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变化率与导数的概念


新课标人教版课件系列 选修2-2 1.1.1

函数的极限

1 观察函数y ? 的图象, 当x ? ?时的变化趋势。 x
无论x?+? 或x?-?

1 函数y ? 的值无限趋近于0. x

1 即 当x ? ?时, ? 0. x

1 y ? 考察函数 当x 无限

增大时的变化趋势. x y

O

x

当自变量x 取正值并无限增 1 大时,函数 y ? 的值无限趋近 x 于0,即|y-0|可以变得任意小.

当x 趋向于正无穷大时,函数 1 1 y ? 的极限是0,记作 lim ? 0 x ?? ? x x

x y

1 1

10 0.1

100 0.01

1000 0.001

10000 0.0001

100000 0.00001

· · · · · ·

y

O

x

1 y ? 当x 趋向于负无穷大时,函数 的极限是0,记作 x 1 lim ? 0 x ?? ? x

函数的极限
一般地,当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数

f ( x ) 无限趋近于一个常数a , 就说当x 趋向于正无穷大时,
函数 f ( x )的极限是a ,记作 lim f ( x ) ? a
x ???

也可记作:当 x ? ??时,f ( x ) ? a
当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时,如果函数 f ( x ) 无限趋近于一个常数a , 就说当x 趋向于负无穷大时, 函数 f ( x ) 的极限是a ,记作 lim f ( x ) ? a
x ???

也可记作: 当 x ? ??时,f ( x ) ? a

函数的极限
如果 lim f ( x ) ? a且 lim f ( x ) ? a 那就是说当x 趋向于 x ??? x ??? 无穷大时,函数 f ( x 的极限是 a ,记作 )

lim f ( x ) ? a
也可记作: 当 x ? ?时,f ( x ) ? a
x ??

对于常数函数

f ( x) ? C ( x ? R)

也有

lim f ( x) ? C
x ??

函数的极限
例、分别就自变量x 趋向于 ? ?和 ? ? 的情况,讨论下列函 数的变化趋势: x ? 1? y ? ? ? (1) ? 2?
? 1? y ? 解:当 x ? ?? 时, ? ? 无限趋近于0, ? 2?
? 1? lim 即 x???? ? ? 0; ? 2? x ? 1? y ? ? ? 趋近于 ? ?. 当 x ? ?? 时, ? 2?
x x

结论:当0 ? a ? 1时,都有 lim a ? 0
x x ???

求该函数的极限:
( x ? 0时) ?1    ? ( x ? 0时) (2) f ( x ) ? ?0     ?? 1   ( x ? 0时) ?

f ( x ) 的值保持为1.即 lim f ( x ) ? 1; 解:当 x ? ?? 时, x ???
f ( x ) ? ?1; 当 x ? ?? 时,f ( x ) 的值保持为-1,即 xlim ???

1.1.1变化率问题
? 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可 以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径 增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是

4 3 V (r ) ? ? r 3
3

? 如果将半径r表示为体积V的函数,则 r (V ) ?

3V 4?

我们来分析一下:
3V r (V ) ? 4?
3

问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球 的过程,可以发现,随着气球内空气容 量的增加,气球的半径增加越来越慢. 从数学角度,如何描述这种现象呢?

? 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 半径的增量 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L)
体积的增量

1? 0

? 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为 r (2) ? r (1) 显然
2 ?1 ? 0.16(dm / L)
0.62>0.16

思考?

? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒)存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 h 描述其运动状态?

请计算

o

t

0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度v :

请计算

0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度v :
h

h(t)=-4.9t2+6.5t+10

o

t

平均变化率定义:

f(x2 ) ? f ( x1 ) ?上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 ? x1

称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.

? 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)

?f 则平均变化率为 ? ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

f ( x1 ? ? x) ? f ( x1 ) ? ?x

容易看出:点B,C之间的曲线较点A,B之间的曲线更 加“陡峭”.

如何量化陡峭程度呢?

●C

yC ? yB k? xC ? xB

y
●B ●A

该比值近似量化B,C之间 这一段曲线的陡峭程度. 称该比值为曲线在B,C之 间这一段平均变化率.

o

x

思考:
? 观察函数f(x)的图象平均变化率

?y f(x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1

Y=f(x) y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A f(x1) B

表示的几何意义什么?

直线AB 的斜率

x2-x1=△x x x1 x2

O

平均变化率的定义:
一般地,函数 f ( x)在区间 [ x1 , x2 ] 上的平均变化率为

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1
说明:(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连 线的斜率. (以直代曲思想) (2)曲线陡峭程度是“视觉化”,平均变化率是“数量化 ”.

