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湖北省襄阳市宜城三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)


湖北省襄阳市宜城三中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)在直角坐标系中,直线 x+ y﹣3=0 的倾斜角是() A. B. C. D.

2. (5 分)从装有 2 个红球和 2 个黑球的

口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是 () A.“至少有一个红球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“都是黑球” C. “至少有一个黑球”与“至少有 1 个红球” D.“恰有 1 个黑球”与“恰有 2 个黑球” 3. (5 分)在下列各数中,最大的数是() A.11111(2) B.1000(4) C.210(6) D.85(9)

4. (5 分)某班共有 52 人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样 本,已知 3 号、29 号、42 号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学号是() A.10 B.11 C.12 D.16 5. (5 分)点 M(2,﹣3,1)关于坐标原点对称的点是() A.(﹣2,3,﹣1) B.(﹣2,﹣3,﹣1) C. (﹣2,3,1)

(2,﹣3,﹣1) D.

6. (5 分) (理科)已知两点 A(3,2)和 B(﹣1,4)到直线 mx+y+3=0 距离相等,则 m 值 为() A. B.
2 2

C.
2 2

D.

7. (5 分)已知⊙C1:x +y +2x+8y﹣8=0,⊙C2:x +y ﹣4x﹣4y﹣2=0,则的位置关系为() A.相切 B.相离 C.相交 D.内含

8. (5 分)若点(x,y)在不等式组

表示的平面区域内运动,则 t=x﹣y 的取值

范围是() A.[﹣2,﹣1]

B.[﹣2,1]

C.[﹣1,2]

D.[1,2]

9. (5 分)若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,则点 P(m,n)在直线 x+y=4 上的 概率是() A. B.
2 2

C.

D.

10. (5 分)过点 A(11,2)作圆 x +y +2x﹣4y﹣164=0 的弦,其中弦长为整数的共有() A.16 条 B.17 条 C.32 条 D.34 条

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在答题卷相应位置上. ) 11. (5 分)已知 x 与 y 之间的一组数据为:则 y 与 x 的回归直线方程 y=bx+a 必过定点. x y 0 1 1 3 2 5﹣a 3 7+a

12. (5 分)空间直角坐标系中,点 A(﹣3,4,0)和点 B(2,﹣1,6)的距离是. 13. (5 分)对任意非零实数 a、b,若 a?b 的运算原理如图所示,则(㏒ 28)?( ) =.
﹣2

14. (5 分)两平行线 x+3y﹣4=0 与 2x+6y﹣13=0 间的距离是. 15. (5 分)由动点 P 向圆 x +y =1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60°,则 动点 P 的轨迹方程为.
2 2

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分)如图是总体的一个样本频率分布直方图,且在[15,18)内频数为 8.求: (1)求样本容量; (2)若在[12,15)内的小矩形面积为 0.06,求在[12,15)内的频数; (3)求样本在[18,33)内的频率.

17. (12 分)根据下列条件,写出直线的方程,并把它化成一般式: (1)经过点 A(8,﹣2) ,斜率是﹣ ; (2)经过点 P1(3,﹣2) ,P2(5,﹣4) ; (3)在 x 轴,y 轴上的截距分别是 ,﹣3.

18. (12 分)根据下列条件,求圆的标准方程: (1)圆心为 D(8,﹣3) ,且过点 E(5,1) ; (2)过 A(5,1) ,B(7,﹣3) ,C(2,﹣8) . 19. (12 分)已知两条直线 l1(3+m)x+4y=5﹣3m,l2 2x+(5+m)y=8.当 m 分别为何值时, l1 与 l2: (1)相交?(2)平行?(3)垂直? 20. (13 分) 对甲、 乙两名自行车赛手在相同条件下进行了 6 次测试, 测得他们的最大速度 (m/s) 的数据如表: 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 (1)画出茎叶图,并分别求出甲乙两名自行车赛手最大速度的平均数; (2)分别求出甲乙两名自行车赛手的方差,并判断选谁参加比赛. (注:方差 s = [(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +…+(xn﹣ ) ],其中 为 x1,x2,…,xn 的平均 数) 21. (14 分)已知方程 x +y ﹣2x﹣4y+m=0. (1)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x+2y﹣4=0 相交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原点) , 求 m; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程.
2 2 2 2 2 2

湖北省襄阳市宜城三中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)在直角坐标系中,直线 x+ y﹣3=0 的倾斜角是() A. B. C. D.

