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数列公式


数列求和 一、常用公式法 直接利用公式求和是数列求和的最 基本的方法.常用的数列求和公式有: 等差数列求和公式: 等比数列求和公式: 二、错位相减法 可以求形如 的数列的和,其中 等差数列, 为等比数列. 例 1:求和: 设 . 为



,其中 为等差数列,

等比数列, 公比为 , 利用错位相减法求 和. 解: 两

端同乘以 ,得 , ,

两式相减得 于是 .

说明:错位相减法实际上是把一个数列 求和问题转化为等比数列求和的问题.

三、裂项相消法 适用于 其中{ }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无理数列、 含阶乘的数列等 例2 求数列{1/( + )}的前 n 项和 解: ∵1/( + )= - (n+1 -n=1) 分母有理化 ∴ 1/( + ) + 1/( + ) + … + 1/( - ) = -1+ - +…+ - = -1 说明:对于分母是两二次根式的和,且 被开方数是等差数列,

利用乘法公式,使分母上的和变 成了分子上的差,从 而 Sn 又因中间项相消而可求。 四、分组转化法 有一类数列,既不是等差数列,也 不是等比数列,若将这类数列适当拆开, 能分为几个等差、等比或常见的数列, 则对拆开后的数列分别求和,再将其合 并即可求出原数列的和. 例 3 已知集合 A={a|a=2n+9n-4,n ∈N 且 a<2000},求 A 中元素的个数, 以及这些元素的和 解: 由 210=1024,211=2048 知 210+9× 10-4<2000 211+9× 10-4>2000 ∴ A 中有 10 个元素,记这些元素 的和为 S10,则 ( 首项为 9,公差为 9 的等差数列) S10=2+22+23+…+210+9+18

+…+90-4× 10 (首项为 2,公比为 2 的等比 数列) = 2(210 - 1) + 99× 5 - 40 = 2501 说明: 本题中 A 是一个集合, 集合中的 元素是不可重复的, 也是没有顺序,所以集合与数列 是不同的,但在 求和时与 10 个元素的顺序无关, 所以可借用数列 的方法求和。 五、配对求和法 对一些特殊的数列,若将某些项合 并在一起就具有某种特殊的性质,则在 数列求和时,可考虑把这些项放在一起 先配对求和,然后再求Sn. 例 4, 设数列 的首项为 ,前 项和 满足关系式: (1)求证:数列 是等比数列。

(2)设数列 的公比为

,作数列 使

,求 。 (3)对(2)中的数列 求和: 。 (1997 年上海高考试题) 解: 1) 略; (2) , (提示: )

(3) (提示:配对求和 ) 六、数学归纳法 第一数学归纳法: (1)已知命题 P(1) 成立; (2)若命题 P(k )成立,则P(k ? 1) 成 立; 由 (1) (2) 可知命题 P(n) 都成立。 简单实例:证明1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 (n ? N ) ;
n 2n?1 n?1 *

第二数学归纳法: (1)已知命题 P(1) 成立; (2)若 当n ? k时命题P(k )都成立,则P(k ? 1)成立 ; 由(1) (2)命题 P(n) 都成 立。 应用的注意点: (1)两步缺一不可 (2)第二步证明是必须利用归 纳假设; 例 5.用数学归纳法证明: 。 证明:i) 当 n=2 时,左式 = , 右式= , ∵ , ∴ ,

即 n=2 时,原不等式成立。 ii)假设 n=k(k≥2, k∈Z)时, 不等式成 立,即

, 则 n=k+1 时, 左边=

右边= 只要证

,要证左边>右边, , , 只要证

只要证 4k2+8k+4>4k2+8k+3 只要证 4>3。

而上式显然成立,所以原不等式成 立,即 n=k+1 时,左式>右式。 由 i), ii)可知,原不等式对 n≥2,n∈ N 均成立。 七 .倒序相加法: 如果一个数列{an} ,与首末两项等距的 两项之和等于首末两项之和, 可采用把 正着写和与倒着写和的两个和式相加,

就得到一个常数列的和,这一求和的方 法称为倒序相加法。 例 6. 求和 解析:据组合数性质 为 ,将 倒序写

以上两式相加得:

八. 待定系数法 类似等差数列,如果 是关于 的 次式, 那么它的前 项和 是关于 的 次式,且 不含常数项。因此,只要求出这个 次 式的各项系数即可。 例 7. 求和 解析:由于通项 是 的二次式,则 是 的三次式,且不含常数项。 设 ,令 得

解得 所以

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