徐州市2014-2015高二数学理科1

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徐州市 2014—2015 学年度第二学期期末抽测○ 模

高二数学（理科）

2015.7

注意事项： 1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知复数 z 满足 z ? i(2 ? i) （其中 i 为虚数单位） ，则 z = 2．已知 B ? ? ▲ ．

3? ? 2 ? ，且 det(B) ? ?1 ,则 ? = ?? ? 1 4?
▲ ．

3．有 6 件产品，其中有 2 件次品，从中任选 2 件，恰有 1 件次品的概率为 4．观察下列不等式：

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 ? ,1 ? ? ? 1,1 ? ? ? ? ? ,1 ? ? ? ? ? 2 ， 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15 n 1 1 1 5 1 1 ? ． 1 ? ? ? ? ? , , 由此猜想第 n 个不等式为 1 ? ? ? ? ▲ 2 2 3 31 2 2 3 7 2 7 5．设 (1 ? x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? L ? a7 x ，则 a0 , a1 , a2 ,L , a7 中最大的数是 ▲ ． 6． 某停车场内有序号为 1,2,3,4,5 的五个车位顺次排成一排， 现在 A, B, C , D 四辆车需要停放， 若 A, B
两车停放的位置必须相邻，则停放方式种数为 ▲ ． （用数字作答）

5 1 ? 3 （用数字作答） ． ? 的二项展开式中 x 的系数为 2 ，则 a ? ax ? 3 8．小明通过英语四级测试的概率为 ，他连续测试 3 次，那么其中恰有一次获得通过的概率 _. 4
7．若 ? x 2 ? 9．一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实圆，○表示空心圆） ： ●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○ 若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前 2003 个圆中，有

? ?

6

个空心圆．

10．参数方程

11.若直线 x + y = m 与圆 ? ? ? y ? m sin ? 12.若 n ? N ，n <
*

2 ? 3t ? x? ? ? 1? t ，化成普通方程是 ? ? y ? 1 ? 4t ? 1? t ? ? ? x ? m cos ? ,

(φ 为参数，m>0)相切，则m为
n

．

? 3 1? 100，且二项式 ? x ? 2 ? x ? ?

的展开式中存在常数项，则所有满足条件的 n 值

的和是 . 13．先阅读下面文字： “求 1 ? 1 ? 1 ? ? 的值时，采用了如下的方式：令 1 ? 1 ? 1 ? ? ? x ，则有 x ? 1 ? x ，
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两边平方，得 x ? 1 ? x ，解得 x ?
2

1? 5 （负值舍去） ” 。用类比的方法可以求得：当 0 ? q ? 1 时， 2

。 1 ? q ? q 2 ? q 3 ? ?的值为 14.已知点列如下： P 2 (1, 2) ， P 3 (2,1) ， P 4 (1,3) ， P 6 (3,1) ， P 7 (1, 4) ， P 1 (1,1) ， P 5 (2, 2) ， P 8 (2,3) ， . P 9 (3, 2) ， P 10 (4,1) ， P 11 (1,5) ， P 12 (2, 4) ，??，则 P 60 的坐标为 二、解答题（本大题共 8 小题，共计 120 分） 15.（本小题 14 分）

? x ? cos ? , （ ? 为参数， 0 ? ? ? ? ）上的点，点 A 的坐标为（1,0） ， O 为坐 ? y ? sin ? ? 标原点，点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 . 3 （1）以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标；
已知 P 为半圆 C： ? （2）求直线 AM 的参数方程.

16.（本小题 14 分） , ?( 2 , 0 C)? , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 点 A( 0 , 0 )B M= ?

k 为非零实数，矩阵 ( .2设 , 1)

?k 0? ?0 1 ? ,N= ? ? ? ,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到的点分别为 A1、B1、C1，△A1B1C1 的面 ? 0 1? ?1 0 ? 积是△ABC 的面积的 2 倍，求 k 的值.

17.（本小题 14 分） 已知虚数 z 满足 | 2 z ? 5 |?| z ? 10 | . （1）求 | z | ；

z m ? 为实数，若存在，求出 m 值；若不存在，说明理由； m z （3）若 (1 ? 2i) z 在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数 z .
（2）是否存在实数 m ，是

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18.（本小题 16 分） 一个袋中装有黑球，白球和红球共 n( n ? N* )个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸

2 ．现从袋中任意摸出 2 个球． 5 4 （1）若 n=15，且摸出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率是 ，设 ? 表示摸出的 2 个球中红球的个数, 7
出 1 个球，得到黑球的概率是 求随机变量 ? 的概率分布及数学期望 E? ； （2）当 n 取何值时，摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的概率最大，最大概率为多少?

