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2014年浙江省普通高中学业水平考试数学试题


2014 年浙江省普通高中学业水平考试数

学[来源:学。科。网]

1.已知集合 A ? {1, 2,3, 4} , B ? {2, 4,6} ,则 A (A)0 个 2. log2 12 ? log2 3 ? (A) ?2 (B) 0 (B)1 个

B 的元素个数是
(D)3 个

(

C)2 个

(C)

1 2

(D) 2

3.若右图是一个几何体的三视图,则这个几何体是 (A)圆锥 (C)圆柱 4.函数 f ( x) ? sin( 2 x ? (A) (B)棱柱 (D)棱锥

π )( x ? R) 的最小正周期为 3
(B) π (D) 4π (第 3 题图) (C) ?2 (D) 2

π 2

(C) 2 π 5.直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率是 (A) ?

1 2

(B)
2

1 2

6.若 x ? 1 满足不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 (A) (?3, ??) (C) (1, ??) 7.函数 f ( x) ? log3 (2 ? x) 的定义域是 (A) [2, ??)
2 2

(B) (??, ?3) (D) (??,1)

(B) (2, ??)

(C) ( ??, 2]

(D) (??, 2)

8.圆 ( x ?1) ? y ? 3 的圆心坐标和半径分别是 (A) (?1, 0),3 (B) (1, 0),3 (C) (?1,0), 3 (D) (1, 0), 3

9.各项均为实数的等比数列 {an } 中, a1 ? 1 , a5 ? 4 ,则 a3 ? (A) 2 (C) 2 10.下列函数中,图象如右图的函数可能是 (第 10 题图) (B) ?2 (D) ? 2

(A) y ? x3 (C) y ?

(B) y ? 2x

x

(D) y ? log 2 x

2 11.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a ? 2a ”的

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

12.如果 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 (A) ?0,??? (B) ?0,2? (C) ?1,??? (D) ?0,1?

2 13.设 x 为实数,命题 p : ?x ? R, x ? 0 ,则命题 p 的否定是

2 (A) ? p : ?x0 ? R, x0 ?0

2 (B) ? p : ?x0 ? R, x0 ?0

(C) ? p : ?x ? R, x ? 0
2

(D) ? p : ?x ? R, x ? 0
2

14.若函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? a) 是偶函数,则实数 a 的值为 (A) 1 (B) 0 (C) ?1 (D) ?1

15.在空间中,已知 a , b 是直线, ? , ? 是平面,且 a ? ? , b ? ? , ? / / ? ,则 a , b 的位置关 系是 (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或异面

16.在△ABC 中,三边长分别为 a, b, c ,且 A ? 30? , B ? 45? , a ? 1 ,则 b 的值是

(A)

1 2

(B)

2 2

(C)

2

(D)

6 2

17.若平面向量 a , b 的夹角为 60 ,且 | a |? 2 | b | ,则 (A) a ? (b ? a ) (C) b ? (b ? a ) (B) a ? (b ? a ) (D) b ? (b ? a )

18.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 BC1 的中点,则 DE 与面 BCC1 B1 所成 角的正切值为

D1 A1

C1 B1

E

D

C

(A)

6 2

(B)

6 3 2 2

(C) 2

(D)

19.函数 y ? sin 4 x ? cos4 x 在 [ ? (A) ?1 20.函数 f ( x ) ? 2 ?
x

π π , ] 的最小值是 12 3
(C)

(B) ?

3 2

1 2

(D) 1

(A) (1, ??)

1 的零点所在的区间可能是 x 1 1 1 (B) ( ,1) (C) ( , ) 2 3 2

(D) ( , )

1 1 4 3

21.已知数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 1 , (A) 0 22.若双曲线 (B) 18

an ? 2 an ?1 ? ? 1,则 a6 ? a5 的值为 an ?1 an
(C) 96 (D) 600

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行,则此双曲线的离心率是 a 2 b2
(B) 2 2 (C) 3 (D) 10

(A) 3

23.若将一个真命题 中的“平面”换成“直线” 、 “直线”换成“平面”后仍是真命题 ,则该 ... ... 命题称为“可换命题” .下列四个命题: ①垂直于同一平面的两直线平行; ②垂直于同一平面的两平面平行; ③平行于同一直线的两直线平行; ④平行于同一平面的两直线平行. 其中是“可换命题”的是 (A)①② (B)①④
[来源:Z*xx*k.Com]

(C)①③

(D)③④

24.用餐时客人要求:将温度为 10 C 、质量为 0.25 kg 的同规格的某种袋装饮料加热至

30? C~ 40? C .服务员将 x 袋该种饮料同时放入温度为 80 C 、2 .5 kg 质量为的热水中,5

分钟后立即取出.设经过 5 分钟加热后的饮料与水的温度恰好相同,此时,m1 kg 该饮料提 高的温度 ?t1 C 与 m2 kg 水降低的温度 ?t2 C 满足关系式 m1 ? ?t1 ? 0.8 ? m2 ? ?t2 ,则符合 客人要求的 x 可以是 (A) 4 (B) 10 (C) 16 (D) 22

? x ? y ? 2 ? 0, ? 25.若满足条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 的点 P( x, y ) 构成三角形区域,则实数 k 的取值范围是 ? kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 ?
(A) (1, ??) (B) (0,1)
3

(C) (?1,1) ▲ cm.

