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导数--导学案


2013—2014(下)

高三理科专题导学案

《 函数与导数》 撰写人:李守斌

函数与导数专题(1)
学习目标:掌握函数及导数的基本知识和性质,并能应用它解决有关问题. 学习重点:函数与导数的基本性质及其应用. 学习难点:导数的基本性质的应用 课前检测:

? 0 ? x ? 9, ?

x 2 , 1. 函数 f ( x) ? ? 则 f ( x ) 的零点是__ _; f ( x ) 的值域是__ 2 ? ? x ? x, ? 2 ? x ? 0.
1

_

2.函数 y ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象经过点 ( 2 , ? 1) ,函数 y ? b x ( b ? 0 且 b ? 1 ) 的图象经过点 (1, 2 ) ,则下列关系式中正确的是 (A)
a ?b
2 2

(B)

2 ?2

a

b

(C)

1 1 ( ) a ? ( )b 2 2

(D)

1 a2

?

1 b2

?? x2 ? ax, x ? 1, 3. 已知函数 f ( x) ? ? 若 ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则 x ? 1, ?ax ? 1,
实数 a 的取值范围是 (A) a < 2 知识回顾: 基本函数及其性质: (B) a > 2 (C) - 2 < a < 2 (D) a > 2 或 a < - 2

导数的基本公式:

导数的性质:

1

2013—2014(下) 例题选练:

高三理科专题导学案

《 函数与导数》

1..下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 单调递增的函数是 (A) y ? ?

1 x

(B) y ? e| x|

(C) y ? ? x2 ? 3

(D) y ? cos x

2.设函数 f ( x) ? ?

?? x ? a, x ? 1,
x ?2 , x ? 1

的最小值为 2 ,则实数 a 的取值范围是



3.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x (Ⅰ)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 在(1, 2 f (1) )处的切线方程;(Ⅱ)讨论函数 f ( x) 的单调区间

4.已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

a ? ln x ? 1 .(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 x (2, f (2)) 处的切线方程;(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? 0, e? 上的最小值.

2

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高三理科专题导学案

《 函数与导数》

5.

已知函数 f ( x) ? a ln x ? 2ax ? 3 ( a ? 0 ).(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)函数 y ? f ( x) 的图像在 x ? 2 处的切线的斜率为 , 若函数

3 2

g ( x) ?

1 3 x ? x 2 [ f ' ( x) ? m] ,在区间(1,3)上不是单调函数,求 m 的范围。 3

巩固练习: 1.设 a ? 0.64.2 , b ? 70.6 , c ? log0.6 7 ,则 a,b,c 的大小关系是 A. c ? b ? a B. c ? a ? b C. a ? c ? b D. a ? b ? c ( )

? 1 x 3 x ? 2, ?( ) ? , 2、已知函数 f ( x) ? ? 2 则 f ( f (2)) 的值为 ;函数 4 ? ? log 2 x, 0 ? x ? 2,
g ( x) ? f ( x) ? k 恰有两个零点,则实数 k 的取值范围是
.

3

2013—2014(下) 3.

高三理科专题导学案

《 函数与导数》

已知函数 f ( x) ?

x ,其中 b ? R .(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; x ?b
2

(Ⅱ)设 b ? 0 .若 ? x ? [ , ] ,使 f ( x) ? 1 ,求 b 的取值范围.

1 3 4 4

达标检测: 1.已知函数 f ( x) ? 1 ? 2 x ?

3 ( x ? 0) 在 x ? a 时取到最小值,则 a= x



x ? m, ?2, y ? x 恰有三个公共点,则实数 f ( x ) ? ? 2 2.已知函数 的图象与直线 x ? 4 x ? 2, x ? m ? m 的取值范围是( )
A. (??, ?1] B. [?1, 2) C. [?1, 2] D. [2, ??)

2 x 3.已知函数 f ( x ) ? ax ? 1 ? e , a ? R .(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 时取得极值,

?

?

求 a 的值;(Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间.

