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南雅中学2015年理科实验班招生数学试题及答案(1)


初 三 数 学 试 题
满分 120 分 时量 90 分钟 一、选择题(本大题共 8 题,每小题 4 分,共 32 分) 1.已知 x2+16x+k 是一个完全平方式,则常数 k 等于( ) A.64; B. 48; C. 32; 2.多项式 a A.a C.a
n n

D. 16;

-a3n+an+2 分解因式的结

果是(
B.a
n



(1-a3+a2) ; (1-a2n+a2) ;

(-a2n+a2) ;
n

n

D.a

(-a3+an)

3.一次考试后,某学习小组组长算出全组 5 位同学数学的平均分为 M,如果把 M 当成另一 个同学的分数, 与原来的 5 个分数一起, 算出这 6 个分数的平均数为 N, 那么 M∶N 为( ). (A)5∶6 (B)1∶1 (C)6∶5 (D)2∶1 4.已知 a , b 为非零有理数,下面解集有可能为 ?2 ? x ? 2 的不等式组是( ) .

A.?

? ax ? 1 ?bx ? 1

B.?

? ax ? 1 ?bx ? 1

C.?

? ax ? 1 ?bx ? 1

D.?

? ax ? 1 ?bx ? 1

5.有麦田 5 块 A、B、C、D、E,它们的产量(单位:吨)、交通状况和每 相邻两块麦田的距离如图所示,要建一座永久性打麦场,这 5 块麦田生 产的麦子都在此打场,问建在哪块麦田上(不允许建在除麦田以外的其 他地方)才能使总运输量最小?(图中圆圈内的数字为产量,直线段上的 字母 a、b、d 表示距离,且 b<a<d,运输量=产量×距离). ( ) A. B 块麦田 B.D 块麦田 C. C 块麦田 D.E 块麦田 6、下表是小明填写实习报告的部分内容:已知:sin47° =0.7313,cos47° =0.6820,tan47° =1.0724,

1 =0.9325,根据以上的条件,计算出铁塔顶端到山底的高度( tan 47 ?
在山脚下测量铁塔顶端到山底的高度

).

题目 测量 目标 图示

(A) 64.87m

(B) 74.07m

(C)84.08m

(D) 88.78m

7. 方程 x ? px ? 97 ? 0 恰有两个正整数根 x 1 、 x 2 ,则
2

p 的值是( ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)

)

(A) ?

1 ; 1996

(B) ?

1 ; 1994

(C) ?

1 ; 2

(D) ?

1 . 4


8.在 Rt △ABC 中, AB=BC=5, P 是△ABC 内一点, 且 PA= 5 , PC=5, 则 PB 的值: ( (A) 2 5 (B) 2 3 (C) 2 5 或 10 (D)

10

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 9,计算: ?? 1?
2014

? 1 ? 6 tan30? ? ? 5 ? 12 ?
C

?

?

0

E

M D B

10、当x=

3 1 ? 1994 时,多项式 4 x 3 ? 1997x ? 1996 的值为 2

?

?

A N

11.若相交直线EF,MN与相交直线AB,CD相交成如右图所示的图形, 则共得同旁内角有 对

图2

F

12.如右下图, 在直角坐标系中, 矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为 (15, 6) , 直线

恰好将矩形 OABC 分成面积相等 的两部分,那么

=________。
C

B

O

A

13、某探险家来到红毛族部落探险,看到下面几个红毛族部落算式:

8?8?8 ? 8 ; 9? 9? 9 ? 5 ;

9?3 ? 3;

(93 ? 8) ? 7 ? 837;

经探险家分析,红毛族部落算式中运算符号“+” “—” “? ” “?” “=” “ ( ) ”与我们算术中 意义相同,进位也是十进制,只是每个数字虽然与我们写法相同,但是代表的数却不同。请 你按照红毛族部落的算术规则,计算: 89 ? 57= 14.从等边三角形内一点向三边作垂线,已知这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个 等边三角形的面积是___ ____. 15.已知⊙O 和不在⊙O 上的一点 P,过 P 直线交⊙O 于 A、B 点,若 PA·PB=24,OP=5,则 ⊙O 的半径为 . 16. 已知如右图△ABC 中∠C= 90°,AC=2BC=4,BD 是 AC 边上的中线, CF⊥AB 于 F,交 BD 于 H.则 S△CBH=

?