(D) (??, ?1)

(1, ??)

26.已知一个球的表面积为 4 ? cm ,则它的半径等于

27.已知平面向量 a ? (2,3) , b ? (1, m) ,且 a / / b ,则实数 m 的值为 ▲ . 28.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭 圆的标准方程是 ▲ . 29.数列 ?an ? 满足 an ? ?

? 2n?1 ,1 ? n ? 10, 则该数列从第 5 项到第 15 项的和为 ▲ . 19?n ?2 ,11 ? n ? 19,
▲ .

30.若不存在 整数 x 满足不等式 (kx ? k 2 ? 4)( x ? 4) ? 0 ,则实数 k 的取值范围是 ... 31.(本题 7 分) 已知 ? ? ( , π ), sin ? ?

π 2

4 π , 求 cos ? 及 sin(? ? ) 的值. 5 3

32. (本题 7 分,有 A、B 两题,任选其中一题完成, ) (A) 如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AC ? 3 , BC ? 4 , AB ? 5 , 的中点. (1)求证: AC ? BC1 ; (2)求证: AC1 ∥平面 CDB1 .
A A1

点 D 是 AB
C1 B1

C D

B

(第 33 题 A 图)

(B)如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD中, AD // BC, ?ABC ? 90?,

PA ? 平面 ABCD , PA ? 3, AD ? 2, AB ? 2 3 ,BC=6.
(1)求证: BD ? 平面PAC; (2)求二面角 P ? BD ? A 的大小.

(第 33 题 B 图) 33.(本题 8 分) 如图,由半圆 x2 ? y 2 ? 1( y ? 0) 和部分抛物线

y

y ? a( x 2 ? 1) ( y ? 0 , a ? 0 )合成的曲线 C
称为“羽毛球形线” ,且曲线 C 经过点 (2,3) . (1)求 a 的值; (2)设 A(1, 0) , B(?1, 0) ,过 A 且斜率为 k 的直线

Q

l 与“羽毛球形线”相交于 P , A , Q 三点,
问是否存在实数 k ,使得 ?QBA ? ?PBA ? 若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

B

O

A P

x

(第 33 题图)

34.(本题 8 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ?

9 ? a , x ? [1, 6] , a ? R . x

(1)若 a ? 1 ,试判断并证明函数 f ( x ) 的单调性; (2)当 a ? (1, 6) 时,求函数 f ( x ) 的最大值的表达式 M (a) .

题号 答案 题号 答案

1 C 14 A

2 D 15 D

3 C 16 C

4 B 17 D

5 A 18 C

6 B 19 A

7 D 20 B

8 D 21 C A

9
[来源:学科网]

10 C 23 C

11 A
[来源:学科网]

12 D 25 A

13 A

22 D

24 C

二、填空题(共 10 分,填对一题给 2 分,答案形式不同的按实际情况给分)

26.1

27.

3 2

28.

x2 y 2 ? ?1 16 4

29. 1504

30. 1 ? k ? 4

三、解答题(共 30 分) 31. 因为 θ ? ( , π ),sin θ ?
2

π 2

4 , 5 3 . 5

所以 cos θ ? ? 1 ? sin θ ? ? 又因为 sin(θ + ) ? sin θ ? cos

π 3

π π 1 3 + cos θ ? sin ? cos θ + sin θ , 3 3 2 2

所以 sin(θ + ) ?

π 3

1 4 3 4 4?3 3 . ? + ? (? ) ? 2 5 2 5 10

32. (A)证明: (1) 因为三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 为直三棱柱, 所以 C1C ? 平面 ABC , 所以 C1C ? AC . 又因为 AC ? 3 , BC ? 4 , AB ? 5 , 所以 AC ? BC ? AB ,
2 2 2

所以 AC ? BC . 又 CC1 ? BC ? C , 所以 AC ? 平面 CC1B1B , 所以

AC ? BC1 .

