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2013届高考数学(理)一轮复习课件:第十三篇 推理证明、算法、复数第4讲 数学归纳法)


第4讲 数学归纳法

【2013 年高考会这样考】 1.数学归纳法的原理及其步骤. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 【复习指导】 复习时要抓住数学归纳法证明命题的原理, 明晰其内在的联系, 把握数学归纳法证明命题的一般步骤,熟知每一步之间的区别 联系,熟悉数学归纳法在证明命题中的应用技巧.

基础梳理 1.归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论 的推理方法,通常叫做 归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分 可分为 完全 归纳法和 不完全 归纳法.

2.数学归纳法 (1)数学归纳法: 设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合, 如果: ①证明起始命题P1 (或 P0)成立;②在假设Pk 成立的前提下,推 出 Pk+1 也成立,那么可以断定{Pn}对一切正整数成立. (2)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步骤为: ①归纳奠基:证明当取第一个自然数 n0 时命题成立; ②归纳递推:假设 n=k,(k∈N*,k≥n0)时,命题成立,证明 当 n=k+1 时,命题成立; ③由①②得出结论.

两个防范 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法, 第一步是递推的“基础”,第二步是递推的“依据”,两个步 骤缺一不可,在证明过程中要防范以下两点: (1)第一步验证 n=n0 时,n0 不一定为 1,要根据题目要求选择 合适的起始值.(2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作 用,在证明 n=k+1 时,命题也成立的过程中一定要用到它, 否则就不是数学归纳法.第二步关键是“一凑假设,二凑结 论”.

三个注意 运用数学归纳法应注意以下三点: (1)n=n0 时成立,要弄清楚命题的含义. (2)由假设 n=k 成立证 n=k+1 时,要推导详实,并且一定要 运用 n=k 成立的结论. (3)要注意 n=k 到 n=k+1 时增加的项数.

双基自测 1 1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 2 n(n-3)条时, 第一步检验第一个值n0 等于( A.1 解析 答案 B.2 C.3 D.0 ).

边数最少的凸n边形是三角形. C

1 1 1 2.利用数学归纳法证明不等式1+ 2 + 3 +?+ n < 2 -1 f(n)(n≥2,n∈N*)的过程,由n=k到n=k+1时,左边增加了 ( A.1项 B.k项 解析 C.2k 1项 D.2k项


).

? 1 1 1 ? 1 1 1 1 ? 1+ 2 + 3 +?+ k+1 - ?1+2+3+?+2k-1? = 2k + ? 2 -1 ? ?

1 1 +?+ k+1 ,共增加了2k项,故选D. k 2 +1 2 -1 答案 D

3.用数学归纳法证明:“1+a+a2+?+an 1= (a≠1,n∈N*)”在验证n=1时,左端计算所得的项为( A.1 C.1+a+a2 答案 C B.1+a D.1+a+a2+a3



1-an+2 1-a ).

4.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N*)时命题成立,那 么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题 不成立,那么可以推得( A.n=6时该命题不成立 C.n=4时该命题不成立 ). B.n=6时该命题成立 D.n=4时该命题成立

解析 法一 由n=k(k∈N*)成立,可推得当n=k+1时该命题 也成立.因而若n=4成立,必有n=5成立.现知n=5不成立, 所以n=4一定不成立. 法二 其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当n=k 时也不成立”为真,故“n=5时不成立”?“n=4时不成 立”. 答案 C

1 1 1 13 5.用数学归纳法证明不等式 + +?+ > 的过 n+1 n+2 n+n 24 程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是 ________. 解析 1 1 1 不等式的左边增加的式子是 + - = 2k+1 2k+2 k+1

1 1 ,故填 . ?2k+1??2k+2? ?2k+1??2k+2? 答案 1 ?2k+1??2k+2?

