: 集合{x|f(x)=0}表示方程f(x)=0的解集;集 合 {x|y= f(x)} 表示函数 y = f(x) 的定义域;集 合 {y|y= f(x)} 表示函数 y = f(x) 的值域;集合 {(x,y)|y=f(x)}表示函数y=f(x)图象上的点 构成的解集,即表示函数y=f(x)的图象. (3) 在解决子集、真子集等问题时,不 要忘了空集.

1.(2010·徐州信息卷)已知a≤1时,集合[a,2-a] 中有且只有3个整数,则a的取值范围是 __________.
【解析】因为 a≤1 ,所以 2 - a≥1 ,所以 1 必在集合 中,若区间端点均为整数,则 a = 0 ,集合中有 0,1,2 三个整数,所以 a = 0 适合题意;若区间端点 不为整数,则区间长度2<2- 2a<4 ,解得-1<a<0 , 此时,集合中有0,1,2三个整数,-1<a<0适合题意, 综上,a的取值范围是-1<a≤0.

答案:-1<a≤0 选题感悟: 区间与集合是有区别的, 主要是区间左端点必须小于右端点; 借助数轴表示数集,且能够对端点为 整数和不为整数两种情况进行讨论, 这些能力都是学生必须具备的能力.

2. (2010·泰州中学模拟卷) 已知全集U=R,i
2 1 ? 1 ? i ? 是虚数单位,集合M=Z和N={i,i 2,, } i i 的关系韦恩 ? Venn ?图如图所示,则阴影部分所

示的集合的元素共有 ______ 个.

【解析】因为 N = {i ,- 1 ,- i,2} ,而阴 影部分所示的集合的元素是 M 与 N 的公共 元素,有-1和2两个元素,即阴影部分所 示的集合的元素共有2个. 答案:2 选题感悟: 本题主要考查对虚数单位 i 的 计算、集合的表示方法 (韦恩图),体现了 集合的几种表示方法之间的转化.

3. (2010·南通市期末卷) 已知集合A= { y | y=-2 x,x ? ? 2,3?},B={x | x 2+3x -a 2-3a ? 0}.若A ? B,求实数a的取 值范围.

【解析】由题意有A=- [ 8,-4], B={x | ( x-a)( x+a+3) ? 0}. 3 3 ①当a=- 时,B={x | x ? R,x ? - }, 2 2 所以A ? B恒成立; 3 ②当a ? - 时,B={x | x ? a或x ? -a-3}. 2 因为A ? B,所以a ? -4或-a-3 ? -8, 3 解得a ? -4或a ? 5(舍去),所以-4 ? a ? - ; 2

3 ③当a ? - 时,B={x | x ? -a-3或x ? a}. 2 因为A ? B,所以-a-3 ? -4或a ? -8(舍去), 3 解得- ? a ? 1. 2 综上,当A ? B时,实数a的取值范围是(-4,1).

选题感悟:集合的知识常与其他知识交 汇,重点考查运用集合的观点解决问题 的能力.


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