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河北省冀州中学2015届高三上学期第一次月考(数学文)


冀州中学高三第一次月考数学试卷(文)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分援 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的援

1.若全集 U ? R , 集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} ,B ? {x | x2 ?1 ? 0} , 则 A ? ?U B ?( (A) {x | 0 ? x ? 1} (B) {x | 0 ? x ? 1} (C) {x |1 ? x ? 2} (D) {x |1 ? x ? 2} 2i 2.在复平面内,复数 对应的点的坐标为 ( ) 1? i (A) (-1,1) (B) (1,1) (C) (1,-1) (D) (-1,-1) ? ? ? ? ? ? 3.设平面向量 a ? (1,2), b ? (?2, y), 若a / /b, 则| 2a ? b | 等于 ( )



(D)4 5 S3 1 S6 ?( 4.设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 ? ,则 ) S6 3 S12 3 1 1 1 A. B. C. D. 10 3 8 9 5.已知 x 、 y 的取值如下表所示:若 y 与 x 线性相关,且 y ? ? 0.95x ? a ,则 a ? ( )

(A)4

( B) 5

(C)3 5

x
y

0 2.2

1 4.3

3 4.8

4 6.7 )

(A) 2.6 (B) 2.9 (C) 2.8 (D) 2.2 6.若 a,b∈R,且 a>b,则下列不等式中恒成立的是( (A) a 2 ? b 2

1 1 a (B) ( ) a ? ( )b (C) lg(a ? b) ? 0 (D) ? 1 2 2 b 7.已知抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M ( x0 ,1) ,若 点M 到该抛物线的焦点距离为 3,则 OM ? ( )

(A) 2 3 (B) 3 8.下列有关命题的说法中错误的是 ( ....

(C) 2 2 )

(D) 4

(A)若“ p或q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题 (B)“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件 (C) “ sin x ? 1 ”的必要不充分条件是“ x ? ? ” 2 6 (D) 若命题 p: “ ? 实数 x 使 x 2 ? 0 ” , 则命题 ? p 为 “对于 ?x ? R 都有 x 2 ? 0 ” 9.某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的 ) x 值 为 31,则 a 等于( (A) 4 (B) 1 (C)2 (D)

3
?1? 10. 函数 f ? x ? ? ? ? ? x 3 的零点 x0 属于区间( ) ?2? ? 1? ?1 1? ?1 2? ?2 ? A. ? 0, ? B. ? , ? C. ? , ? D. ? ,1? ? 3? ?3 2? ?2 3? ?3 ?
x 1

x ? kx 2 有 4 个不同的实数 x?4 解,则实数 k 的取值范围是( ) ? 1? ?1 ? ?1 ? A. ? 0, ? B. ? ,1? C. ?1, ?? ? D. ? , ?? ? ? 4? ?4 ? ?4 ? ? f ( x), x ? 0, 12. 若函数 f ( x) ? a ? 2 x ?1(a ? 0) ,定义函数 F ( x) ? ? 给出下列命 ?? f ( x), x ? 0. 题: m?n ? 0, ① F ( x) ? f ( x) ; ②函数 F ( x) 是奇函数; ③当 a ? 0 时, 若 mn ? 0 ,
11.如果关于 x 的方程 总有 F (m) ? F (n) ? 0 成立,其中所有正确命题的序号是( (A)② (B)①② (C)③
二、填空题:本大题 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.

) (D)②③

? 2 x ? y ? 4, ? 13.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4, 则 z ? x ? y 的最小值为 ? x ? 0,y ? 0 ? 14.函数 的定义域为 .



15 .已知 等比数列 ?an ? 是 递 增数列, S n 是 ?an ? 的前 n 项和 . 若 a1 , a3 是方 程 16.已知 f ( x) 是定义在[-1,1]上的奇函数且 f (1) ? 2 ,当 x1、x2 ? ?? 1 , 1? ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 ? 0 时,有 ? 0 ,若 f ( x) ? m 2 ? 2am ? 5 对所有 x ? [?1,1] 、 x1 ? x2 a ? [?1,1] 恒成立,则实数 m 的取值范围是 _________ .
x 2 ? 10x ? 9 ? 0 的两个根,则 S 6 ?