学习小结: 课后作业:见学案
4

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高三理科专题导学案

《 函数与导数》 撰写人:李守斌

函数与导数专题(2)
学习目标:掌握函数及导数的基本知识和性质,并能应用它解决有关问题. 学习重点:函数与导数的基本性质及其应用. 学习难点:导数的基本性质的应用 课前检测: 1. 函数 f ( x) ? x ? sin x ( x ? R) ( ) A.是偶函数,且在 (??, +?) 上是减函数 C.是奇函数,且在 (??, +?) 上是减函数 是( ) B.是偶函数,且在 (??, +?) 上是增函数 D.是奇函数,且在 (??, +?) 上是增函数

2.已知函数 y ? sin ax ? b (a ? 0) 的图象如图所示,则函数 y ? loga ( x ? b) 的图象可能

A.

B.

C.
1

D.

3.已知函数 f ( x) ? x 2 ,给出下列命题:①若 x ? 1 ,则 f ( x) ? 1 ,②若 0 ? x1 ? x2 ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ;③若 0 ? x1 ? x2 ,则 x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ;④若 0 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) .其中,所有正确命题的序号是 则 . 2 2
5

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《 函数与导数》

知识回顾: 一 函数的单调性 函数 f ( x ) 在某个区间 ( a, b) 内,若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为 若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为 ;若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为

; 。

常见考察题型:(1)求函数的单调区间,即解不等式 f ?( x) ? 0或 f ?( x) ? 0 。

(2)函数在区间 [ a, b] 上单调递增(递减),即 f ?( x) ? 0 ? f ??x ? ? 0? 在区间 [ a, b] 上恒 成立,利用分离参数或函数性质求解恒成立问题,对等号单独验证。 二(1)函数极值的概念 求函数极值的步骤:① ;② ;③ 。 三.函数的最大值与最小值 在闭区间 [ a, b] 上连续, ( a, b) 内可导, f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上求最大值与最小值的步 骤是: (1) ; (2) 。 例题选练: 1.给定函数:① y ? x ;② y ? x ?1 ;③ y ? sin x ;④ y ? log 2 x ,
3 2

2.已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? a
3 2

其中奇函数是( ) A.① ② B.③ ④

?a, b ? R? . (Ⅰ)若函数 f ? x ? 在 x ? 1 处有极 值为 10,求 b 的值;(Ⅱ)若对于任意的 a ? ? ?4, ??? , f ? x ? 在 x ? ?0,2? 上
2

C.① ③

D.② ④

单调递增,求 b 的最小值.

ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的导函数 y ? f '( x) 的两个零点为-3 和 0. (Ⅰ) 3.函数 f ( x) ? ex
求 f ( x ) 的单调区间;(Ⅱ)若 f(x)的极小值为 ? e ,求 f(x)在区间 [?5, ??) 上的
3

最大值.

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《 函数与导数》

1 4.已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2ln x (a ? R) .(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 x
(1, f (1)) 处的切线方程;(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

a (Ⅲ)设函数 g ( x) ? ? .若至少存在一个 x0 ? [1,e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, x
求实数 a 的取值范围.

巩固练习: 1.已知函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0, D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 (1, 0) 处 ?? x ? 1, x ? 0, 的切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 3 y 在 D 上的最大值为
A. 4 B. 3 C. D. ?1





2.图中阴影部分的面积等于



7

2013—2014(下) 3.

高三理科专题导学案 .

《 函数与导数》

?

1 0

( x ? 1)dx =

4.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? 4 ( a ? R ).(Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 的图象在点

P(1, f (1) )处的切线的倾斜角为

? ,求 f ( x ) 在 ??1,1? 上的最小值; 4

(Ⅱ)若存在 x0 ? (0,??) ,使 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

达标检测: 1.

e ax . (I) 当 a ? 1 时,求曲线 f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方 x ?1 程;(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.
已知函数 f ( x ) ?

学习小结: 课后作业:见学案
8

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《 函数与导数》

(1)的答案
3.解:(1)当 a ? 2 时, f ( x) ?

1 2 x ? 2 x ? ln x 2

? f ' ( x) ? x ? 2 ?
? f (1) ?

1 x

1 3 ? 2 ? ? ,? f ' (1) ? 0 2 2 3 2
…… 4 分

切线方程为 y ? ?