三、解答题(本大题共 4 道题,共 48 分) 17.(8 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 6,菱形 EFGH 的三个顶点 E,G,H 分别在正方 形 ABCD 边 AB,CD,DA 上,AH=2,DG=2, 连接 CF.求△FCG 的面积;

18.(12 分)如图,抛物线 y= x +bx﹣2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 A(﹣1, 0) ,点 M(m,0)是 x 轴上的一个动点, (1) 判断△ABC 的形状,证明你的结论; (2) 当 CM+DM 的值最小时,求 m 的值.

2

19.(14 分)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从 2 月 1 日起的 300 天内,西 红柿市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示; 西红柿的种植成本与上市时间的关 系用图乙表示的抛物线段表示. (1)写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系 P ? f (t ) ;写出图乙表示的种植成本与时间 的函数关系式 Q ? g (t ) .
[来源:学科网]

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价 2 和种植成本的单位:元/10 ㎏,时间单位:天)

20.(14 分)已知 a 、 b 为实数,关于 x 的方程 x 2 ? ax ? b ? 2 恒有三个不等的实数根. (1)求 b 的最小值; (2)若该方程的三个不等实根,恰为一个三角形三内角的度数,求证该三角形必有一个内角 是 60
?

(3)若该方程的三个不等实 根恰为一直角三角形的三条边,求 a 和 b 的值.

初 三 数 学 答 卷
满分 120 分 时量 90 分钟 题 一、选择题(本大题共 8 题,每小题 4 分,共 32 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8

联系电话:

答案 答 二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 9. 要 11. 13. 不 15. 10. 12. 14. 16. 三、解答题(本大题共 4 道题,共 48 分) 请 17. (本题 8 分)
A

市(县)

学校

D

原就读学校:



B

C

备用图

考号: 姓名:
密 封

线

18、 (本题 12 分)

19. (本题 14 分)

20.(本题 14 分)

[来源:学科网 ZXXK]





线













初 三 数 学 参
一、选择题(本大题共 8 题,每小题 4 分,共 32 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 D







5 A

6 B

7 C

8 D

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

?
9. 3 ; 10. -27 ; 11. 16 ; 12.

1 2

13.

8393

14.

27 3

; 15.

1 或 7 ;16.

2 3



三、解答题(本大题共 4 道题,共 48 分) 17. (8 分)如图, 正方形 ABCD 的边长为 6, 菱形 EFGH 的三个顶点 E, G, H 分别在正方形 ABCD 边 AB,CD,DA 上,AH=2,DG=2, 连接 CF.求△FCG 的面积; 解:∵正方形 ABCD 中,AH=2, ∴DH=4, ∵DG=2, ∴HG= 2 5 ,即菱形 EFGH 的边长为 2 5 . 在△AHE 和△DGH 中, ∵∠A=∠D=90°,AH=DG=2,EH=HG= 2 5 , ∴△AHE≌△DGH, ∴∠AHE=∠DGH, ∵∠DGH+∠DHG=90°, ∴∠DHG+∠AHE=90°, ∴∠GHE=90°,即菱形 EFGH 是正方形, 同理可以证明△DGH≌△CFG, ∴∠FCG=90°,即点 F 在 BC 边上,同时可得 CF=2,

从而 S ?FCG =

1 ×4×2=4. 2

18.(12 分)如图,抛物线 y= x +bx﹣2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 A(﹣1, 0) ,点 M(m,0)是 x 轴上的一个动点, (1) 判断△ABC 的形状,证明你的结论; (2) 当 CM+DM 的值最小时,求 m 的值. 解: (1) ∵点 A(﹣1,0)在抛物线 y ? ∴
[来源:Zxxk.Com]