_______



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在 ?ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 长 分 别 为 a , b , c , 向 量

m ? (2 sin B, 2 cos B) ,
n ? ( 3 cos B, ? cos B) ,且 m ? n ? 1 .
(Ⅰ)求角 B ;

(Ⅱ)若 a , b , c 成等差数列,且 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

7 63 18.已知等比数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,且满足 S3 ? , S6 ? , 2 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 log2 a1 ? log2 a3 ? log2 a5 ? ?? log2 a25 的值.

19. 如 图 , 已 知 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , EA ? 平 面 ABCD , PD ∥ EA , AD ? PD ? 2 EA ? 2 , F , G , H 分别为 BP , BE , PC 的中点. (Ⅰ)求证: FG ∥平面 PDE ; (Ⅱ)求证:平面 FGH ? 平面 AEB ; (Ⅲ)在线段 PC 上是否存在一点 M ,使 PB ? 平面 EFM ? 若存在,求出线段
PM 的长;若不存在,请说明理由.
P

H F E D G A B C

20.P 为圆 A: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 8 上的动点,点 B(1,0).线段 PB 的垂直平分线与半 径 PA 相交于点 M,记点 M 的轨迹为 ? . (I)求曲线 ? 的方程; 2 2 (II)当点 P 在第一象限,且 cos∠BAP= 时,求点 M 的坐标. 3

2 21. 已知函数 f ? x ? ? ax ? x ? x ln x(a ? 0). (I)若函数满足 f(1)=2,且在定义域内 f(x)≥bx2+2x 恒成立,求实 数 b 的取值范围;

(II)若函数 f(x)在定义域上是单调函数,求实数 a 的取值范围; 1 y 1 ? ln y 的大小. (III)当 ? x ? y ? 1时, 试比较 与 e x 1 ? ln x
请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

23.(本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系 xOy ,以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 ? x ? 2cos ? , 标系, ,曲线 C 的参数方程为 ? (?为参数) 。点 A, B 是曲线 C 上两 ? y ? 2 ? 2sin ? , ? 5? )。 点,点 A, B 的极坐标分别为 ( ?1 , ), ( ? 2, 3 6 (I)写出曲线 C 的普通方程和极坐标方程; (II)求 AB 的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4―5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? a, a ? R, g ( x) ? 2x ?1 . (Ⅰ)若当 g ( x) ? 5 时,恒有 f ( x) ? 6 ,求 a 的最大值; (Ⅱ) 若当 x ? R 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ? 3, 求 a 的取值范围.

冀州中学高三第一次月考数学试卷(文)答案
BADAA CBCDBDD -2 364

?? 1,1?

17.解: (Ⅰ)? m ? n ? 1 ,? 2 sin B ? 3 cos B ? 2 cos2 B ? 1 , , ???????????4 分 ? 3 sin 2B ? cos2B ? 2 ,

) ?1 6 又 0 ? B ? ? ,? ? ?????6 分 ? 11? ,? ? ? ,? ? ? ? 2B ? ? 2B ? ? B? 6 6 6 6 2 3 (Ⅱ)? b ? 2 , 2b ? a ? c ,? a ? c ? 4 . 又 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B ,? ? ,即 4 ? a 2 ? c 2 ? ac 4 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos 3 将 a ? c ? 4 代入得 a 2 ? 4a ? 4 ? 0 ,得 a ? 2 ,从而 c ? 2 ,三角形为等边三角形 ???????????12 分 ? 1 S ? ? ac sin B ? 3 2

sin( 2 B ?

18.

19.(Ⅰ)证明:因为 F , G 分别为 PB , BE 的中点, 所以 FG ? PE . 又因为 FG ? 平面 PED , PE ? 平面 PED , 所以 FG ? 平面 PED . ?????4 分 E

P

H F D G M C

(Ⅱ)因为 EA ? 平面 ABCD ,所以 EA ? CB . 又因为 CB ? AB , AB ? AE ? A , A 所以 CB ? 平面 ABE . 由已知 F , H 分别为线段 PB , PC 的中点, 所以 FH ? BC . 则 FH ? 平面 ABE .而 FH ? 平面 FGH , 所以平面 FGH ? 平面 ABE .

