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竞赛讲座 32多边形的面积和面积变换


32 多边形的面积和面积变换
本讲在初二几何范围内,通过实例对平面图形的面积和用面积变换解几何题作些简单介绍. 所用知识不多,简列如下: (1) (2) 全等形的面积相等; 多边形的面积定理(三角形、梯形等,略);

(3) 等底等高的三角形,平行四边形,梯形的面积相等(对梯形底相等应理解为两 底和相等); (4) 等底(等高)的三角形,平行四边形,梯形的面积比等于这底上的高(这高对 应的底)的比. 以下约定以△ABC 同时表示△ABC 的面积. 1. 多边形的面积 例 1 (第 34 届美国中学数学竞赛题)在图 23-1 的平面图形中,边 AF 与 CD 平行,BC 与 ED 平行,各边长为 1,且∠FAB=∠BCD= ,该图形的面积是( )

(A)

(B)1 (C)

(D)

(E)2

分析 将这个图形分解为若干个基本图形——三角形,连 BF、BE、BD 得四个与△ABF 全等 的正三角形,进一步计算可得图形面积为 .所以选(D).

例2 (第 5 届美国数学邀请赛试题)如图 23-2 五条线段把矩形 ABCD 分成了面积 相等的四部分,其中 XY=YB+BC+CZ=ZW=WD+DA+AX,而 PQ 平行于 AB.如果 BC=19cm,PQ=87cm, 则 AB 的长度等于_________.

分析 如图,延长 PQ 交 AD、 于 E、 CB F.由 YB+BC+CZ=WD+DA+AX 知 a+c=b+d,又梯形 PQWZ 与梯 形 PQYX 面积相等,故 E、F 分别为 AD、CB 的中点. 而 SAXPWD=SBYQZC,∴EP=QF,设为 e. 由 SAXPWD=SPQZW 得

∴2e=106, ∴AB=2e+87=193.

例 3.如图 23-3 四边形 ABCD 的两边 BA 和 CD 相交于 G, F 各为 BD、 的中点.试证: E、 AC △EFG 的面积等于四边形 ABCD 面积的四分之一. 分析 注意到 E、F 各为 BD、AC 的中点,连结 EA、EC 和 FD.则

如果能够证明△EFG 的面积等于四边形 AEFD 的面积,问题即可解决.为此,取 AD 的中点 P, 连 PE、 则 PE∥GB, PF, PF∥GC.于是△GEP=△AEP, △GFP=△DFP.而△PEF 公用.∴△GEF=SAEFD. 至此,问题得解.证明略.

2. 利用面积变换解几何题 先看一个例子. 例 4.以直角三角形 ABC 的两直角边 AC、BC 为一边各向外侧作正方形 ACDE、BCGH,连结 BE、 AH 分别交 AC、BC 于 P、Q.求证:CP=CQ. 证明 (如图 23-4)显然 S△GCQ=S△HCQ, ∵HB∥AG, ∴S△GCQ=S△ACH=S△ABC. 同理,S△BDP=S△ABC. ∴S△AGQ=S△BDP, ∴CQ·AG=CP·BD. ∵AG=AC+GC =DC+BC=BD, ∴CP=CQ. 此例是关于平面图形中线段的等式, 看似与面积无关, 然而我们却利用图形之间面积的等量 关系达到了证明的目的.这种不考虑图形的形状只从图形的面积关系入手来研究图形的度量 关系和位置关系的方法即所谓面积变换.

例 5 (第 37 届美国中学数学竞赛题)图 23-5 中,ABCDE 是正五边形,AP、AQ 和 AR 是由 A 向 CD、 和 DE 的延长线上所引的垂线.设 O 是正五边形的中心,若 OP=1,则 AO+AQ+AR 等于( ). CB

(A)3 (B)1+

(C)4 (D)2+

(E)5

分析 因题设中 AP、AQ、AR 分别与 CD、CB、DE 垂直,这就便于利用面积作媒介.注意到

即 由 CD=BC=DE, 则 AP+AQ+AR=5·OP 故 AO+AQ+AR=4.应选(C).