(0, ? ?) (2) 定义域
f ' ( x) ? x ? a ? a ? 1 x 2 ? ax ? (a ? 1) ( x ? 1)( x ? 1 ? a ) ? ? x x x

令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x1 ? 1 , x2 ? a ? 1

(0, ? ?) ①当 a ? 2时 , f ' ( x) ? 0 恒成立,则 是函数的单调递增区间
②当 a ? 2 时, a ? 1 ? 1 , 在区间(0,1)和( a ? 1,?? )上, f ?( x) ? 0 ;在( 1, a ? 1 )区间上

f ?( x) ? 0 ,
故 f ( x) 的单调递增区间是(0,1)和( a ? 1,?? ),单调递减区间是 ( 1, a ? 1 ) ③当 1 ? a ? 2 时,在区间(0, a ? 1 )和( 1,?? )上, f ?( x) ? 0 ;在 ( a ? 1,1 )区间上 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 的单调递增区间是(0, a ? 1 )和 ( 1,?? ),单调递减区间是( a ? 1,1 )
9

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《 函数与导数》

④当 a ? 1 时, a ? 1 ? 0 ,在区间(0,1)上 f ?( x) ? 0 ,在区间( 1,?? )上,

f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 的单调递增区间是( 1,?? ),单调递减区间是(0,1)。
…… 13 分
4.解:(I) f ( x ) ?
'

a (1 ? 2 x) ( x ? 0) x
1 2 f‘ ( x ) ? 0即x ? 1 2

……2 分

当 a ? 0时, f ' ( x) ? 0 即 0 ? x ?

? f(x)的单调递增区间为(0,


1 1 ),单调递减区间为( , ? ?) 2 2

………4

当 a ? 0时, f‘ ( x ) ? 0即x ?

1 1 , f ' ( x) ? 0 即 0 ? x ? 2 2

f(x)的单调递增区间为(

1 1 , ? ?) ,单调递减区间为(0, ) ……6 分 2 2
……8 分

(II) f ' (2) ? ?

3a 3 ? 得 a ? ?1 2 2

f ( x) ? ? ln x ? 2 x +3

g ( x) ?

1 3 1 x ? ( ? ? 2 ? m) x 2 3 x

……9 分

? g ' ( x) ? x 2 ? (4 ? 2m) x ? 1

………10 分

? g ( x)在区间( 1 , 3)上不是单调函数,且 g ' (0) ? ?1 ……11 分
' ? ? g (1) ? 0 ?? ' ……12 分 ? ? g (3) ? 0

?4 ? 2m ? 0 10 ? m ? ?2 即: ? ?? 3 ?20 ? 6m ? 0

……13 分

10

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《 函数与导数》

5.(Ⅰ)解:① 当 b ? 0 时, f ( x) ?

1 . x
………………

故 f ( x) 的单调减区间为 (??, 0) , (0, ??) ;无单调增区间. 1分 ② 当 b ? 0 时, f ?( x) ? 分 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? b , x2 ? ? b .

b ? x2 . ( x 2 ? b) 2

………………3

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)

(??, ? b )
?

? b
0

(? b , b )

b
0

( b , ? ?)
?

?







故 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? b ) , ( b , ??) ;单调增区间为 (? b , b ) . ………………5 分 ③ 当 b ? 0 时, f ( x) 的定义域为 D ? {x ? R | x ? ? ?b}. 因为 f ?( x) ?

b ? x2 ? 0 在 D 上恒成立, ( x 2 ? b) 2

故 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? ?b ) , (? ?b , ?b ) , ( ?b , ??) ;无单调增 区间. ………………7 分 (Ⅱ)解:因为 b ? 0 , x ? [ , ] , 所以 f ( x) ? 1 等价于 b ? ? x2 ? x ,其中 x ? [ , ] .

1 3 4 4

1 3 4 4

………………9 分

11

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《 函数与导数》

设 g ( x) ? ? x2 ? x , g ( x) 在区间 [ , ] 上的最大值为 g ( ) ? 分 则“ ? x ? [ , ] ,使得 b ? ? x2 ? x ”等价于 b ? 所以, b 的取值范围是 (0, ] .

1 3 4 4

1 2

1 .………………11 4

1 3 4 4

1 . 4
………………

1 4

(2)的答案
1.解:(Ⅰ)

f ?( x) ?