考点: 直线的倾斜角. 专题: 计算题. 分析: 先求出直线的斜率 tanθ 的值,根据倾斜角 θ 的范围求出 θ 的大小. 解答: 解:直线 x+ y﹣3﹣0 的斜率等于﹣ , ,

设此直线的倾斜角为 θ,则 tanθ=﹣ 又 0≤θ<π,∴θ= ,

故选 C. 点评: 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系,以及倾斜角的取值范围,已知三角函数值求 角的大小,已知三角函数值求角是解题的难点. 2. (5 分)从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是 () A.“至少有一个红球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“都是黑球” C. “至少有一个黑球”与“至少有 1 个红球” D.“恰有 1 个黑球”与“恰有 2 个黑球” 考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 概率与统计. 分析: 列举每个事件所包含的基本事件,结合互斥事件和对立事件的定义,依次验证即可 解答: 解:对于 A:事件:“至少有一个红球”与事件:“都是黑球”,这两个事件是对立事件, ∴A 不正确 对于 B:事件:“至少有一个黑球”与事件:“都是黑球”可以同时发生,如:一个红球一个黑球, ∴B 不正确 对于 C:事件:“至少有一个黑球”与事件:“至少有 1 个红球”可以同时发生,如:一个红球一 个黑球,∴C 不正确 对于 D:事件:“恰有一个黑球”与“恰有 2 个黑球”不能同时发生,∴这两个事件是互斥事件, 又由从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,

得到所有事件为“恰有 1 个黑球”与“恰有 2 个黑球”以及“恰有 2 个红球”三种情况,故这两个事 件是不是对立事件, ∴D 正确 故选 D 点评: 本题考查互斥事件与对立事件.首先要求理解互斥事件和对立事件的定义,理解互 斥事件与对立事件的联系与区别. 同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件. 属简单题 3. (5 分)在下列各数中,最大的数是() A.11111(2) 考点: 专题: 分析: 解答: B.1000(4) C.210(6) D.85(9)

进位制. 计算题. 欲找四个中最大的数,先将它们分别化成十进制数,后再比较它们的大小即可. 解:
4 3 2 1 0

11111(2)=2 +2 +2 +2 +2 =31; 3 1000(4)=1×4 =64; 2 1 210(6)=2×6 +1×6 =78; 85(9)=8×9+5=77(10) ; 故选:C. 点评: 本题考查的知识点是算法的概念,由 n 进制转化为十进制的方法,我们只要依次累 加各位数字上的数×该数位的权重,即可得到结果. 4. (5 分)某班共有 52 人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样 本,已知 3 号、29 号、42 号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学号是() A.10 B.11 C.12 D.16 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样的方法和特点,样本的编号成等差数列,由条件可得此等差数列的公 差为 13,从而求得另一个同学的编号 解答: 解:根据系统抽样的方法和特点,样本的编号成等差数列, 一个容量为 4 的样本,已知 3 号、29 号、42 号同学在样本中,故此等差数列的公差为 13, 故还有一个同学的学号是 16, 故选 D. 点评: 本题主要考查系统抽样的定义和方法,注意样本的编号成等差数列,属于基础题. 5. (5 分)点 M(2,﹣3,1)关于坐标原点对称的点是() A.(﹣2,3,﹣1) B.(﹣2,﹣3,﹣1) C. (﹣2,3,1)

(2,﹣3,﹣1) D.

考点: 空间中的点的坐标. 专题: 计算题. 分析: 根据空间直角坐标系中两个关于原点的对称点的坐标特点:“关于原点对称的点,横 坐标、纵坐标、竖坐标都互为相反数”进行解答.

解答: 解:由空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点: 横坐标、纵坐标、竖坐标都互为相反数, 可得点 P(2,﹣3,1)关于坐标原点的对称点的坐标为(﹣2,3,﹣1) , 故选 A. 点评: 解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律: (1)关于 x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标、竖坐标互为相反数; (2)关于 y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标、竖坐标互为相反数; (3)关于原点对称的点,横坐标、纵坐标、竖坐标都互为相反数. 6. (5 分) (理科)已知两点 A(3,2)和 B(﹣1,4)到直线 mx+y+3=0 距离相等,则 m 值 为() A. B. C. D.