B

???????????????????8 分

(Ⅲ)在线段 PC 上存在一点 M ,使 PB ? 平面 EFM .证明如下:

在直角三角形 AEB 中,因为 AE ? 1 , AB ? 2 ,所以 BE ? 5 . 在直角梯形 EADP 中,因为 AE ? 1 , AD ? PD ? 2 ,所以 PE ? 5 , 所以 PE ? BE .又因为 F 为 PB 的中点,所以 EF ? PB . 要使 PB ? 平面 EFM ,只需使 PB ? FM . 因为 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? CB ,又因为 CB ? CD , PD ? CD ? D , 所以 CB ? 平面 PCD ,而 PC ? 平面 PCD ,所以 CB ? PC . 若 PB ? FM ,则 ?PFM ∽ ?PCB ,可得 PM

PB

?

PF . PC

可求得 PB ? 2 3 , PF ? 3 , PC ? 2 2 ,所以

PM ?

3 2 . ?????12 分 2

20.解: (Ⅰ)圆 A 的圆心为 A (-1,0),半径等于 2 2. 由已知|MB|=|MP|,于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2 2, 故曲线 Γ 是以 A,B 为焦点,以 2 2为长轴长的椭圆,a= 2,c=1,b=1, 曲线 Γ 的方程为 2 +y2=1. 2 2 5 2 2 (Ⅱ)由 cos ∠BAP= 3 ,|AP|=2 2,得 P ( 3 , 3 ). 2 于是直线 AP 方程为 y= 4 (x+1).

x2

?5 分 ?8 分

x ? ? 2 +y =1, 7 由? 解得 5 x + 2 x - 7 = 0 , x = 1 , x =- 5 . 2 ?y= 4 (x+1), ?
2 2 1 2

2

2 由于点 M 在线段 AP 上,所以点 M 坐标为(1, 2 ). 21. 解: (Ⅰ)由 f(1)=2,得 a=1,又 x>0, ∴x2+x﹣xlnx)≥bx2+2x 恒成立?1﹣ ﹣ 令 g(x)=1﹣ ﹣ ≥b,

?12 分

,可得 g(x)在(0,1]上递减,

在[1,∞)上递增,所以 g(x)min=g(1)=0, 即 b≤0. -----------------------(4 分) (Ⅱ)f′(x)=2ax﹣lnx, (x>0) , 令 f′(x)≥0 得:2a≥ ∴当 a≥ ,设 h(x)= ,当 x=e 时,h(x)max= ,

时,函数 f(x)在(0,+∞)单调递增?(5 分)

若 0<a<

,g(x)=2ax﹣lnx, (x>0) ,g′(x)=2a﹣ , ,x∈(0, ) ,g′(x)<0,x∈( ,+∞) ,g′(x)>0,

g′(x)=0,x= ∴x=

时取得极小值,即最小值. 时,g( )=1﹣ln <0,

而当 0<a<

f′(x)=0 必有根,f(x)必有极值,在定义域上不单调 ∴a≥ .---------------------- --------(8 分) 在(0,1)上单调递减, <

(Ⅲ)由(I)知 g(x)=1﹣

∴ <x<y<1 时,g(x)>g(y)即 而 <x<y<1 时,﹣1<lnx<0, ∴1+lnx>0, ∴ < 23.(1) 参数方程

.------------------ ------------------------(12 分) 普通方程 2 x ? ( y ? 2)2 ? 4 ? x ? 2cos ?, (?为参数) ? ? ? y ? 2 ? 2sin ? , ---3 分

普通方程

x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ? ? ? 4sin ? (?为参数)

------6 分

方法 1: A( ?1 , 方法 2 ( ?1 ,

?
3

), B( ? 2,

?
3

), ( ? 2,

5? ) ? 直角坐标 A( 3,3), B(? 3,1) ? 两点间距离 AB ? 4 6

5? ? ) 可知 ?AOB ? , AB 为直径, AB ? 4 6 2

-10 分


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