(2ax ? b)e x ? (ax 2 ? bx ? c)e x ?ax 2 ? (2a ? b) x ? b ? c ........2 分 ? (e x )2 ex

令 g ( x) ? ?ax2 ? (2a ? b) x ? b ? c , 因为 e x ? 0 ,所以 y ? f '( x) 的零点就是 g ( x) ? ?ax2 ? (2a ? b) x ? b ? c 的零 点,且 f ?( x ) 与 g ( x) 符号相同. 又因为 a ? 0 ,所以 ?3 ? x ? 0 时,g(x)>0,即 f ?( x) ? 0 , ………………………4 分 当 x ? ?3, x ? 0 时,g(x)<0 ,即 f ?( x) ? 0 , …………………………………………6 分 所以 f ( x) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0, +∞).……7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, x =-3 是 f ( x) 的极小值点,所以有

12

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《 函数与导数》

? 9a ? 3b ? c ? ?e3 , ? e?3 ? ?b ? c ? 0, ??9a ? 3(2a ? b) ? b ? c ? 0, ? ?
解得 a ? 1, b ? 5, c ? 5 , …………………………………………………………11 分

所以 f ( x) ?

x2 ? 5x ? 5 . ex

? f ( x) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞),

? f (0) ? 5 为函数 f ( x) 的极大值, …………………………………………………12 分
? f ( x) 在区间 [?5, ??) 上的最大值取 f (?5) 和 f (0) 中的最大者. …………….13


而 f ( ?5) ?

5 ? 5e5 >5,所以函数 f(x)在区间 [?5, ??) 上的最大值是 e ?5

5e5 ..…14 分
2.解:(I)

f ?( x) ? ?3x 2 ? 2ax.

…………………………. ……………1 分

根据题意, f ?(1) ? tan

? ? 1,??3 ? 2a ? 1, 即a ? 2. 4

…………………3 分

此时, f ( x) ? ? x3 ? 2x2 ? 4 ,则 f ?( x) ? ?3x2 ? 4 x .

令 f '( x) ? 0,得x1 ? 0, x2 ?

4 . 3

13

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《 函数与导数》

x
f ? ? x? f ? x?

?1

(?1, 0)


0 0
?4

(0,1)
+ ↗

1 1

?7
?1

?3

…………………………………………………………………………………………. 6分 ∴当 x ???1,1? 时, f ? x ? 最小值为 f ? 0? ? ?4 . ………………………7 分

(II)? f ?( x) ? ?3x( x ?

2a ). 3

①若 a ≤ 0,当x ? 0时, f ?( x) ? 0,? f ( x)在(0, ??) 上单调递减. 又 f (0) ? ?4, 则当x ? 0时, f ( x) ? ?4.

?当a ≤ 0时, 不存在x0 ? 0, 使f ( x0 ) ? 0. …………………………………………..
10 分

②若 a ? 0, 则当0 ? x ?

2a 2a 时, f ?( x) ? 0;当x ? 时, f ?( x) ? 0. 3 3

从而 f ( x) 在(0,

2a 2a ) 上单调递增,在( ,+ ?) 上单调递减. 3 3

?当x ? (0,??)时, f ( x) max
根据题意,

2a 8a 3 4a 3 4a 3 ? f( )?? ? ?4? ? 4. 3 27 9 27

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《 函数与导数》

4a 3 ? 4 ? 0, 即a 3 ? 27.? a ? 3. …………….............................. 27
13 分 综上, a 的取值范围是 (3, ??) .

3.解:当 a ? 1 时,

f ( x) ?

e ax , x ?1
………………2 分

e x ( x ? 2) f '( x ) ? ( x ? 1)2
又 f (0) ? ?1 , f '(0) ? ?2 , 所以 f ( x ) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为

y ? ?2 x ? 1
(II) f '( x ) ?

………………4 分

eax [ax ? (a ? 1)] ( x ? 1)2
?1 ?0 ( x ? 1)2

当 a ? 0 时, f '( x ) ?

又函数的定义域为 {x | x ? 1} 所以 f ( x ) 的单调递减区间为

( ??,1),(1, ??)

………………6 分

当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,即 ax ? (a ? 1) ? 0 ,解得

x?

a ?1 a

………………7 分

当 a ? 0 时, x ?

a ?1 ? 1, a

所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表

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《 函数与导数》

x

( ??,1)

1
无定

(1,

a ?1 ) a

a ?1 a

(

a ?1 , ??) a

f '( x)

?



