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广东省湛江市第一中学2015-2016学年高二数学上学期第二次月考试题 理


湛江一中 2015-2016 学年度第一学期第二次考试 高二级理科数学试卷
考试时间:120分钟 满分:150分 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的一项. 1. “至多有三个”的否定为( ) A.至少有三个 B.至少有四个 C. 有三个 D.有四个 )

2.如果命题“ ?

( p ? q) ”是假命题,则下列说法正确的是( A. p、 q 均为真命题 C. p、 q 均为假命题 B. p、 q 中至少有一个为真命题 D. p、 q 至少有一个为假命题

3.“ x ? 1 ”是“ x 2 ? x ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4 . 已知 椭 圆的 焦点 是 F1 , F2 , P 是 椭 圆上 的一 个 动点 ,如 果 延长 F1 P 到 Q , 使得

PQ ? PF2 ,那么动点 Q 的轨迹是(
A.圆 B. 椭圆 5. “ 1 ? t ? 4 ” 是“方程 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 的中点到 y 轴的距离为( A.
2 2

) D. 抛物线 )

C.双曲线的一支

x y ? ? 1 表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆”的( 4 ? t t ?1
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) C.

6. 已知 F 是抛物线 y 2=x 的焦点,A, B 是该抛物线上的两点, AF + BF = 则线段 AB 3,

3 4

B. 1

5 4

D.

7 4

x2 y 2 7 .已知双曲线 C: 2 ? 2 =1 的焦距为 10 ,点 P(2, 1) 在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 a b
( A. )

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? =1 ? =1 ? =1 C. D. 5 20 80 20 20 80 8. 若圆心在 x 轴上, 半径为 5 的圆 C 位于 y 轴左侧, 且被直线 x +2 y= 0 截得的弦长为 4 , 则圆 C 的方程是( ) 2 2 A. ( x ? 5) ? y ? 5 B. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 5 2 2 2 2 C. ( x ? 5) ? y ? 5 D. ( x ? 5) ? y ? 5 1 9.已知 f ( x ) ? x ? ? 2( x ? 0) ,则 f ? x ? 有( ) x
B.
1

x y2 ? =1 20 5

2

A.最大值为 0 C.最大值为-4

B.最小值为 0 D.最小值为-4

10. 在以 O 为中心,F1、F2 为焦点的椭圆上存在一点 M , 满足 MF 1 ? 2 MO ? 2 MF 2 , 则该椭圆的离心率为( A. ) B.

2 2

3 3

C.

6 3

D.

2 4

11 . 已 知 P 为 椭 圆

x2 y2 ? =1 上 的 一 点 , M 、N 分 别 为 圆 ( x + 3)2+y 2= 1和圆 25 16 ) ( x- 3)2+ y 2=4 上的点,则 PM + PN 的最小值为(
A.5 B.7 C.13 D.15
2

12 .点 P 在直线 l : y ? x ? 1 上,若存在过点 P 的直线交抛物线 y ? x 于 A, B 两点,且 点”,那么下列结论中正确的是 ( ) | PA ?| AB | ,则称点 P 为“ A.直线 l 上的所有点都是“ 点” B.直线 l 上仅有有限个点是“ C.直线 l 上的所有点都不是“ 点” D.直线 l 上有无穷多个点(不是所有的点)是“ 点” 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分,共20分. 点”

? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 3 ? 13.设 x , y 满足约束条件 ? ,则 z ? x ? 2 y 的取值范围为______. ?x ? 0 ? ?y ? 0 2 2 x y ? ? 1 的右焦点的坐标为 ( 13,0) ,则该双曲线的渐近线方程为 14. 已知双曲线 9 a
_________. 15. 过焦点为 F 的抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 ? 向其准线作垂线, 垂足为 Q , 若 ?Q ?F? 1 2 0 则 ?F ? .
n 2

?



1 ?1? * 16 . 若关于 x 的不等式 x ? x ? ? ? ? 0 对任意 n ? N 在 x ? (-?,? ] 上恒成立, 2 ?2?
则实常数 ? 的取值范围是________.

三.解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分 10 分) 已知命题 p : “ ?x ??1,2?,x2-a ? 0 ” ,命题 q : “ ?x ? R,
2

.若命题“ p ? q ”是真命题,求实数 a 的取值范围. x2+2ax+2-a= 0” 18.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, sin ? C ? A? ? 1, sin B ? (1)求 sin A 的值; (2)设 AC ? 6 ,求 ?ABC 的面积

1 . 3

19.(本小题满分 12 分) 已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为

2 ,且过点 (4, ? 10) .点 M (3,m) 在双曲线上.
(1)求双曲线方程; (2)求证: MF 1 ? MF 2; (3)求 ?F 1MF2 的面积.

20.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,数列 ?Sn ? 的前 n 项和为 ?Tn ? ,满足

Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N * .
(1) 求 a1 的值; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式.

21. (本小题满分 12 分) 如图, 直线 y ?

AB 的垂直平分线与直线 y ? ?5 交于 Q 点. (1) 求点 Q 的坐标; (2) 当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方 (含 A、B) 的动点时, 求 ?OPQ 面积的最大值.