例 6 (第 37 届美国中学数学竞赛题)不等边三角形 ABC 的两条高的长度分别为 4 和 12. 若第三条高也为整数,那么它的长度最大可能是( ). (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 (E)不同于(A)-(D)的答案

解 设△ABC 第三边上的高为 h,面积为 S,则该三角形的三边可表示为

显见



.据“三角形两边之和大于第三边”有

+





+



.

解得 3<h<6.所以选(B).

例7 ,使 则 PQ∥

图 23-6 中, 已知 AB 是直角三角形 ABC 的斜边, 在射线 AC、 上各取一点 BC



P、Q 是△ABC 内两点,如果 P,Q 到△ABC 各边的距离之和相等, ;反之亦然.

证明 设 P、Q 到△ABC 各边的距离之和分别为 S(P),S(Q).连 PA、PB、P 不难发现△APB+△AP 于是 +△ PB-△ P =△ABC-△ C(定值).

、P



=

同理,

显然,当 S(P)=S(Q)时,



∴PQ∥

反之,当 PQ∥ ∴S(P)=S(Q).

时,

3. 一个定理的应用定理

已知△ABC、△DBC 共边 BC,AD 交 BC 或其延长线于 E,则

分析 当 B 或 C 点与 E 重合时,结论显然成立.当 B、C 都不与 E 重合时,有两种情况:若 E

在 BC 之间,由△ABE= 似可证.证明略.

易知结论成立;若 E 在 BC 之外类

这个定理叙述的事实虽然简单,但却能解决大问题. 例 8 (1987 年全国初中数学联赛试题)如图 23-8 已知四边形 ABCD 内有一点 E,连接 AE、BE、 CE、DE,将四边形 ABCD 分成四个面积相等的三角形,那么命题( ). 甲. 乙. 丙. (A) ABCD 是凸四边形; 此处无图

E 是对角线 AC 的中点或对角线 BD 的中点; ABCD 是平行四边形中. 只有甲正确 (B)只有乙正确 (C)甲、乙、丙都正确 (D)甲、乙、丙都不正确

分析 如果 ABCD 是以 AC 为对称轴的凹四边形, 易见 AC 的中点具有题中 E 点所要求的性质, 所以甲、丙都不正确. 设 AE、 CE、 将四边形 ABCD 分成四个面积相等的三角形, AC 交于 F, BE、 DE BD、 由△ABE=△ADE 及本讲定理知 F 是 BD 的中点,即 E 在 AF 上. 如果 F 与 E 重合,则 E 是 BD 的中点,乙成立.如果 F 与 E 不重合,同理由△BEC=△DEC 是 E 在直线 CF 上,也就是说 A、C 都在直线 EF 上.再由△ABE=△BEC,得 AE=EC,所以 E 是 AC 的 中点,乙成立.所以选(B). 如果将三点 A、B、C 在一条直线上看成是△ABC 的蜕化情况,那么 A、B、C 三点共线等价于 △ABC=0.由此引出证明三点共线的一条极自然的思路:欲证三点 A、B、C 共线,只要证明 △ABC=0.为了计算△ABC 的面积, 常在 A、 C 之外适当选一点 P, B、 如果△PAB、 △PBC、 △PAC 三者之中一个等于另两个之和,则自然有△ABC=0,这方面传统的例子是梅内劳斯定理的证 明.

例 9 在图 33-9△ABC 的两边 AB、AC 上分别取 E、F 两点,在 BC 的延长线上取点 D,使

则 D、E、F 三点共线.

此处无图

证明 设



于是





③ 由①、②、③易得△BDE=△BEF+△BDF, ∴D、E、F 三点共线. 说明:A、B、C 共线即点 B 在直线 AC 上.由此即知欲证 l1、l2、l3 共点,只要证 l1、l2 的交 点 B 在直线 l3 上,若在 l3 上别取点 A、C,则只要证明△ABC=0 即可.看来三线共点的问题可 转化为三点共线来解决,这方面典型的例子是塞瓦定理的证明(见练习题). 最后,我们来看一个漂亮的作图问题.