结论: 平均变化率
一般的,函数 f ( x)在区间上

[ x1 , x2 ]的平均变化率为

?y ? ?x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

其几何意义是 表示曲线上两点连线(就是曲线的割线) 的斜率。

注意:
1.式子中△x 、△ y的值可正、可负,但的△x值 不能为0, △ y的值可以为0 .

2.若函数f (x)为常函数时, △ y =0
3. 平均变化率的等价变形:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ? x) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?x

应用
例1、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算在 区间[-3,-1],[0,5]上 f(x)及g(x) 的平均变化率.

思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化 率有什么特点?

应用
例2、已知函数 f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区间上的平
均变化率:
y

(1)[1,3]; 4 (2)[1,2]; 3 (3)[1,1.1]; 2.1 (4)[1,1.001]. 2.001 (5)[0.9,1]; 1.9 变题: (6)[0.99,1];1.99 (7)[0.999,1]. 1.999

p
1 3

x

课后思考:为什么趋近于2呢?2的几何意义是什么?

例3、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2) 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( ) D A. 3 C. 3-(Δx)2 B. 3Δx-(Δx)2 D. 3-Δx

练习:
1.质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+?t)中
2

相应的平均速度为(A ) A. 6+?t C.3+?t 9 B. 6+?t+ ?t D.9+?t

例 4、 求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx

练习:
? 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求 在4s附近的平均变化率.

25 ? 3?t

1.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+?t)中 相应的平均速度为( A ) A. 6+?t C.3+?t 9 B. 6+?t+ ?t D.9+?t

小结:
? f ( x ) f(x2 ) ? f ( x1 ) ? ? 1.函数的平均变化率 x2 ? x1 ?x
? 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);

(2)计算平均变化率

?f ? ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

第三章

导数及其应用

知识回顾:
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 称为函数 f (x)从x1到 x2 平均变化率:式子 x2 ? x1 的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y= f (x2) – f (x1) ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? y f ( x1 ? ? x) ? f ( x1 ) ? ? x2 ? x1 ?x ?x

理解:
1.式子中△x 、△ y的值可正、可负,但的△x值 不能为0, △ y的值可以为0 .

2.若函数f (x)为常函数时, △ y =0
3. 平均变化率的等价变形:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ? x) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?x

二.新授课学习
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度为h (单位:m)与起跳后的时间t(单位:s )存在函数关系

h=-4.9t2+6.5t+10
求t=2时的瞬时速度?
h

计算区间? 2 ? ?t ,2? 和区间? 2,2 ? ?t ? 内平均速度v, 可以得到如下表格.
o
2

t △t>0时 2+△t

△t<0时 2+△t

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋

势.

?如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内

△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = – 0.01时, v ? ?13.051
当△t = – 0.001时, v ? ?13.0951
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,

v ? ?4.9?t ?13.1
当△t = 0.01时,

v ? ?13.149

当△t =0.001时, v ? ?13.1049
△t = 0.00001,

当△t = –0.0001时, v ? ?13.09951 当△t =0.0001时, v ? ?13.10049

v ? ?13.099951

v ? ?13.100049

……

v ? ?13.0999951 △t =0.000001, v ? ?13.1000049
……

h?2 ? ?t ? ? h?2? 为了表述方便 , 我们用 lim ? ?13.1 ?t ? 0 ?t 表示"当t ? 2, ?t 趋势近于 0时, 平均速度 v 趋近于确 定值 ? 13.1".
h?2 ? ?t ? ? h?2? 我们称确定值? 13.1是 当?t趋近于0时的极限. ?t

瞬时速度

?t ? 0

lim h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1
?t

?x?在x=x 2、函数f 处的瞬时变化率怎么表示? 0
? ? f x +?x?-f x 0 0? lim ?x ?0 ?x
我们称它为函数 y=f ?x ?在x=x 0处的导数, 记作:f ??x 0 ?或y? x=x 0
f ?x0+?x ?-f ?x0? ?y 即:f ??x 0 ?= lim = lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

?x ?x f +?x?-f 0 0? 1、函数的平均变化率怎么表示? ?x

思考:

定义:

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是

或 y? | x ? x , 即
0

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? x ?x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 )

f (x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim . ?x ? 0 ?x

1. f ?( x0 )与x0的值有关,不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ?( x0 )与?x的具体取值无关。

3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。

导数的作用:
导数可以描绘任何事物的瞬时变化率.

由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本步骤是:
(1)求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 );

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ( 2)求平均变化率 ? ; ?x ?x ?y ( 3)取极限,得导数 f ?( x0 ) ? lim . ?x ? 0 ?x 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.

一差、二比、三极限

三.典例分析

题型二:求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率, 并求出在该点处的导数. (3)质点运动规律为s=t2+3,求质点在t=3的瞬时 速度.