2

1 2 x ? bx ? 2 上 2

1 (?1) 2 ? b(?1) ? 2 ? 0 得 b=﹣ , 2
2

∴抛物线的解析式为 y= x ﹣ x﹣2,

当 x=0 时 y=-2, ∴C(0,-2),OC=2。 当 y=0 时,

1 2 3 x ? x ? 2 ? 0 ,∴x1=-1,x2=4, ∴B(4,0). 2 2

∴OA=1,OB=4,AB=5. ∵AB =25,AC =OA +OC =5,BC =OC +OB =20, ∴AC +BC =AB .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴△ABC 是直角三角形.
[来源:学科网 ZXXK]

(2)作出点 C 关于 x 轴的对称点 C′,则 C′(0,2) ,OC′=2 连接 C′D 交 x 轴于点 M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD 的最小值为线段 C ?D . 易知抛物线顶点坐标 D( ,?

3 2

25 ) 8

设直线 C ?D 解析式: y ? kx ? b?k ? 0? ,则

?b ? 2 41 ? 25 ,得 k ? ? , b ? 2 ?3 12 k ?b ? ? ? 8 ?2
所以,直线 C ?D 解析式: y ? ? 当 y ? 0 时,得 x ?

41 x?2 12

24 ∴m= 41



19.(14 分)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从 2 月 1 日起的 300 天内,西 红柿市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示; 西红柿的种植成本与上市时间的关 系用图乙表示的抛物线段表示. (1)写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系 P ? f (t ) ;写出图乙表示的种植成本与时间 的函数关系式 Q ? g (t ) . (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价 2 和种植成本的单位:元/10 ㎏,时间单位:天) 解:(1)当 0 ? t ? 200 时,设 f (t ) ? k1t ? b1 (k1 ? 0) ,有

?b1 ? 300 ?k1 ? ?1 ,得 ? ? ?200k1 ? b1 ? 100 ?b1 ? 300
当 200 ? t ? 300 时,设 f (t ) ? k 2 t ? b2 (k 2 ? 0) ,有

?300k 2 ? b2 ? 300 ?k 2 ? 2 ,得 ? ? ?200k 2 ? b2 ? 100 ?b2 ? ?300
设抛物线 g (t ) ? a?t ? 150? ? 100 ,则 150 ? a?250? 150? ? 100,得 a ?
2 2

1 200

∴市场售价与时间的函数关系:

?? t ? 300, 0 ? t ? 200 f (t ) ? ? ?2t ? 300, 200 ? t ? 300
g (t ) ? 1 (t ? 150 ) 2 ? 100 . 200

种植成本与时间的函数关系式:

? 1 2 1 175 ? t ? t? , 0 ? t ? 200 ? ? 200 2 2 (2)由(1) ,得 y ? f (t ) ? g (t ) ? ? ?? 1 t 2 ? 7 t ? 1025, 200 ? t ? 300 ? 2 2 ? 200 ? 1 ?t ? 50?2 ? 100, 0 ? t ? 200 ? ? ? 200 即y?? ?? 1 ?t ? 350?2 ? 87.5, 200 ? t ? 300 ? ? 200

对 0 ? t ? 200 , 当 t ? 50 时,取最大值为 100, 对 200 ? t ? 300 ,当 t ? 300 时,最大值为 75 即从 2 月 1 日开始的第 50 天时,西红柿纯收益最大。

20.(14 分) 解:(1) 原方程即为 x 2 ? ax ? b ? 2 或 x 2 ? ax ? b ? ?2 ∴ ?1 ? a 2 ? 4b ? 8 , ? 2 ? a 2 ? 4b ? 8 由已知, ?1 , ? 2 中必有一个为大于 0 另一个等于 0,显然 ?1 ? ? 2 =0

? b? 2 ? ? a ? 4 b ? 8 ? 0 ? ? 即? 2 ,得 ? ? ?b ? ?a ? 4b ? 8 ? 0 ? ?