例 10 设 A、B 是直线 l1 上的两点,而 C、D 是直线 l2 上的两点,l1 与 l2 交于 O,作出平面上 一切满足条件△PAB=△PCD 的点 P. 分析 如图 23-10,在 l1 上取 E、F,使 O 为 EF 中点且 EO=AB;在 l2 上取 G、H,使 O 为 GH 中点且 GO=CD.不妨设 E、G、F、H 之顺序使 EGFH 成为以 O 为中心的平行四边形.设 EG、GF、 FH、HE 之中点顺次为 M、S、N、R,则 P 点为直线 MN 和 RS 上的一切点. 设 P 为 RS 上或 MN 上任一点,由作图知△PAB=△PFO,△PCD=△PGO.由本讲定理知 △PFO=△PGO,所以△PAB=△PCD.当 P 点不在直线 MN 上且不在 RS 上时,可以用反证法证明 △PAB≠△PCD.

练习二十三 1. 选择题

(1)等腰△ABC 中,一腰上的高线长为 是( ).

,这个高线与底边的夹角是

,△ABC 的面积

(A)

(B)2

(C)2 (D)

(E)以上答案都不对 ).

(2)如图,ABCD 是面积为 1 的正方形,△PBC 为正三角形,则△BPD 的面积为(

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

(3)已知等腰△ABC 一腰上的中线为 15,底边上的高为 18,则△ABC 的面积是( (A)124 (B)144 (C)150 (D)以上答案都不对 2.填空题 (1)

).

已知一张矩形纸片 ABCD,AB=a,BC=Ka,将纸片折叠一次,使顶点 A 与 C 重合,如果纸片 ,则 K=__________.
2

不重合部分面积为

(2) 已知等腰梯形 ABCD 的两对角线 AC、BD 互相垂直相交,且梯形的面积为 100cm ,则 梯形的高 h=_________. (3) (第 3 届美国数学邀请赛试题)如图所示,将△ABC 的三个顶点与同一个内点连接起来, 所得三条联线把△ABC 分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图上标明. △ABC 的面积是_________. (4) (1984 年西安初中数学竞赛题)设△ABC 的面积为

1,

则△DEF 的面积是___________.

3.如图,B 在 AC 上,Q 在 PR 上,PB∥QC,AQ∥BR.求证:AP∥CR.

4.(1974 年加拿大中学生笛卡尔数学竞赛题)设 AD 为△ABC 一中线,引任一直线 CF 交 AD 于 E,交 AB 于 F. 证明 AE·FB=2AF·ED. 5.(塞瓦定理)设 X、Y、Z 分别是△ABC 的边 BC、CA、AB 上的点,若

则 AX、BY、CZ 三线共点. 6.(1983 年中学生联合数学竞赛题)如图,在四边形 ABCD 中△ABD,△BCD,△ABC 的面积 比是 3:4:1,点 M,N 分别在 AC,CD 上,满足 AM:AC=CN:CD,并且 B、M、N 三点共线, 求证:M 与 N 分别是 AC 与 CD 的中点. 此处无图 7. 为△ABC 内部一点, 到边 AB、 的距离为 PE、 PE=q, P P AC PF, PF=r, PA=x, 求证: ax≥cq+br. (a,b,c 为相应顶点对应的边长) 8.三角形的两边不等,则大边加上这边上的高,不小于小边加上小边上的高. 9.设△ABC 的面积 S=1.试分别在边 BC、CA、AB 上依次我一内点 E、F、G,使得△EFG 的面



适合





练习二十三

1.A





2.(1)4-



(2)10 (3)315.