1 1 x 与抛物线 y ? x 2 ? 4 交于 A、B 两点, 线段 2 8 y
B P A O x

?5

Q

第 21 题图

22. (本小题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中, 椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1, 6 2
3

直线 l 与 x 轴交于点 E ,与椭圆 C 交于 A, B 两点. (1)若点 E 的坐标为 ? ?

? 3 ? O A A ,0? ? ,点 在第一象限且横坐标为 3 ,连结点 与原点 的 ? 2 ?
y A

直线交椭圆 C 于另一点 P ,求 ?PAB 的面积; (2)是否存在点 E ,使得

l

1 1 ? 为 2 EA EB 2

定值?若存在,请指出点 E 的坐标,并求出 该定值;若不存在,请说明理由.

F1
P B

O E

x

F2

第 22 题图

湛江一中2015-2016学年度第一学期第二次考试 高二级理科数学参考答案 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的一项。 1.B 2.B 3.A 4.A 12.解:设 A ? m, n ? , P ? x, x ?1? , 5.B 6.C 7.A 8.B 9.C 10.C 11.B 12.A

? n ? m2 则 B ? 2m ? x,2n ? x ? 1? ,∵ A, B 在 y ? x 上,∴ ? 2 ?2n ? x ? 1 ? (2m ? x) 2 2 消去 n ,整理得关于 x 的方程 x ? (4m ?1) x ? 2m ?1 ? 0 (1) 2 2 2 ∵ ? ? (4m ?1) ? 4(2m ? 1) ? 8m ? 8m ? 5 ? 0 恒成立,
2

∴方程(1)恒有实数解,∴应选 A. 第Ⅱ卷 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分.

4

13. [ ? 3,3]

14. 2 x ? 3 y?

0
n

15.

4 3

16. (-?,- 1]

1 1 1 ?1? 16 .解:由题意得 x ? x ? ? ? ,∴ x ? 或 x ? ?1 . ? , 2 2 ? 2 ?max 2
2

又 x ? (-?,? ] ,? ? ? (-?,- 1] . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.解: p : ? ?x ? ?1,2? ,x 2-a ? 0 , ??x ? ?1, 2? ,a ? x2, ? a ? 1. ????????3 分

q : ?x ? R, x2+2ax+2-a= 0 ,则 ?= (2a)2- 4(2-a) ? 0 ,
得 a ? -2 或 a ? 1 . ------------------6 分

若“ p ? q ”是真命题,则 p 是真命题且 q 是真命题, ----8 分 即?

?a ? 1 ?a ? 1 或? ,? a ? -2 或 a ? 1 . ?a ? ?2 ?a ? 1
????????10 分

?a ?? ??, ?2? ??1?
18.解: (1)由 C ? A ?

? B ? ,且 C ? A ? ? ? B ,∴ A ? ? ,???2 分 4 2 2 ? B 2 B B ∴ sin A ? sin( ? ) ? (cos ? sin ) , ???????????3 分 4 2 2 2 2 1 1 2 ∴ sin A ? (1 ? sin B) ? , ??????????5 分 2 3
又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? (2)由正弦定理得

3 3

????????6 分

AC BC ? sin B sin A

????????7 分

AC sin A ∴ BC ? ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 , ???????9 分

又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3

???????11 分

5

∴ S?ABC ?

1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ? 3 2 ???12 分 2 2 3
c 2 ,? ? 2,? c 2 ? b 2 ? a 2 ? a2 ? b2 ???1 分 a
2 2

19.解:(1)∵ e ?

∴可设双曲线方程为 x -y =? (? ? 0) .

??????2 分

10=? ,即 ?=6 ????3 分 ∵双曲线过点 (4, ? 10) ,∴ 16-

6 . ∴双曲线方程为 x -y =

2

2

????????4 分

(2)由(1)可知,在双曲线中 a ? b ? 6 ,∴ c ? 2 3 , ∴F 1 (?2 3,0), F 2 (2 3,0) . ∴ kMF1 ? ??????5 分 ?????????6 分
2 2

m m , kMF2 ? , 3? 2 3 3?2 3

6,m = 3 . 又∵点 M (3,m) 在双曲线上,∴ 9-m =
∴ kMF1 ? kMF2 ? ∴ MF 1 ? MF2 (3)由(2)知 MF 1 ? MF2, ∴ ?MF 1 F2 为直角三角形.又 F 1 (?2 3,0), F 2 (2 3,0) , m ? ? 3 ,

m m m2 ? ?? ? ?1 ????????7 分 3 3? 2 3 3? 2 3
???????8 分

M (3, 3) 或 M (3, ? 3) ,由两点间距离公式得
| MF1 |? (?2 3 ? 3) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 24 ? 12 3 , | MF1 |? (2 3 ? 3) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 24 ? 12 3 ,
???10 分

1 1 1 S ?F1MF2= MF1 MF2 = ? 24 ? 12 3 ? 24 ? 12 3 ? ? 12 ? 6 . 2 2 2
即 ?F 1MF2 的面积为 6. ?????????12 分

