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2015秋高中数学 2.1.2指数函数及其性质(第2课时)学案设计 新人教A版必修1


第二章

基本初等函数(Ⅰ) 指数函数

2.1 2.1.2

指数函数及其性质(第二课时)

学习目标 ①进一步理解指数函数的图象和性质; ②熟练应用指数函数的图象和性质解决一些综合问题; ③通过例题和练习的讲解与演练,培养学生分析问题和解决问题的能力. 合作学习 一、复习回顾,承上启下 (复习指数

函数的概念和图象.) 1.指数函数的定义 一般地,函数 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 x 2.指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)的图象与性质:

.

a>1

0<a<1

图 象

(1)定义域: (2)值域: 性 (3)过定点: 质 (4) 单 调 间:



(4) 单 调 间:



问题:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性等性质,并完善上表. 二、典例分析,性质应用 【例 1】求下列函数的定义域、值域. (1)y=0.; (2)y=.

【例 2】比较下列各题中两值的大小. 2.5 3 (1)1.7 与 1.7 ; -0.1 -0.2 (2)0.8 与 0.8 ; 0.8 1.8 (3)() 与() ; (4)(与(;

(5)(0.3) 与(0.2) 0.3 3.1 (6)1.7 与 0.9 ; (7)(a>0,且 a≠1).

-0.3

-0.3

;

总结点评: 1.当底数相同且明确底数 a 与 1 的大小关系时: . 2.当底数相同但不明确底数 a 与 1 的大小关系时: . 3.当底数不同不能直接比较时: . 【例 3】 截止到 1999 年底,我们人口约 13 亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%, 那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?

总结点评: x 类似上面例题,设原有量为 N,平均增长率为 p,则经过时间 x 后总量 y=N(1+p) (x∈N). x 形如 y=ka (k∈R,且 k≠0;a>0,且 a≠1)的函数称为指数型函数. x x x x 【例 4】如图是指数函数①y=a ,(x∈N)②y=b ,③y=c ,④y=d 的图象,判断 a,b,c,d 与 1 的大小关系.

总结点评: 在同一坐标系中,不同底的指数函数在 y 轴右侧的图象越向上底越 .也可以用 一个特殊值法来解决,即画一条直线 ,与每个图象交点的纵坐标即为相应指数函数 的底数. 三、变式演练,深化提高 x-2 1.函数 y=a +1(a>0,且 a≠1)的图象必经过点 . x-1 2.解不等式:() >1.

3.方程 2 +x =3 的实数解的个数为 . x x 4.已知 y=4 -3·2 +3,当其值域为[1,7]时,x 的取值范围是 x-2 x 5.已知≤() ,求函数 y=() 的值域.

-x

2

.

6.设 0≤x≤2,求函数 y=-3·2 +5 的最大值和最小值.

x

四、反思小结,观点提炼 x 1.本节课研究了指数函数的性质及其应用,关键是要记住 a>1 或 0<a<1 时 y=a 的图象, 在此基础上研究其性质,特别是指数函数单调性的应用. x 2.本节课还涉及指数型函数,即形如 y=ka (k∈R,且 k≠0;a>0,且 a≠1)的应用. 五、作业精选,巩固提高 1.课本 P59 习题 2.1A 组第 7,8 题;P60 习题 2.1B 组第 1,4 题. 2.已知 a>b,ab≠0,下列不等式(1)a >b ;(2)2 >2 ;(3);(4);(5)() <() 中恒成立的有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2x x 3.若函数 y=a +2a -1(a>0,且 a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.
2 2

a

b

a

b

)

4.已知函数 f(x)=(a>0,且 a≠1). (1)求 f(x)的定义域和值域; (2)讨论 f(x)的奇偶性; (3)讨论 f(x)的单调性.

参考答案 一、复习回顾,承上启下 y=ax(a>0,a≠1) R (1)R (2)(0,+∞) (3)(0,1) (4)增 R 减 R 二、典例分析,性质应用 【例 1】解:(1)由 x-1≠0 得 x≠1, 所以函数定义域为{x|x≠1}. 由≠0 得 y≠1, 所以函数值域为{y|y>0,且 y≠1}. (2)由 5x-1≥0 得 x≥, 所以函数定义域为{x|x≥}. 由≥0 得 y≥1, 所以函数值域为{y|y≥1}. x 【例 2】解:(1)y=1.7 为增函数,且 2.5<3,

所以 1.7 <1.7 ; x (2)y=0.8 为减函数,且-0.1>-0.2, -0.1 -0.2 所以 0.8 <0.8 ; 0.8 1.6 1.8 (3)() =() >() ; (4)(=(<(; x x (5) 在 同 一 坐 标 系 中 画 出 函 数 y=0.3 与 函 数 y=0.2 的 图 象 , 知 x 取 相 同 值 -0.3 -0.3 -0.3 时,0.3 <0.2 ; 0.3 0 0 3.1 (6)1.7 >1.7 =1=0.9 >0.9 ; x x (7)若 a>1 时,y=a 为增函数,且,所以;若 0<a<1 时,y=a 为减函数,且,所以. 总结点评:1.直接用函数的单调性来解 2.要分情况讨论 3.可借助中间数,间接比较上述两个数的大小 【例 3】解:设今后人口年平均增长率为 1%,经过 x 年后,我国人口数为 y 亿,则 y=13(1+1%)x, 20 当 x=20 时,y=13(1+1%) ≈16(亿). 答:经过 20 年后,我国人口数最多为 16 亿. 【例 4】 解:在图象上做一条直线 x=1,其与四个图象分别交于 A,B,C,D,交点的纵坐标分 别为 a,b,c,d,如图显然可得 c>d>a>b. 总结点评:大 x=1 三、变式演练,深化提高 1.(2,2) 2.(-∞,1) 3.2 4.(-∞,0]∪[1,2] 5.[,16] 6.ymin=;ymax=. 五、作业精选,巩固提高 2.C 3.a=3 或 a= 4.解:(1)定义域为 R,值域为(-1,1); (2)奇函数; (3)a>1 时,增区间为 R,无减区间;0<a<1 时,减区间为 R,无增区间.

2.5

3


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