考向一

用数学归纳法证明等式

【例1】?用数学归纳法证明: tan nα tan α· 2α+tan 2α· 3α+?+tan(n-1)α· nα= tan α -n(n tan tan tan ∈N*,n≥2). [审题视点] 注意第一步验证的值,在第二步推理证明时要注

意把假设作为已知.

tan 2α 2 2tan2α 证明 (1)当n=2时,右边= tan α -2= -2= 1-tan2α 1-tan2α =tan α· 2α=左边,等式成立. tan (2)假设当n=k(k∈N*且k≥2)时,等式成立,即 tan kα tan α· 2α+tan 2α· 3α+?+tan(k-1)α· kα= tan α -k, tan tan tan 那么当n=k+1时, tan α· 2α+tan 2α· 3α+?+tan(k-1)α· kα+tan kα· tan tan tan tan(k +1)α tan kα = -k+tan kα· tan(k+1)α tan α

tan kα = tan α +1+tan kα· tan(k+1)α-(k+1) tan kα tan?k+1?α-tan kα = + -(k+1) tan α tan[?k+1?α-kα] tan?k+1?α = -(k+1). tan α 这就是说,当n=k+1时等式也成立. 由(1)(2)知,对任何n∈N*且n≥2,原等式成立.

用数学归纳法证明等式时,要注意第(1)步中验证n0的值,如 本题要取n0=2,在第(2)步的证明中应在归纳假设的基础上正 确地使用正切的差角公式.

【训练1】 用数学归纳法证明: 1 1 1 n 对任意的n∈N , + +?+ = . 1×3 3×5 ?2n-1??2n+1? 2n+1
*

1 1 1 1 证明 (1)当n=1时,左边= = ,右边 = ,左边 3 1×3 2×1+1 3 =右边,所以等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*且k≥1)时等式成立,即有 k 1 1 1 + +?+ = , 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? 2k+1

则当n=k+1时, 1 1 1 1 + +?+ + 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? ?2k+1??2k+3? k?2k+3?+1 k 1 = + = 2k+1 ?2k+1??2k+3? ?2k+1??2k+3? 2k2+3k+1 k+1 k+1 = = = , ?2k+1??2k+3? 2k+3 2?k+1?+1 所以当n=k+1时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式都成立.

考向二

用数学归纳法证明整除问题

【例 2】?是否存在正整数 m 使得 f(n)=(2n+7)·n+9 对任意自 3 然数 n 都能被 m 整除,若存在,求出最大的 m 的值,并证明你 的结论;若不存在,说明理由. [审题视点] 观察所给函数式,凑出推理要证明所需的项.

解 由 f(n)=(2n+7)·n+9 得,f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)= 3 10×36,f(4)=34×36,由此猜想:m=36. 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,显然成立; (2)假设 n=k(k∈N*且 k≥1)时,f(k)能被 36 整除,即 f(k)=(2k +7)·k+9 能被 36 整除;当 n=k+1 时,[2(k+1)+7]·k+1+9 3 3 =(2k+7)·k+1+27-27+2·k+1+9=3[(2k+7)·k+9]+18(3k-1 3 3 3 -1), 由于 3k-1-1 是 2 的倍数,故 18(3k-1-1)能被 36 整除,这就是 说,当 n=k+1 时,f(n)也能被 36 整除. 由(1)(2)可知对一切正整数 n 都有 f(n)=(2n+7)·n+9 能被 36 3 整除,m 的最大值为 36.

证明整除问题的关键“凑项”,而采用增项、减项、拆项和因 式分解等手段,凑出 n=k 时的情形,从而利用归纳假设使问题 获证.

【训练 2】 用数学归纳法证明 an+1+(a+1)2n-1(n∈N*)能被 a2 +a+1 整除. 证明 (1)当 n=1 时,2+(a+1)=a2+a+1 可被 a2+a+1 整除. a

(2)假设 n=k(k∈N*且 k≥1)时, ak 1+(a+1)2k 1 能被 a2+a+1 整除,
+ -

则当 n=k+1 时,

ak 2+(a+1)2k 1=a·k 1+(a+1)2(a+1)2k 1=a·k 1+a· a a (a+1)2k
+ + + - + -1

+(a2+a+1)(a+1)2k-1=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+

1)2k-1,由假设可知 a[ak+1+(a+1)2k-1]能被 a2+a+1 整除,(a2 +a+1)(a+1)2k 1 也能被 a2+a+1 整除, ∴ak+2+(a+1)2k+1 也能被 a2+a+1 整除, 即 n=k+1 时命题也成立, ∴对任意 n∈N*原命题成立.


