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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用课时作业12 理 新人教A版


课时作业 12

函数模型及其应用

一、选择题 1.下表显示出函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是 ( )

x y
A.一次函数模型 C.指数函数模型

4 15

5 17

6 19

7

21

8 23

9 25

10 27

B.二次函数模型 D.对数函数模型

解析:由表中数据知 x,y 满足关系 y=13+2(x-3).故为一次函数模型. 答案:A 2.某文具店出售羽毛球拍和羽毛球,球拍每副定价 20 元,羽毛球每个定价 5 元,该店 制定了两种优惠方法:①买一副球拍赠送一个羽毛球;②按总价的 92%付款.现某人计划购 买 4 副球拍和 30 个羽毛球,两种方法中,更省钱的一种是( A.不能确定 C.②省钱 )

B.①②同样省钱 D.①省钱

解析:方法①用款为 4×20+26×5=80+130=210(元) 方法②用款为(4×20+30×5)×92%=211.6(元) 因为 210<211.6,故方法①省钱. 答案:D 3.一个人以 6 m/s 的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车 25 m 时,交通灯由红 变绿,汽车以 1 m/s 的加速度匀加速开走,那么( A.人可在 7 s 内追上汽车 B.人可在 10 s 内追上汽车 C.人追不上汽车,其间距最少为 5 m D.人追不上汽车,其间距最少为 7 m 1 2 解析:设汽车经过 t 秒行驶的路程为 s 米,则 s= t ,车与人的间距 d=(s+25)-6t 2 1 2 1 2 = t -6t+25= (t-6) +7,当 t=6 时,d 取得最小值为 7. 2 2 答案:D 4.(2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 p,第二年的增
2

)

1

长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( A.

)

p+q
2

B.

?p+1??q+1?-1 2

C. pq

D. ?p+1??q+1?-1

解析:设第一年年初生产总值为 1,则这两年的生产总值为(p+1)(q+1).设这两年生 产总值的年平均增长率为 x,则(1+x) =(p+1)(q+1),解得 x= ?p+1??q+1?-1, 故选 D. 答案:D 5. 如图, 在四边形 ABCD 中, 动点 P 从点 A 开始沿 A→B→C→D 的路径匀速前进到 D 为止. 在 这个过程中,△APD 的面积 S 随时间 t 的变化关系用图象表示正确的是( )
2

解析:根据动点的移动知,P 点在 AB 上移动时,△APD 的面积 S 是在增加,排除选项 C,

P 点在 BC 上移动时, △APD 的面积 S 是不变化的, 排除选项 A, 因为 CD>AB, 点 P 是匀速前进,
所以在 CD 上移动的时间比在 AB 上移动所用的时间多,所以排除选项 D,选 B. 答案:B 6.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现 象称为衰变. 假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中, 其含量 M(单位: 太贝克)与时间 t(单 - 30 位:年)满足函数关系:M(t)=M02 ,其中 M0 为 t=0 时铯 137 的含量.已知 t=30 时, 铯 137 含量的变化率 是-10ln2 ... (太贝克/年),则 M(60)=( A.5 太贝克 C.150ln 2 太贝克 ) B.75ln 2 太贝克 D.150 太贝克
2

t

- 30 ? 1 ? ? 1? 解析:由题意 M′(t)=M02 ?-30?ln2,M′(30)=M02-1×?-30?ln2=-10ln2,∴ ? ? ? ?

t

M0=600,∴M(60)=600×2-2=150.故选 D.
答案:D 二、填空题 7.某家具的标价为 132 元,若降价以九折出售(即优惠 10%),仍可获利 10%(相对进货 价),则该家具的进货价是________元. 解析:设进货价为 a 元,由题意知 132×(1-10%)-a=10%·a,解得 a=108. 答案:108 8.已知某驾驶员喝了 m 升酒后,血液中酒精的含量 f(x)(毫克/毫升)随时间 x(小时)变 5 ,0≤x≤1, ? ? 化的规律近似满足表达式 f(x)=?3 ?1?x ·? ? ,x>1, ? ?5 ?3?
x-2