?

0

?

极小

f ( x)

?

?



?

所以 f ( x) 的单调递减区间为 ( ??,1) , (1, 单调递增区间为 ( 当 a ? 0 时, x ?

a ?1 ), a
………………10 分

a ?1 , ??) a a ?1 ?1 a

所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

( ??,

a ?1 ) a

a ?1 a

(

a ?1 ,1) a

1
无定

(

a ?1 , ??) a

f '( x)

?

0

?



?

极大

f ( x)

?



?

?

所以 f ( x) 的单调递增区间为 ( ??, 单调递减区间为 (

a ?1 ), a
………………13 分
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a ?1 ,1) , (1, ??) a

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《 函数与导数》

4.解:函数的定义域为

?0, ??? ,
…………………………………………………1

f ?( x) ? a(1 ?

1 2 ax2 ? 2x ? a . ) ? ? x2 x x2


1 (Ⅰ)当 a ? 2 时,函数 f ( x) ? 2( x ? ) ? 2ln x , f (1) ? 0 , f ?(1) ? 2 . x

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 1) , 即 2 x ? y ? 2 ? 0 .………………………………………………………………………3 分 (Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . (1)当 a ? 0 时, h( x) ? ax2 ? 2x ? a ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减. ……………4 分 (2)当 a ? 0 时, ? ? 4 ? 4a 2 , (ⅰ)若 0 ? a ? 1 ,

由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得 x ? 分

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? ; ………………5 a a

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《 函数与导数》

由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得 分

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 .………………………6 ?x? a a

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) , a a

单调递减区间为 (

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ). a a

……………………………………7 分

(ⅱ)若 a ? 1 , h( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递 增. ………………………………………………………………8 分 (Ⅲ))因为存在一个 x0 ? [1,e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , 则 ax0 ? 2ln x0 ,等价于 a ?

2 ln x0 .…………………………………………………9 分 x0

令 F ( x) ?

2 ln x ,等价于“当 x ??1,e? 时, a ? F ? x ?min ”. x
2(1 ? ln x) . x2
……………………………………………10 分

对 F ( x) 求导,得 F ?( x) ?

因为当 x ? [1, e] 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增. ……………12


所以 F ( x)min ? F (1) ? 0 ,因此 a ? 0 .

…………………………………………13 分

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《 函数与导数》

另解:
设 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? 2ln x ,定义域为 ? 0, ??? ,

F? ? x? ? a ?

2 ax ? 2 ? . x x

依题意,至少存在一个 x0 ? [1,e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 等价于当 x ??1,e? 时, F ? x ?max ? 0 . (1)当 a ? 0 时, ………………………………………9 分

F ? ? x ? ? 0 在 ?1,e? 恒成立,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 单调递减,只要

F ? x ?max ? F ?1? ? a ? 0 ,
则不满足题意. ……………………………………………………………………10 分

(2)当 a ? 0 时,令 F ? ? x ? ? 0 得 x ?

2 . a

(ⅰ)当 0 ?

2 ? 1 ,即 a ? 2 时, a

在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 上单调递增, 所以 F ? x ?max ? F ? e? ? ae ? 2 , 由 ae ? 2 ? 0 得, a ?

2 , e

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《 函数与导数》

所以 a ? 2 .

……………………………………………………………………11 分

(ⅱ)当

2 2 ? e ,即 0 ? a ? 时, a e

在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 单调递减, 所以 F ? x ?max ? F ?1? ? a , 由a ? 0得0 ? a ?

2 .…………………………………………………………………12 分 e

(ⅲ)当 1 ?

2 2 ? e ,即 ? a ? 2 时, a e 2 a

在 [1, ) 上 F ? ? x ? ? 0 ,在 ( , e] 上 F ? ? x ? ? 0 ,

2 a

所以 F ? x ? 在 [1, ) 单调递减,在 ( , e] 单调递增,

2 a

2 a

F ? x ?max ? 0 ,等价于 F ?1? ? 0 或 F ? e ? ? 0 ,解得 a ? 0 ,
所以,

2 ?a?2. e
………………………………………13 分

综上所述,实数 a 的取值范围为 (0, ??) . . …………………

20


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