考向三

用数学归纳法证明不等式

【例 3】?用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数,不等式
? ? 1 ? 1? ? 1? ? ?1+ ??1+ ?· ?1+ ?· 2n-1?> ? 3? ? 5? ? ? ?

2n+1 2 均成立.

[审题视点] 本题用数学归纳法证明不等式,在推理过程中用放 缩法,要注意放缩的“度”. 证明 1 4 5 (1)当 n=2 时,左边=1+3=3;右边= 2 .

∵左边>右边,∴不等式成立.

(2)假设 n=k(k≥2,且 k∈N*)时不等式成立,
? ? 1 ? 1?? 1? ? 即?1+3??1+5?· ?1+2k-1?> ?· ? ? ?? ? ? ?

2k+1 2 .

则当 n=k+1 时,
? ? ? 1 ?? 1 1? ? 1? ? ?? ?1+ ??1+ ?· ?1+ ?· 2k-1??1+2?k+1?-1? ? 3? ? 5? ? ? ?? ?

2k+1 2k+2 2k+2 4k2+8k+4 > 2 · = = 2k+1 2 2k+1 2 2k+1 4k2+8k+3 2k+3 2k+1 2?k+1?+1 > = = . 2 2 2k+1 2 2k+1 ∴当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)(2)知,对于一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立.

在由 n=k 到 n=k+1 的推证过程中,应用放缩技巧,使问题 得以简化,用数学归纳法证明不等式问题时,从 n=k 到 n=k +1 的推证过程中,证明不等式的常用方法有比较法、分析法、 综合法、放缩法等.

1 3 【训练 3】 已知函数 f(x)= x -x,数列{an}满足条件:a1≥1, 3 1 1 1 1 an+1≥f′(an+1).试比较 + + +?+ 与1 1+a1 1+a2 1+a3 1+an 的大小,并说明理由. 解 ∵f′(x)=x2-1,an+1≥f′(an+1),∴an+1≥(an+1)2-1.

∵函数 g(x)=(x+1)2-1=x2+2x 在区间[1,+∞)上单调递增, 于是由 a1≥1,得 a2≥(a1+1)2-1≥22-1,进而得 a3≥(a2+1)2 -1≥24-1>23-1, 由此猜想:an≥2n-1.

下面用数学归纳法证明这个猜想: ①当 n=1 时,a1≥21-1=1,结论成立; ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N*)时结论成立,即 ak≥2k-1,则当 n =k+1 时,由 g(x)=(x+1)2-1 在区间[1,+∞)上单调递增知, ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即 n=k+1 时,结论也成 立. 由①、②知,对任意 n∈N*,都有 an≥2n-1. 1 1 即 1+an≥2 ,∴ ≤ n, 1+an 2
n

1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ + + +?+ ≤ + 2+ 3+?+ n=1- 2 1+a1 1+a2 1+a3 1+an 2 2 2
?1? ? ?n<1. ?2?

考向四

归纳、猜想、证明

【例 4】?数列{an}满足 Sn=2n-an(n∈N*). (1)计算 a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式 an; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想. [审题视点] 利用 Sn 与 an 的关系式求出{an}的前几项, 然后归纳 出 an,并用数学归纳法证明.



(1)当 n=1 时,a1=S1=2-a1,∴a1=1.

3 当 n=2 时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=2. 7 当 n=3 时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=4. 15 当 n=4 时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4= . 8 2n-1 由此猜想 an= n-1 (n∈N*). 2 (2)证明 21-1 ①当 n=1 时,左边=a1=1,右边= 20 =1,左边

=右边,结论成立.