《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应

的处罚》规定:驾驶员血液中酒精含量应不超过 0.02 毫克/毫升.则此驾驶员至少要过 ________小时后才能开车.(精确到 1 小时) 解析:驾驶员醉酒 1 小时血液中酒精含量为 5 =0.2,要使酒精含量≤0.02 毫克/毫升, 3?1?x 则 ? ? ≤0.02,∴x≥log330=1+log310>1+log39=3,故至少要 4 个小时后才能开车. 5?3? 答案:4 9.汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用=年均成本费用+ 年均维修费),设某种汽车的购车的总费用为 50 000 元;使用中每年的保险费、养路费及汽 油费合计为 6 000 元;前 x 年的总维修费 y 满足 y=ax +bx,已知第一年的总维修费为 1 000 元,前两年的总维修费为 3 000 元,则这种汽车的最佳使用年限为________年.
?1 000=a+b ? 解析:由题意得? ?3 000=4a+2b ?
2 -1


2

解得:a=500,b=500,∴y=500x +500x. 设年均消耗费用为 S,则

S=


50 000+500x +500x +6 000

2

x

50 000 +500x+500+6 000≥2×5 000+500+6 000

x

=16 500(元), 50 000 当且仅当 =500x,

x

即 x=10 时取“=”.
3

答案:10 三、解答题 10.某种出口产品的关税税率为 t,市场价格 x(单位:千元)与市场供应量 p(单位:万 件)之间近似满足关系式:p=2(1-kt)(x-b) ,其中 k,b 均为常数.当关税税率 t=75%时, 若市场价格为 5 千元,则市场供应量为 1 万件;若市场价格为 7 千元,则市场供应量约为 2 万件. (1)试确定 k,b 的值. (2)市场需求量 q(单位:万件)与市场价格 x 近似满足关系式:q=2 ,当 p=q 时,市 场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过 4 千元时,试确定关税税率的最大值.
-x 2

解:(1)由已知
??1-0.75k??5-b? =0, ? ?? 2 ? ??1-0.75k??7-b? =1.
2

, 解得 b=5,k=1.

(2)当 p=q 时,2

(1-t)(x-5)2

=2 ,

-x

所以(1-t)(x-5) =-x? t=1+ =1+ 1 . 25 x+ -10

2

x
?x-5?
2

x

25 而 f(x)=x+ 在(0,4]上单调递减,

x

41 所以当 x=4 时,f(x)有最小值 , 4 故当 x=4 时,关税税率的最大值为 500%. 11.某企业为了保护环境,发展低碳经济,在国家科研部门的支持下,进行技术攻关, 新上了一个把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成 本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似的表示为 y= 1 ? ?3x -80x +5 040x,x∈[120,144?, ?1 ?2x -200x+80 000,x∈[144,500?, ?
3 2 2

且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产

品价值为 200 元,若该项目不获利,亏损数额国家将给予补偿. (1)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果亏损,则国家每月补偿数额的范围 是多少?

4

(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? 解:(1)当 x∈[200,300]时,设该项目获利为 S,则

? 2 ? S=200x-? x -200x+80 000?
1 ?2

?

1 2 1 2 =- x +400x-80 000=- (x-400) , 2 2 ∴当 x∈[200,300]时,S<0, 因此该项目不会获利. 当 x=300 时,S 取得最大值-5 000,当 x=200 时,S 取得最小值-20 000. ∴国家每月补偿数额的范围是[5 000,20 000]. (2)由题意可知,二氧化碳的每吨处理成本为 1 x -80x+5 040,x∈[120,144?, ? ? 3 y = x ?1 80 000 ? ?2x+ x -200,x∈[144,500?,
2

y 1 2 1 y 2 ①当 x∈[120,144)时, = x -80x+5 040= (x-120) +240,∴当 x=120 时, 取得 x 3 3 x
最小值 240;

y 1 80 000 ②当 x∈[144,500)时, = x+ -200≥2 x 2 x
= 80 000 y ,即 x=400 时, 取得最小值 200.