(4) 3.连PC、BQ.△PQC=△BQC,△ABR=△BQR ∴△PRC=SQRCB=△ARC,∴AP∥CR. 4.连BE后,引入三个面积参数,即S1=△AEF,S2=△BEF,S3=△BED= △DEC则△AEC=△ABE=S1+S2.

5.设AX与BY交于点O,连ZO、OC.设

易知△A

OZ=λ △BOZ,△AOC=λ μ △AOB=λ μ ( ∴△BOZ+△BOC=△ABC-△AOZ-△AOC =△ABC-λ △BOZ-λ △BOC

)=λ △BOC,

∴△BOZ+△BOC=

△ABC=△BZC

∴Z、O、C共线.∴AX、BY、CZ共点.

6.



及△ABC=1.

这时,△ABD=3,△BCD=4,△ACD=3+4-1=6.△ABM=r,△BC M=1-r,△BCN=4r,△ACN=6r,△CNM=△BCN-△BCM=4r- (1-r)=5r-1,△AMN=△ACN-△CNM=6r-(5r-1)=r+1

.因此,

所以

解得

即M与N分别是AC与CD的中点. 7作AH⊥BC,设AH=h.又作PD⊥BC,设PD=p.显然ah=ap+cq+r b,∴cq+br=a(h-p)≤ax.

8.如图,设AB=c,AC=b,c>b.BD=hb,CE=hc.易知b-hc≥0, c-hb≥0,chc=bhb.∴bc-chc=bc-bhb=b(c-hb)<c(c- hb),即c(b-hc)<c(c-hb),∴b-hc<c-hb,即b+hb<c+hc.

9.作法:如图,作△ABC的中位线B′C′并延长B′C′至M,使B′M=

B′

C′. 作B′E⊥BC,垂足为E (当∠A为△ABC的最大内角时,E必为BC的内点), 作 MD∥B′E,交AB于D.选DC′的任一内点G,连结GB′、CE,并将点B′改 名为F,则△EFG即为所求.

练习二十三 1.A D B

2.(1)4-



(2)10 (3)315.

(4) 3.连PC、BQ.△PQC=△BQC,△ABR=△BQR ∴△PRC=SQRCB=△ARC,∴AP∥CR. 4.连BE后,引入三个面积参数,即S1=△AEF,S2=△BEF,S3=△BED= △DEC则△AEC=△ABE=S1+S2.

5.设AX与BY交于点O,连ZO、OC.设

易知△A

OZ=λ △BOZ,△AOC=λ μ △AOB=λ μ ( ∴△BOZ+△BOC=△ABC-△AOZ-△AOC =△ABC-λ △BOZ-λ △BOC

)=λ △BOC,

∴△BOZ+△BOC=

△ABC=△BZC

∴Z、O、C共线.∴AX、BY、CZ共点.

7.



及△ABC=1.

这时,△ABD=3,△BCD=4,△ACD=3+4-1=6.△ABM=r,△BC M=1-r,△BCN=4r,△ACN=6r,△CNM=△BCN-△BCM=4r- (1-r)=5r-1,△AMN=△ACN-△CNM=6r-(5r-1)=r+1

.因此,

所以

解得

即M与N分别是AC与CD的中点. 7作AH⊥BC,设AH=h.又作PD⊥BC,设PD=p.显然ah=ap+cq+r b,∴cq+br=a(h-p)≤ax. 此处无图 8.如图,设AB=c,AC=b,c>b.BD=hb,CE=hc.易知b-hc≥0, c-hb≥0,chc=bhb.∴bc-chc=bc-bhb=b(c-hb)<c(c- hb),即c(b-hc)<c(c-hb),∴b-hc<c-hb,即b+hb<c+hc.

9.作法:如图,作△ABC的中位线B′C′并延长B′C′至M,使B′M=

B′

C′. 作B′E⊥BC,垂足为E (当∠A为△ABC的最大内角时,E必为BC的内点),

作 MD∥B′E,交AB于D.选DC′的任一内点G,连结GB′、CE,并将点B′改 名为F,则△EFG即为所求. 此处无图.


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