考点: 点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 由两点 A (3, 2) 和B (﹣1, 4) 到直线 mx+y+3=0 距离相等, 知 由此能求出 m. 解答: 解:∵两点 A(3,2)和 B(﹣1,4)到直线 mx+y+3=0 距离相等, ∴ , ,

解得 m= ,或 m=﹣6. 故选 B. 点评: 本题考查点到直线的距离公式的求法,解题时要认真审题,仔细解答. 7. (5 分)已知⊙C1:x +y +2x+8y﹣8=0,⊙C2:x +y ﹣4x﹣4y﹣2=0,则的位置关系为() A.相切 B.相离 C.相交 D.内含 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题. 分析: 求出两个圆的圆心和半径,计算圆心距,比较圆心距和半径和与差的关系,判定选 项即可. 2 2 解答: 解:⊙C1: (x+1) +(y+4) =25 2 2 ⊙C2: (x+2) +(y﹣2) =10 两圆圆心距为 d= r1=5 r2= r1﹣r2<d<r1+r2 所以两圆相交 故选 C 点评: 本题考查圆与圆的位置关系及其判定,考查计算能力,逻辑推理能力,是基础题.
2 2 2 2

8. (5 分)若点(x,y)在不等式组

表示的平面区域内运动,则 t=x﹣y 的取值

范围是() A.[﹣2,﹣1]

B.[﹣2,1]

C.[﹣1,2]

D.[1,2]

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,t=x﹣y 表示直线在 y 轴上的 截距的相反数,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最值即可.

解答: 解:先根据约束条件

画出可行域,



得 B(2,0) ,



,得 A(0,1) ,

当直线 t=x﹣y 过点 A(0,1)时,t 最小,t 最小是﹣1, 当直线 t=x﹣y 过点 B(2,0)时,t 最大,t 最大是 2, 则 t=x﹣y 的取值范围是[﹣1,2] 故选 C.

点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 9. (5 分)若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,则点 P(m,n)在直线 x+y=4 上的 概率是() A. B. C. D.

考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题. 分析: 利用分布计数原理求出所有的基本事件个数,在求出点落在直线 x+y=4 上包含的基 本事件个数,利用古典概型的概率个数求出. 解答: 解:连续抛掷两次骰子出现的结果共有 6×6=36,其中每个结果出现的机会都是等可 能的, 点 P(m,n)在直线 x+y=4 上包含的结果有(1,3) , (2,2) , (3,1)共三个, 所以点 P(m,n)在直线 x+y=4 上的概率是 ,

故选 D. 点评: 本题考查先判断出各个结果是等可能事件,再利用古典概型的概率公式求概率. 10. (5 分)过点 A(11,2)作圆 x +y +2x﹣4y﹣164=0 的弦,其中弦长为整数的共有() A.16 条 B.17 条 C.32 条 D.34 条 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 化简圆的方程为标准方程,求出弦长的最小值和最大值,取其整数个数. 2 2 2 解答: 解:圆的标准方程是: (x+1) +(y﹣2) =13 ,圆心(﹣1,2) ,半径 r=13 过点 A (11,2)的最短的弦长为 10,最长的弦长为 26, (分别只有一条)还有长度为 11,12,…, 25 的各 2 条,所以共有弦长为整数的 2+2×15=32 条. 故选 C. 点评: 本题实际上是求弦长问题,容易出错的地方是:除最小最大弦长外,各有 2 条. 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填在答题卷相应位置上. ) 11. (5 分) 已知 x 与 y 之间的一组数据为: 则 y 与 x 的回归直线方程 y=bx+a 必过定点 .
2 2

x y

0 1

1 3

2 5﹣a

3 7+a

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题. 分析: 根据回归直线方程一定过样本中心点,先求出这组数据的样本中心点,即横标和纵 标的平均数分别作横标和纵标的一个点,得到结果. 解答: 解:∵回归直线方程必过样本中心点, ∵ , ∴样本中心点是( ,4) ∴y 与 x 的回归直线方程 y=bx+a 必过定点( ,4)

故答案为: ( ,4) 点评: 本题考查线性回归方程,本题是一个基础题,而求线性回归方程的问题,是运算量 比较大的问题,解题时注意平均数的运算不要出错,注意系数的求法,运算时要细心,不然会 前功尽弃. 12. (5 分)空间直角坐标系中,点 A(﹣3,4,0)和点 B(2,﹣1,6)的距离是 考点: 专题: 分析: 解答: 空间两点间的距离公式. 计算题. 本题已知空间中两点的坐标,直接代入公式求两点之间的距离即可 解:由公式点 A(﹣3,4,0)和点 B(2,﹣1,6)的距离是 = 故两点间的距离是 故答案为: 点评: 本题考查两点间的距离公式,是公式的直接运用题,属于基本公式运用题,基础题 型. 13. (5 分)对任意非零实数 a、b,若 a?b 的运算原理如图所示,则(㏒ 28)?( ) = .
﹣2



考点: 程序框图. 专题: 计算题;新定义. 分析: 求出两个式子的值,利用程序框图对运算的定义列出运算式求出值即可. 解答: 解:∵log28=3, ( )﹣2=4,3<4 由框图知 log28⊕( )﹣2= 故答案为: . 点评: 本题考查理解由程序框图给的运算的新定义、利用新定义求代数式的值. =

14. (5 分)两平行线 x+3y﹣4=0 与 2x+6y﹣13=0 间的距离是



考点: 两条平行直线间的距离.