三.典例分析

题型二:求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
解: ? y ? f (1 ?? x) ? f (1) ? 3(1 ?? x) ? 3 ? 6? x ? 3(? x)
2 2

? y 6? x ? 3(? x) 2 ? 6 ? 3? x ? ?x ?x
?y f (1) ? lim ? lim (6 ? 3? x) ? 6 ? x ?0 ? x ? x ?0
/

三.典例分析

题型二:求函数在某处的导数
例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变 化率,并求出在该点处的导数.
解: ? y ? f (?1 ?? x) ? f (?1)

? ?(?1 ?? x)2 ? (?1 ?? x) ? [?(?1)2 ? (?1)]

? ?(? x)2 ? 3? x
? y ?(? x)2 ? 3? x ? ?? x ? 3 ? 平均变化率 ? ?x ?x ?y / ? f (?1) ? lim ? lim (?? x ? 3) ? 3 ? x ?0 ? x ? x ?0

三.典例分析

题型二:求函数在某处的导数
例1.(3)质点运动规律为s=t2+3,求质点在t=3 的瞬时速度.
解: ? s ? f (3 ??t ) ? f (3) ? (3 ??t )2 ? 3 ? (32 ? 3)

? (?t )2 ? 6?t
? s (? t )2 ? 6? t ? ?t ?t
/

?? t ? 6

?s ? f (3) ? lim ? lim(? t ? 6) ? 6 ? t ?0 ? t ? t ?0

例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.

解: (1)?y ? (1 ? ?x)2 ? 12 ? 2?x ? (?x)2 ,

1 1 ? ?x (2)?y ? (2 ? ?x ) ? ? (2 ? ) ? ?x ? , 2 ? ?x 2 2(2 ? ?x )

?y 2?x ? ( ?x )2 ? ? 2 ? ?x , ?x ?x ?y ? li m ? li m( 2 ? ?x ) ? 2,? y? | x ?1 ? 2. ? x ? 0 ?x ?x ? 0

? ?x ?x ? ?y 1 2( 2 ? ?x ) ? ? 1? , ?x ?x 2( 2 ? ?x ) ?y 1 1 3 3 ? lim ? lim[1 ? ] ? 1 ? ? ,? y? | x ? 2 ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 2(2 ? ?x ) 4 4 4

例2 : 已 知 函 数 y? 1 ? , 求x0的 值. 2

x 在x ? x0 处 附 近 有 定 义 , 且y'| x ? x0

解 :? ?y ? x0 ? ?x ? x0 ,
?y ? ? ?x ? x0 ? ?x ? x0 ( x0 ? ?x ? x0 )( x0 ? ?x ? x0 ) ? ?x ?x ( x 0 ? ? x ? x 0 ) 1 . x 0 ? ?x ? x 0

?y 1 1 ? lim ? lim ? , ?x ?0 ?x ?x ?0 x0 ? ?x ? x0 2 x0 1 1 1 由y'| x ? x0 ? , 得 ? ,? x0 ? 1. 2 2 x0 2

练习: 已知y ? x,求y?.
解:D y = x + Dx x= Dx x + Dx + x

?y ? ?x

1 x ? ?x ?

x

?y 1 1 ? y? ? lim ? lim ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x

平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要 精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一 时刻运动的快慢程度,也即需要通过瞬时速度来反 映.

练习
1 2 物体作自由落体运动,运动方程为: s = gt 其中 2 位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求:
(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度;

(2) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.

解:

__

Δs 1 v = = 2g + g(Δt) Δt 2

O s(2) s(2+?t)

?s

(1)将 Δ t=0.1 代入上式,得 : __

v = 2.05g = 20.5m / s.

s

(2)当Δt ? 0, 2 + Δt ? 2

从而平均速度 v 的极限为
?s v ? limv ? lim ? 2 g ? 20m / s. ?t ? 0 ?t ? 0 ? t
__

即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).当 时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s) 时 的瞬时速度v=20(m/s).

例3:利用导数的定义求函 数y ?| x | ( x ? 0)的导数.

解: ? y ?| x |,

?当x ? 0时, y ? x,
?y ( x ? ?x) ? x 则 ? ? 1, ?x ?x ?y ? lim ? 1; ?x ? 0 ?x

当x ? 0时, y ? ? x,
?y ?y ?( x ? ?x) ? (? x) lim ? ?1; ? ? ?1, ? ? x ?0 ?x ?x ?x ? 1 x?0 ? y? ? ? . ?? 1 x ? 0

1 练习:(1)求函数 f(x)= 在 x=1 处的导数 x (2)已知函数 f(x)=ax2+c,且 f′(1)=2,求 a.