1 2 a ?2 4 , 1 2 a ?2 4

1 2 1 a ? 2 ? a 2 ? 2 ,可知 a 取任意实数 4 4

∴当 a=0 时,b 的最小值是-2
2 2 (2) 由(1),设 x ? ax ? b ? 2 的根为 x1 , x 2 , x ? ax ? b ? ?2 的根为 x3

[来源:学科网 ZXXK]

∴ x1 ? x2 ? ?a , x 3 ? ?

a 2 a ? 180 ? ,得 a ? ?120 2

由已知 x1 ? x2 ? x3 ? 180? ,即 ? a ?

∴ x3 ? 60? 即该三角形必有一个内角是 60° (3)由 ? 2 ? a ? 4b ? 8 =0,知 a ? 4b ? 8, 得 ?1 ? a ? 4b ? 8 ? 16
2 2 2
2 所以 x ? ax ? b ? 2 的根为 x1, 2 ?

?a?4 , 2



?a?4 ?a ?a?4 ? ? 2 2 2
2 2

??a ? 4? ??a? ??a?4 ∴? ? ?? ? ?? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ?

? ? ? ,得 a ? ?16, 或a ? 0 ?

2

当 a ? 0 时, x 3 ? ?

a ? 0 ,不可能。 2

∴a= -16 , b ?

a2 ? 8 ? 62 4

初 三 数 学 参
一、选择题(本大题共 8 题,每小题 4 分,共 32 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 D







5 A

6 B

7 C

8 D

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

?
9. 3 ; 10. -27 ; 11. 16 ; 12.

1 2

13.

8393

14.

27 3

; 15.

1 或 7 ;16.

2 3



三、解答题(本大题共 4 道题,共 48 分) 17. (8 分)如图, 正方形 ABCD 的边长为 6, 菱形 EFGH 的三个顶点 E, G, H 分别在正方形 ABCD 边 AB,CD,DA 上,AH=2,DG=2, 连接 CF.求△FCG 的面积; 解:∵正方形 ABCD 中,AH=2, ∴DH=4, ∵DG=2, ∴HG= 2 5 ,即菱形 EFGH 的边长为 2 5 . 在△AHE 和△DGH 中, ∵∠A=∠D=90°,AH=DG=2,EH=HG= 2 5 , ∴△AHE≌△DGH, ∴∠AHE=∠DGH, ∵∠DGH+∠DHG=90°, ∴∠DHG+∠AHE=90°, ∴∠GHE=90°,即菱形 EFGH 是正方形, 同理可以证明△DGH≌△CFG, ∴∠FCG=90°,即点 F 在 BC 边上,同时可得 CF=2,

从而 S ?FCG =

1 ×4×2=4. 2

18.(12 分)如图,抛物线 y= x +bx﹣2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 A(﹣1, 0) ,点 M(m,0)是 x 轴 上的一个动点, (1) 判断△ABC 的形状,证明你的结论; (2) 当 CM+DM 的值最小时,求 m 的值. 解: (1) ∵点 A(﹣1,0)在抛物线 y ? ∴

2

1 2 x ? bx ? 2 上 2

1 (?1) 2 ? b(?1) ? 2 ? 0 得 b=﹣ , 2
2

∴抛物线的解 析式为 y= x ﹣ x﹣2,

当 x=0 时 y=-2, ∴C(0,-2),OC=2。 当 y=0 时,

1 2 3 x ? x ? 2 ? 0 ,∴x1=-1,x2=4, ∴B(4,0). 2 2

∴O A=1,OB=4,AB=5. ∵AB =25,AC =OA +OC =5,BC =OC +OB = 20, ∴AC +BC =AB .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴△ABC 是直角三角形.

(2)作出点 C 关于 x 轴的对称点 C′,则 C′(0,2) ,OC′=2 连接 C′D 交 x 轴于点 M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+MD 的最小值为线段 C ?D . 易知抛物线顶点坐标 D( ,?

3 2

25 ) 8

设直线 C ?D 解析式: y ? kx ? b?k ? 0? ,则

?b ? 2 41 ? 25 ,得 k ? ? , b ? 2 ?3 12 k ?b ? ? ? 8 ?2
所以,直线 C ?D 解析式: y ? ? 当 y ? 0 时,得 x ?