专题: 直线与圆. 分析: 直接利用两条平行线的距离公式,算出两条直线的距离. 解答: 解:直接利用公式,得直线 x+3y﹣4=0 与 x+3y﹣ =0 的距离是

d= 故答案为:

= .



点评: 本题给出坐标系内的两条平行线,求它们之间的距离,着重考查了点到直线的距离 公式、平行线的距离公式及其应用的知识,属于基础题. 15. (5 分)由动点 P 向圆 x +y =1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60°,则 2 2 动点 P 的轨迹方程为 x +y =4. 考点: 轨迹方程;圆的切线的性质定理的证明. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先设点 P 的坐标为(x,y) ,则可得|PO|,根据∠APB=60°可得∠AP0=30°,判断出 |PO|=2|OB|,把|PO|代入整理后即可得到答案. 解答: 解:设点 P 的坐标为(x,y) ,则|PO|= ∵∠APB=60° ∴∠AP0=30° ∴|PO|=2|OB|=2 ∴
2 2 2 2

=2

即 x +y =4 2 2 故答案为:x +y =4 点评: 本题主要考查了求轨迹方程的问题.属基础题. 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分)如图是总体的一个样本频率分布直方图,且在[15,18)内频数为 8.求: (1)求样本容量; (2)若在[12,15)内的小矩形面积为 0.06,求在[12,15)内的频数; (3)求样本在[18,33)内的频率.

考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题. 分析: (1)根据在[15,18)内频数为 8.做出在这一个范围中频率是小正方形的面积是 ,知道频率和频数做出样本容量. (2)在[12,15)内的小矩形面积为 0.06,即这组数据的频率是 0.06,用频率乘以样本容量作 出在[12,15)内的频数,得到结果. (3)根据在[15,18)内频数为 8,在[12,15)内的频数是 3,而样本容量是 50,剩下的部分 是要求的频数,只要样本容量减去前两组的频数,得到样本在[18,33)内的频数. 解答: 解: (1)∵在[15,18)内频数为 8. 而在这一个范围中频率是 ∴ ∴n=50; (2)∵在[12,15)内的小矩形面积为 0.06,即这组数据的频率是 0.06, ∴在[12,15)内的频数是 0.06×50=3; (3)∵在[15,18)内频数为 8,在[12,15)内的频数是 3, 样本容量是 50, ∴样本在[18,33)内的频数是 50﹣3﹣8=39 ∴样本在[18,33)内的频率是 =0.78 =

点评: 本题考查频率,频数和样本容量之间的关系,频数、频率和样本容量三者之间的关 系是知二求一,这种问题会出现在选择和填空中,有的省份也会以大题的形式出现,把它融于 统计问题中. 17. (12 分)根据下列条件,写出直线的方程,并把它化成一般式: (1)经过点 A(8,﹣2) ,斜率是﹣ ; (2)经过点 P1(3,﹣2) ,P2(5,﹣4) ; (3)在 x 轴,y 轴上的截距分别是 ,﹣3.

考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由点斜式求得直线方程,并化为一般式. (2)由两点式求得直线方程,并化为一般式. (3)由截距式求得直线方程,并化为一般式. 解答: 解: (1)经过点 A(8,﹣2) ,斜率是﹣ 的直线方程为: y﹣(﹣2)=﹣ (x﹣8) , 即 x+2y﹣4=0; (4 分)

(2)经过点 P1(3,﹣2) ,P2(5,﹣4)的直线方程为: , 即 x+y﹣1=0, (8 分) (3)在 x 轴,y 轴上的截距分别是 ,﹣3 的直线方程为: ,

即 2x﹣y﹣3=0 (12 分) 点评: 本题考查直线方程的点斜式、斜截式、截距式、两点式,直线方程的几种形式间的 转化. 18. (12 分)根据下列条件,求圆的标准方程: (1)圆心为 D(8,﹣3) ,且过点 E(5,1) ; (2)过 A(5,1) ,B(7,﹣3) ,C(2,﹣8) . 考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)由题意求得圆心和半径,从而求得圆的标准方程. (2)设所求的圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,再把 A(5,1) ,B(7,﹣3) ,C(2,﹣8) 三点的坐标代入,求得 D、E、F 的值,可得圆的一般方程. 解答: 解: (1)由题意可得圆心为(8,﹣3) ,半径为
2 2 2 2