(2) 令 BC1 与 CB1 的交点为 E , 连结 DE . 因为 D 是 AB 的中点, E 为 BC1 的中点, 所以 DE ∥ AC1 . 又 因为 AC1 ? 平面 CDB1 , DE ? 平面 CDB1 , 所以 AC1 ∥平面 CDB1 . (B) (1)如图,建立空间直角坐标系,则 A(0, 0, 0) , B(2 3, 0, 0) , C(2 3, 6, 0) ,

D(0, 2, 0) , P(0, 0, 3) .
所以 AP ? (0,0,3) , AC ? (2 3, 6, 0) , BD ? (?2 3, 2, 0) , 所以 BD AP ? 0 , BD AC ? 0 . z 所以 BD ⊥ AP , BD ⊥ AC , 又 PA P

AC ? A ,? BD ⊥ 面 PAC .
A B x E C D y

0, 1) , (2)设平面 ABD 的法向量为 m ? (0, 1) , 平面 PBD 的法向量为 n ? ( x,y,
则 n BP ? 0 , n BD ? 0 ,

? x? ? ? ? 2 3 x ? 3 ? 0, ? ? 所以 ? 解得 ? ? ?y ? ??2 3 x ? 2 y ? 0, ? ?
于是 n ? ?

3 , 2 3 . 2

? 3 3 ? ? 2 , 2 ,1? ?. ? ?

又 cos ? m , n ??

mn 1 ? , m n 2

所以二面角 P ? BD ? A 的大小为 60 .

33.解: (1)把点 (2,3) 代入 y ? a( x ? 1)
2

得 3 ? a ? (2 ?1) ,所以 a ? 1 .
2

(2)方法一:由题意得 PQ 方程为 y ? k ( x ? 1) , 代入 y ? x2 ?1 得 x ? kx ? k ? 1 ? 0 ,
2

所以 x ? 1 或 x ? k ? 1 , 所以点 Q 的坐标为 (k ? 1, k 2 ? 2k ) . 又代入 x 2 ? y 2 ? 1得

(1 ? k 2 ) x2 ? 2k 2 x ? k 2 ?1 ? 0 ,
所以 x ? 1 或 x ?

k 2 ?1 , k 2 ?1 k 2 ? 1 ?2k , ). k 2 ?1 k 2 ?1

所以点 P 的坐标为 (

因为 ?QBA ? ?PBA ,

所以 kBP

?2k 2 k 2 ? 1 ? ? k ? 2k ,即 k 2 ? 2k ? 1 ? 0 , ? ?kBQ ,即 2 k ?1 k ?1 2 k ?1
k 2 ?1 ? 1 , k ? 1 ? 1 即 k ? 2 ,而1 ? 2 ? 2 , k 2 ?1

解得 k ? 1 ? 2 .又由题意

因此存在实数 k ? 1 ? 2 ,使 ?QBA ? ?PBA . (2)方法二:由题意可知 ?QBA ? ?PBA , ?APB=90 , 则 ?QBA ? ?BAP ? 90 ,
?

故 kQB ? kQA ? 1 . 由题意可设 Q( x0 , x0 ?1) ,其中 x0 ? 0 ,
2

则 k QB ?

2 2 x0 ?1 x0 ?1 , ? x0 ? 1 k QA ? ? x0 ? 1 , x0 ? 1 x0 ? 1

所以 kQB ? kQA ? x0 ? 1 ? 1 ,所以 x0 ? 2 或 x0 ? ? 2 (舍去) .
2

故 k ? k QA ?

2 ?1,

因此存在实数 k ? 1 ? 2 ,使得 ?QBA ? ?PBA .

34. (本题 8 分) (本题 8 分) (1)判断:若 a ? 1 ,函数 f ( x ) 在 [1, 6] 上是增函数. 证明:当 a ? 1 时, f ( x) ? x ?

9 , x

在区间 [1, 6] 上任意 x1 , x2 ,设 x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ?

9 9 9 9 ) ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( ? ) x1 x2 x1 x2

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 6) ?0 x1 x2

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即 f ( x ) 在 [1, 6] 上是增函数.

9 ? 2 a ? ( x ? ),1 ? x ? a, ? ? x (2)因为 a ? (1, 6) ,所以 f ( x) ? ? ?x ? 9 , a ? x ? 6, ? x ?

[来源:学_科_网]

①当 1 ? a ? 3 时, f ( x ) 在 [1, a] 上是增函数,在 [ a, 6] 上也是增函数, 所以当 x ? 6 时, f ( x ) 取得最大值为

9 ; 2

②当 3 ? a ? 6 时, f ( x ) 在 [1,3] 上是增函数,在 [3, a ] 上是 减函数,在 [ a, 6] 上是 增函数, 而 f (3) ? 2a ? 6, f (6) ?

9 , 2 9 21 9 当3 ? a ? 时, 2a ? 6 ? ,当 x ? 6 时,函数 f ( x ) 取最大值为 ; 2 4 2 21 9 ? a ? 6 时, 2a ? 6 ? ,当 x ? 3 时,函数 f ( x) 取最大值为 2a ? 6 ; 当 4 2

21 ?9 , 1? a ? , ? ?2 4 综上得, M (a ) ? ? ? 2a ? 6, 21 ? a ? 6. ? ? 4

31~34 题评分标准:按解答过程分步给分.能正确写出评分点相应步骤的给该步所注

分值. 除本卷提供的参考答 案外,其他正确解法根据本标准相应给分.


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