41 x?2 12

24 ∴m= 41



19.(14 分)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从 2 月 1 日起的 300 天内,西 红柿市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示; 西红柿的种植成本与上市时间的关 系用图乙表示的抛物线段表示. (1)写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系 P ? f (t ) ; 写出图乙表示的种植成本与时间 的函数关系式 Q ? g (t ) . (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价 2 和种植成本的单位:元/10 ㎏,时间单位:天) 解:(1)当 0 ? t ? 200 时,设 f (t ) ? k1t ? b1 (k1 ? 0) ,有

?b1 ? 300 ?k1 ? ?1 ,得 ? ? ?200k1 ? b1 ? 100 ?b1 ? 300
当 200 ? t ? 300 时,设 f (t ) ? k 2 t ? b2 (k 2 ? 0) ,有

?300k 2 ? b2 ? 300 ?k 2 ? 2 ,得 ? ? ?200k 2 ? b2 ? 100 ?b2 ? ?300
设抛物线 g (t ) ? a?t ? 150? ? 100 ,则 150 ? a?250? 150? ? 100,得 a ?
2 2

1 200

∴市场售价与时间的函数关系:

?? t ? 300, 0 ? t ? 200 f (t ) ? ? ?2t ? 300, 200 ? t ? 300
g (t ) ? 1 (t ? 150 ) 2 ? 100 . 200

种植成本与时间的函数关系式:

? 1 2 1 175 ? t ? t? , 0 ? t ? 200 ? ? 200 2 2 (2)由(1) ,得 y ? f (t ) ? g (t ) ? ? ?? 1 t 2 ? 7 t ? 1025, 200 ? t ? 300 ? 2 2 ? 200 ? 1 ?t ? 50?2 ? 100, 0 ? t ? 200 ? ? ? 200 即y?? ?? 1 ?t ? 350?2 ? 87.5, 200 ? t ? 300 ? ? 200

对 0 ? t ? 200 , 当 t ? 50 时,取最大值为 100, 对 200 ? t ? 300 ,当 t ? 300 时,最大值为 75 即从 2 月 1 日开始的第 50 天时,西红柿纯收益最大。

20.(14 分) 解:(1) 原方程即为 x 2 ? ax ? b ? 2 或 x 2 ? ax ? b ? ?2 ∴ ?1 ? a 2 ? 4b ? 8 , ? 2 ? a 2 ? 4b ? 8 由已知, ?1 , ? 2 中必有一个为大于 0 另一个等于 0,显然 ?1 ? ? 2 =0

? b? 2 ? ? a ? 4 b ? 8 ? 0 ? ? 即? 2 ,得 ? ? ?b ? ?a ? 4b ? 8 ? 0 ? ?


1 2 a ?2 4 , 1 2 a ?2 4

1 2 1 a ? 2 ? a 2 ? 2 ,可知 a 取任意实数 4 4

∴当 a=0 时,b 的最小值是-2
2 2 (2) 由(1),设 x ? ax ? b ? 2 的根为 x1 , x 2 , x ? ax ? b ? ?2 的根为 x3

∴ x1 ? x2 ? ?a , x 3 ? ?

a 2 a ? 180 ? ,得 a ? ?120 2

由已知 x1 ? x2 ? x3 ? 180? ,即 ? a ?

∴ x3 ? 60? 即该三角形必有一个内角是 60° (3)由 ? 2 ? a ? 4b ? 8 =0,知 a ? 4b ? 8, 得 ?1 ? a ? 4b ? 8 ? 16
2 2 2
2 所以 x ? ax ? b ? 2 的根为 x1, 2 ?

?a?4 , 2



?a?4 ?a ?a?4 ? ? 2 2 2
2 2

??a ? 4? ??a? ??a?4 ∴? ? ?? ? ?? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ?

? ? ? ,得 a ? ?16, 或a ? 0 ?

2

当 a ? 0 时, x 3 ? ?

a ? 0 ,不可能。 2

∴a= -16 , b ?

a2 ? 8 ? 62 4


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