1 80 000 1 x· -200=200,当且仅当 x 2 x 2

x

x

∵200<240,∴当每月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.

5

1.如图,正方形 ABCD 的顶点 A?0,

? ?

2? ? 2 ? ?,B? ,0?,顶点 C,D 位于第一象限,直线 l: 2? ?2 ?

x=t(0≤t≤ 2)将正方形 ABCD 分成两部分,记位于直线 l 左侧阴影部分的面积为 f(t),则
函数 S=f(t)的图象大致是( )

解析:f(t)增长的速度先快后慢,故选 C. 答案:C

2.(2014·陕西卷)如上图,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水平距离 10 千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为 ( ) A.y= C.y= 1 3 3 x- x 125 5 3 3 x -x 125 B.y= 2 3 4 x- x 125 5

3 3 1 D.y=- x + x 125 5

解析:根据函数图象的特点,过点(0,0),关于原点对称, 故可设函数 y=ax +cx, 又函数在(-5,2)处的切线平行于 x 轴, ∴y′=3ax +c,即 3a×25+c=0, ∴c=-75a,观察选项中的系数关系,可知选 A. 答案:A 3.某商场 2014 年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种函数 模型: ①f(x)=p·q (q>0,q≠1); ②f(x)=logpx+q(p>0,p≠1);
6
x
2 3

③f(x)=x +px+q. 能较准确反映商场月销售额 f(x)与月份 x 关系的函数模型为________(填写相应函数的 序号),若所选函数满足 f(1)=10,f(3)=2,则 f(x)=________. 解析:因为①②中函数要么单调递增,要么单调递减,不满足题意,③为二次函数且开 口向上,即 f(x)先减后增,满足题意,所以选③. 由 f(1)=10,f(3)=2,得 1+p+q=10,9+3p+q=2,解得 p=-8,q=17. 所以 f(x)=x -8x+17. 答案:③ x -8x+17
2 2

2

4.某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了“阶梯水价”计费方法,具体方 法:每户每月用水量不超过 4 吨的每吨 2 元;超过 4 吨而不超过 6 吨的,超出 4 吨的部分每 吨 4 元;超过 6 吨的,超出 6 吨的部分每吨 6 元. (1)写出每户每月用水量 x(吨)与支付费用 y(元)的函数关系; (2)该地一家庭记录了过去 12 个月的月用水量(x∈N )如下表: 月用水量 x(吨) 频数 3 1 4 3 5 3 6 3 7 2
*

请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到 1 元); (3)今年干旱形势仍然严峻,该地政府号召市民节约用水,如果每个月水费不超过 12 元 的家庭称为“节约用水家庭”,随机抽取了该地 100 户的月用水量作出如下统计表: 月用水量 x(吨) 频数 1 10 2 20 3 16 4 16 5 15 6 13 7 10

据此估计该地“节约用水家庭”的比例. 2x,0≤x≤4, ? ? 解:(1)y 关于 x 的函数关系式为 y=?4x-8,4<x≤6, ? ?6x-20,x>6. (2)由(1)知:当 x=3 时,y=6; 当 x=4 时,y=8;当 x=5 时,y=12; 当 x=6 时,y=16;当 x=7 时,y=22. 所以该家庭去年支付水费的月平均费用为 1 (6×1+8×3+12×3+16×3+22×2)≈13(元). 12 (3)由(1)和题意知:当 y≤12 时,x≤5, 77 所以“节约用水家庭”的频率为 =77%, 100

7

据此估计该地“节约用水家庭”的比例为 77%.

8


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