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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(50)


加试模拟训练题(50) (附详细答案) 1.如图,O、I分别为?ABC的外心和内心,AD是BC边上的高,I在线段OD上,求证:?ABC 的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径; (注:?ABC的BC边上的旁切圆是与边AB、AC的延长线以及边BC都相切的圆) 2. 设 m 和 n 是正整数,a1,a2,…,am 是集合{1,2,…,n}中的不同元素,每当 ai+aj≤n,1≤i≤j≤m,就有某个 k,1≤k≤m,使得 ai+aj=ak,求证: 3. 在木板上写有若干个 0,1 和 2.现在可以擦掉两个不同的数字,并用另一个数字来代替 (代替 0 和 1 的是 2,代替 1 和 2 的是 0,代替 0 和 2 的是 1).证明:如果由于这种做法, 最后在木板上只留下一个数字,那么与它们操作的次序无关. 4. 求满足等式 2x y +y =26x +1201 的一切正整数数组(x,y). 2 2 2 2 加试模拟训练题(50) sin A sin sin C? a, CA ? b, A B C 证明:如图,记 AB ? cB , BC ? R? ? 4 R ? sin 2 sin sin ? R B ?? CABC的外接圆 B C O于K点, 2 2 2 设AI的延长线交 sin 2 sin sin 2 2 2 则OK是圆O的半径,记为R, ?即?ABC的外接圆半径等于BC边上旁切圆的半径 ? OK ? BC, ? OK // AD AI AD c ? sin B ? ? ? ? 2 sin B sin C IK OK R 1 又 ? ?ABI ? ?IBC ? ?B 2 1 ?CBK ? ?CAK ? ?A 2 ?AKB ? ?ACB ? ?C 1 ?BAK ? ?A 2 1 B AB ? BI ? sin AI S ?ABI 2 ? ? ? 2 1 A ?B IK S ?KBI BK ? BI ? sin 2 2 B B B C sin sin 2 sin sin AB sin C 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? C A C A BK cos sin cos sin 2 2 2 2 B C 2 sin sin 2 2 由(1)、 (2)可得: 2 sin B sin C ? A sin 2 A B C ? 4 sin cos cos ? 1 2 2 2 又设?ABC的边BC上的旁切圆半径为ra , 则: 1 1 bc sin A bc sin A ? S ?ABC ? ra (b ? c ? a ) ? ra ? 2 2 b?c?a sin A sin B sin C sin A sin B sin C ? ra ? 2 R ? ? 2R ? B ? C B ?C B?C B?C sin B ? sin C ? sin A 2 sin cos ? 2 sin cos 2 2 2 2 1.如图,O、I分别为?ABC的外心和内心,AD是BC边上的高,I在线段OD上,求证:?ABC 的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径; (注:?ABC的BC边上的旁切圆是与边AB、AC的延长线以及边BC都相切的圆) 2. 设 m 和 n 是正整数,a1,a2,…,am 是集合{1,2,…,n}中的不同元素,每当 ai+aj≤n,1≤i≤j≤m,就有某个 k,1≤k≤m,使得 ai+aj=ak,求证: 【题说】第三十五届(1994 年)国际数学奥林匹克题 1.本题由法国提供. 【证】不妨设 a1>a2>…>am, 若存在某个 i,l≤i≤m

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