20.解:(1)当 n ? 1 ,由已知有

a1 ? 2a1 ?12 ? a1 ? 1 ???????????3 分 (2) n ? 2 时有 Tn ? 2Sn ? n 2 ??? ① Tn?1 ? 2Sn?1 ? (n ?1) 2 ??? ②?????4 分
6

①-②得:

Sn ? 2an ? 2n ? 1
再向后类推一次

③?????????5 分 ④?????????6 分

Sn?1 ? 2an?1 ? 2(n ?1) ? 1
③-④得:

? ?an ? 2? 是以 3 为首项,公比为 2 的等比数列????11 分

an ? 2an ? 2an?1 ? 2 则 an ? 2an?1 ? 2 ?????????8 分 an ? 2 ? 2(an?1 ? 2) ?????????????????10 分

?an ? 2 ? 3? 2n?1 ?an ? 3 ? 2n?1 ? 2 ????????12 分
1 ? y? x ? ? x1 ? ?4 ? x2 ? 8 ? 2 21.解:(1) 解方程组 ? 得? 或? -------2 分 ? y1 ? ?2 ? y2 ? 4 ? y ? 1 x 2-4 ? 8 ? 即 A(- ------------------3 分 4,- 2), B ?8,4? , 从而 AB 的中点为 M ? 2,1? .
1 1 1 ? ( x-2). ,直线 AB 的垂直平分线方程 y- 2 2 令 y ?- -----------------4 分 5 , 得 x ? 5,?Q(5,- 5) 1 2 4) . -------------------5 分 (2) 直线 OQ 的方程为 x ? y ? 0 , 设 P( x, x - 8 1 x ? x2 ? 4 1 8 x 2 ? 8 x ? 32 , ∵点 P 到直线 OQ 的距离 d ? = 8 2 2
由 k AB ? ----------7 分

OQ ? 5 2 ,∴ S?OPQ =

1 5 OQ d = x 2 ? 8 x ? 32 . 2 16

---------------8 分

∵P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点, 且 P 不在直线 OQ 上,

4 ? x ? 4 3- 4 或 4 3- 4? x ?8. ∴-
2

----------10 分

32 在区间 [-4,8] 上单调递增, ∵函数 y ? x ? 8x- ∴当 x ? 8 时, ?OPQ 的面积取到最大值 30 . ------------------12 分
x2 y 2 ? ? 1 ,解得 y ? ?1 , --------------1 分 22.解: (1)将 x ? 3 代入 6 2
因点 A 在第一象限,从而 A( 3,1) ,由点 E 的坐标为 (

2 3 ,直线 PA , 0) ,所以 k AB ? 2 3

的方程为 y ?

2 3 (x ? ) , 2 3
7

联立直线 PA 与椭圆 C 的方程,解得 B(?

3 7 , ? ) , ------------------------2 分 5 5

又 PA 过原点 O ,于是 P(? 3, ?1) , PA ? 4 ,所以直线 PA 的方程为

?

x ? 3 y ? 0 , 所 以 点 B 到 直 线 PA 的 距 离 h ?

3 7 3 ? 5 5 2

?

3 3 , 5

-------------------4 分

1 3 3 6 3 S?PAB ? ? 4 ? ? 2 5 5
(2)假设存在点 E ,使得

---------------------------------------5 分

1 1 ? 为定值,设 E( x0 ,0) , 2 EA EB 2

当直线 AB 与 x 轴重合时,有

12 ? 2 x02 1 1 1 1 ? ? ? ? EA2 EB2 ( x0 ? 6)2 ( 6 ? x0 )2 (6 ? x02 )2
当直线 AB 与 x 轴垂直时,

--------6 分

1 1 ? ? 2 EA EB 2

2 2(1 ? x0 ) 6
2

?

6 , 6 ? x0 2

------------7 分 由

12 ? 2 x0 2 6 6 ,解得 x0 ? ? 3 , ? ? 2, 2 2 2 6 ? x0 2 (6 ? x0 ) 6 ? x0
1 1 ? 为定值 2. -----8 分 2 EA EB 2

所以若存在点 E ,此时 E(? 3,0) ,

根据对称性,只需考虑直线 AB 过点 E ( 3,0) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 又设直线 AB 的方程为 x ? my ? 3 ,与椭圆 C 联立方程组, 化 简 得 (m ? 3) y ? 2 3my ? 3 ? 0 , 所 以 y1 ? y2 ?
2 2

?3 ?2 3m , y1 y2 ? 2 , 2 m ?3 m ?3

------------9 分 又

1 1 1 1 ? ? 2 2 ? 2 , 2 2 2 2 EA ( x1 ? 3) ? y1 m y1 ? y1 (m ? 1) y12

8

所以

( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 1 1 1 1 , ? ? ? ? EA2 EB2 (m2 ? 1) y12 (m2 ? 1) y22 (m2 ? 1) y12 y22
------------11 分

将上述关系代入,化简可得

1 1 ? ?2. 2 EA EB 2 1 1 ? 为定值 2.-------12 分 2 EA EB 2

综上所述,存在点 E(? 3,0) ,使得

9


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