2k-1 ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N*)时,结论成立,即 ak= k-1 ,那么 2 n=k+1 时, ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1, ∴2ak+1=2+ak, 2k-1 2+ k-1 + 2 2+ak 2k 1-1 ∴ak+1= = = , 2 2 2k 这表明 n=k+1 时,结论成立, 2n-1 由①②知猜想 an= n-1 成立. 2

(1)归纳、猜想、证明是高考重点考查的内容之一,此类问题 可分为归纳性问题和存在性问题, 本例从特例入手, 通过观察、 分析、归纳、猜想,探索出一般规律. (2)数列是定义在 N*上的函数, 这与数学归纳法所运用的范围是 一致的,并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的,数 列中有不少问题常用数学归纳法解决.

1 【训练 4】 由下列各式 1>2, 1 1 1+ + >1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1+ + +?+ >2, 2 3 15 1 1 1 5 1+2+3+?+31>2, ?,你能得到怎样的一般不等式,并加以证明.

答案

1 1 1 n 猜想:第n个不等式为1+2+3+?+ n >2(n∈N*). 2 -1

1 (1)当n=1时,1> ,猜想正确. 2 (2)假设当n=k(k≥1且k∈N*)时猜想正确, k 1 1 1 即1+2+3+?+ k >2, 2 -1

那么,当n=k+1时, k 1 1 1 1 1 1 1 1 1+2+3+?+ k + k+ +?+ k+1 > + k+ 2 -1 2 2k+1 2 -1 2 2 2k+1 k k 2k k 1 1 1 1 1 +?+ k+1 > + + +?+ k+1 = 2 + k+1 = 2 + 2 = 2 -1 2 2k+1 2k+1 2 2 k+1 2 . 即当n=k+1时,不等式成立. ∴对于任意n∈N*,不等式恒成立.

阅卷报告 20——由于方法选择不当导致失误 【问题诊断】 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题 时,关键在于弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少 项,由 n=k 到 n=k+1 时,等式的两边会增加多少项,增加怎 样的项,其难点在于归纳假设后,如何推证对下一个正整数值 命题也成立., 【防范措施】 把归纳假设当做已知条件参加推理.明确对下一 个正整数值命题成立的目标,通过适当的变换达到这个目标, 这里可以使用综合法,也可以使用分析法,甚至可以再次使用 数学归纳法.

【示例】? 在数列{an}、{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an
+1

成等差数列,bn,an+1,bn+1 成等比数列(n∈N*).

(1)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式, 并证明你的结论; 1 1 1 5 (2)证明: + +?+ < . a1+b1 a2+b2 an+bn 12

实录

(1)由条件得 2bn=an+an+1,a2+1=bnbn+1. n

由此可得 a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25. 猜测 an=n(n+1),bn=(n+1)2. 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. ②假设当 n=k(k≥1 且 k∈N*)时,结论成立, 即 ak=k(k+1),bk=(k+1)2, 那么当 n=k+1 时,k+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k a
2 ak+1 +2),bk+1= b =(k+2)2, k

所以当 n=k+1 时,结论也成立. 由①②,可知 an=n(n+1),bn=(n+1)2 对一切正整数都成立.

错因 第二问由于不等式的右端为常数,结论本身是不能用数 学归纳法证明的,可考虑用放缩法证明,也可考虑加强不等式 后,用数学归纳法证明. (2)当 n=1 时 1 1 5 = < a1+b1 6 12 假设 n=k(k∈N*)时不等式成立 1 1 1 5 即 + +?+ < a1+b1 a2+b2 ak+bk 12 当 n=k+1 时 1 1 1 1 5 1 + +?+ + <12+ a1+b1 a2+b2 ak+bk ak+1+bk+1 ak+1+bk+1 到此无法用数学归纳法证明.

正解

(1)用实录(1)

1 1 5 (2)证明: = < . a1+b1 6 12 n≥2 时,由(1)知 an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n. 1 1 1 故 + +?+ a1+b1 a2+b2 an+bn 1 1 ? 1 1? 1 ? <6+2?2×3+3×4+?+n?n+1?? ? ? ? 1 1 ? 1 1? 1 1 1 1 ? =6+2?2-3+3-4+?+n-n+1? ? ? ? 1 ? 1 1 5 1 1? 1 ? =6+2?2-n+1?<6+4=12. ? ? ? 综上,原不等式成立.

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