=5,

故圆的方程为 (x﹣8) +(y+3) =25. 2 2 (2)设所求的圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,再根据圆过 A(5,1) ,B(7,﹣3) ,C(2, ﹣8)三点,

可得
2

,求得 D=﹣4,E=6,﹣12,
2

故所求的圆的方程为 x +y ﹣4x+6y﹣10=0. 点评: 本题主要考查圆的标准方程和圆的一般方程,属于基础题. 19. (12 分)已知两条直线 l1(3+m)x+4y=5﹣3m,l2 2x+(5+m)y=8.当 m 分别为何值时, l1 与 l2: (1)相交?(2)平行?(3)垂直? 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)利用直线不平行,直线即可相交,推出 m 的范围. (2)通过直线的斜率相等,截距不相等,判断直线平行,求出 m 的值. (3)当两条直线的斜率乘积是﹣1 时,两条直线垂直,求出 1 的值. 解答: 解:当 m=﹣5 时,显然 l1 与 l2 相交;当 m≠﹣5 时,易得两直线 l1 和 l2 的斜率分别 为

k1=﹣

,k2=﹣

,它们在 y 轴上的截距分别为 b1= ≠﹣ ,m≠﹣7 且 m≠﹣1.

,b2=



(1)由 k1≠k2,得﹣

∴当 m≠﹣7 且 m≠﹣1 时,l1 与 l2 相交.

(2)由

,得

解得 m=﹣7.∴当 m=﹣7 时,l1 与 l2 平行.

(3)由 k1k2=﹣1,得﹣

?(﹣

)=﹣1,解得 m=﹣

.∴当 m=﹣

时,l1 与 l2 垂直.

点评: 此题为中档题,要求学生会利用代数的方法研究图象的位置关系,做此题时直线的 斜率是否存在,分情况讨论得到所求的范围. 20. (13 分) 对甲、 乙两名自行车赛手在相同条件下进行了 6 次测试, 测得他们的最大速度 (m/s) 的数据如表: 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 (1)画出茎叶图,并分别求出甲乙两名自行车赛手最大速度的平均数; (2)分别求出甲乙两名自行车赛手的方差,并判断选谁参加比赛. (注:方差 s = [(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +…+(xn﹣ ) ],其中 为 x1,x2,…,xn 的平均 数) 考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据表中数据画出茎叶图,并计算甲、乙的平均数; (2)根据甲、乙的平均数与方差选择哪位选手参加比赛.
2 2 2 2

解答: 解: (1)根据表中数据画出茎叶图,如图所示; 甲的平均数是 乙的平均数是 (2)甲的方差是 = (27+30+31+35+37+38)=33, = (28+29+33+34+36+38)=33; (6 分)

(2 分)

= [(27﹣33) +(30﹣33) +(31﹣33) +(35﹣33) +(37﹣33) +(38﹣33) ]= 乙的方差是 = [(28﹣33) +(29﹣33) +(33﹣33) +(34﹣33) +(36﹣33) +(38﹣33) ]= (11 分)
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2







=







∴应选乙参加比赛. (13 分) 点评: 本题考查了根据数据画茎叶图和计算平均数与方差的问题,是基础题. 21. (14 分)已知方程 x +y ﹣2x﹣4y+m=0. (1)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x+2y﹣4=0 相交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原点) , 求 m; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程. 考点: 直线和圆的方程的应用;二元二次方程表示圆的条件. 专题: 直线与圆. 分析: (1)圆的方程化为标准方程,利用半径大于 0,可得 m 的取值范围; (2)直线方程与圆方程联立,利用韦达定理及 OM⊥ON,建立方程,可求 m 的值; (3)写出以 MN 为直径的圆的方程,代入条件可得结论. 解答: 解: (1) (x﹣1) +(y﹣2) =5﹣m,∴方程表示圆时,m<5; (2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 x1=4﹣2y1,x2=4﹣2y2,得 x1x2=16﹣8(y1+y2)+4y1y2, ∵OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0,∴16﹣8(y1+y2)+5y1y2=0①, 由 ,得 5y ﹣16y+m+8=0,
2 2 2 2 2

∴ 代入①得

, .



(3)以 MN 为直径的圆的方程为(x﹣x1) (x﹣x2)+(y﹣y1) (y﹣y2)=0, 2 2 即 x +y ﹣(x1+x2)x﹣(y1+y2)y=0, ∴所求圆的方程为 .

点评: 本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.


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