-Δx 1 1 解:(1)∵Δy= - = x+Δx x x?x+Δx?

Δy 1 ∴ =- Δx x?x+Δx?

Δy 1 1 ∴limΔx→0 =limΔx→0[- ]=- 2 Δx x x?x+Δx? 1 ∴f′(1)=- 2=-1 1
(2)∵Δy=a(x+Δx)2+c-(ax2+c) =2axΔx+a(Δx)2

Δy ∴ =2ax+aΔx Δx
∴f′(x)=limΔx→0(2ax+aΔx)=2ax

∴f′(1)=2a=2,∴a=1

例4.若f ( x) ? ( x ?1) , 求f ?(2)和( f (2))?
2

例5.

若f′(x0)=2,则

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) -1 lim ? _____ . k ?o 2k
f(1+ Δx) - f(1) lim Δx → 0 3Δx

练习. 1.设函数 f(x)可导 ,则
=(B ) A. f ?(1) C. 不存在

1 B. 3 f ?(1)

D. 以上都不对

练习1、设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:
(1) lim
?x ? 0

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ; ( 2) lim . h? 0 ?x 2h

注意:在导数定义中,自变量的增量Δx的形式是多 样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之 相对应的形式. 练习2:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值
?x f ( x0 ? ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? m?x ) ? f ( x0 ) t (1) lim ; (2) lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

练习3:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和
f ?(a )表 示l i m af ( x ) ? xf (a ) . x ?a x?a

例6、证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数; (2)可导的奇函数的导函数为偶函数. 证:(1)设偶函数f(x),则有f(-x)=f(x).
f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? 函 数y ? f ( x )可 导,? lim ? f ?( x ). ?x ? 0 ?x f ( ? x ? ?x ) ? f ( ? x ) f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? f ?( ? x ) ? lim ? lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? ? lim ? ? f ?( x ). ?x ? 0 ? ?x

? f ?( x )是奇函数,从而命题成 立.

(2)略.

例7 将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产 品 , 需要 对原 油进 行冷却 和加热 .如果在 xh 时, 原油 的温度 单位 :0 C 为 f ? x ? ? x 2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8).计算第2h和第6h时, 原油温度 的瞬时变化率, 并说明它们的意义.

?

?

解 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率 就是f ' ?2?
?y f ?2 ? ?x ? ? f ?2 ? ? 和 f ?6?. 根据导数的定义 , ?x ?x ?2 ? ?x ?2 ? 7?2 ? ?x ? ? 15 ? 22 ? 7 ? 2 ? 15 ? ?x
'

?

?

4 ?x ? ?x 2 ? 7?x ? ? ?x ? 3, ?x ?y ' 所以, f ?2 ? ? lim ? lim ??x ? 3? ? ?3, ?x ?0 ?x ?x ?0

同理可得 f ?6? ? 5.
'

请同学们自己完成具体 运算过程 .
在第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为 ? 3与5. 它说明: 在第2h附近, 原油温度大约以30 C / h的速率下降; 在6h附近, 原油温度大约以50 C / h的速率上升.

一般地, f ? x0 ? 反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.
'

练习:
计算第3(h)和第5(h)时,原油温度的瞬时 变化率,并说明它们的意义。

解:f ??3?=- 1, f ?(5)=3
这说明: 在第3小时附近,原油温度大约以1的速率下降, 在第5小时附近,原油温度大约以3的速率上升。

小结:
1求物体运动的瞬时速度:

(1)求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t)

(2)求平均速度 ?s s(t ? ?t ) ? s(t ) ? . (3)求极限 lim ?t lim ?t
?x ?0 ?x ?0

?s v? ; ?t

2由导数的定义可得求导数的一般步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)

(2) 求平均变化率 ?y ' (3)求极限 f ( x0 ) ? lim
?x ? 0

?y ?x

?x


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3.1 变化率与导数(教学设计) (1) 3.1.1 变化率问题 教学目标: 知识与技能目标: 了解导数概念的实际背景,了解变化率和平均变化率的概念。 过程与方法目标: ...


高中数学选修2-2第2章变化率与导数全部导学案

f ?x ? 在 x0 点的瞬时变化率。在数学中,称 为函数 y ? f ?x ? 在 x0 点 ,通常用符号 表示。 学习 的 过程 精讲互动: 与方 1.导数的概念 法...


变化率与导数、导数的计算

变化率与导数、导数的计算_数学_高中教育_教育专区。变化率与导数、导数的计算 高二数学迎期中专题复习 变化率与导数、导数的计算 1.导数的概念 (1)函数 y=f(...


3.1.1、3.1.2平均变化率、导数的概念学案.

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