19、 （本题满分 16 分） 设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的五个盒子，现将这五个球放入 5 个盒子内． （１）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？ （２）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ （３）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

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20． （本题满分 16 分）

x 2n ) ? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a 2 n x 2 n (n ? N *) 。 4 625 （1）若 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a2 n ? ，求 a3 的值； 256 1 (n ? N *) （2）求证： a n ? 2n ? 1
已知 (1 ? （3）若存在整数 k (0≤k≤2n)，对任意的整数 m (0≤m≤2n)，总有 a k ≥a m 成立，这样的 k 是否唯 一？并说明理由。

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高二数学（理）参考答案
1． 5 2． 4 3．

2015.7

一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

8 15

4．

1 2 ?1
n

5． a4 12.

6．48 13．

7． a ? 2
14.

8．

9 64

9．446

10． 3x ? 5 y ? 11 ? 0( x ? ?3)

11.2

1 1? q

二、解答题（本大题共 8 小题，共计 120 分） ? ? 15.解： （1）由已知，M 点的极角为 ，且 M 点的极径等于 ， 3 3 ? ? 故点 M 的极坐标为（ ， ）. ????????????7 分 3 3 ? 3? （2）M 点的直角坐标为（ , ） ，A（1,0） ，故直线 AM 的参数方程为 6 6 ? ? x ? 1 ? ( ? 1)t , ? 6 ? (t 为参数). ????????????14 分 ? 3 ? ?y ? t ? 6 ? ? k 0? ?0 1 ? ?0 k ? 16.解：由题设得 MN ? ? ????????4 分 ?? ??? ?. ? 0 1 ? ?1 0 ? ?1 0 ? ?0 k ? ?0? ?0? ?0 k ? ??2? ? 0 ? ?0 k ? ??2? ? k ? 由? ?? ? ? ? ?，? ?? ? ? ? ? ，? ?? ? ? ? ? ， ?1 0 ? ?0? ?0? ?1 0 ? ? 0 ? ??2? ?1 0 ? ? 1 ? ??2? 可知 A ????????????10 分 1 (0,0) ， B1 (0, ?2) ， C1 (k , ?2) . 计算得△ABC 的面积是 1，△A1B1C1 的面积是 | k | ，则由题设知 | k |? 2 ? 1 ? 2 . 所以 k 的值为 ?2 或 2. ????????????????????14 分 17.解：（1）设 z ? x ? yi( x, y ? R且y ? 0) ，由 | 2 z ? 5 |?| z ? 10 | 得： (2x ? 5)2 ? 4 y 2 ? ( x ? 10)2 ? y 2 化简得: x2 ? y 2 ? 25 ,所以 | z |? 5 .????4 分 z m x mx y my ? ?( ? 2 )?( ? 2 )i ? R ， （2） 2 m z m m ?n m x ? y2 1 m y my ? 0, 解得 m ? ?5 .??8 分 ? ? 2 ? 0 ，又 y ? 0 且 x2 ? y 2 ? 25 ， ? ? 2 m 25 m x ?y (3)由 (1 ? 2i) z ? (1 ? 2i)( x ? yi) ? ( x ? 2 y) ? ( y ? 2 x)i 及已知得： x ? 2 y ? y ? 2 x ，即 y ? ?3x ，代入 x2 ? y 2 ? 25 解得：

? ? 10 ?x ? ?x ? ? ? ? 2 或? ? ? y ? ? 3 10 ? y ? 3 ? ? ? 2 ?

10 2 ，故 z ? 10 ? 3 10 i 或 z ? ? 10 ? 3 10 i .???14 分 2 2 2 2 10 2
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18.解： （1）设袋中黑球的个数为 x (个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件 A，则 x 2 设袋中白球的个数为 y (个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得 P( A) ? ? ∴ x ? 6 ． 15 5 到一个白球”为事件 B，则 P( B) ? 1 ?
2
2 C15 ?y

C

2 15

?

4 ， 7
∴红球的个数为 15 ? 6 ? 5 ? 4 (个)．

∴ y ? 29 y ? 120 ? 0 ， ∴ y ? 5 或 y ? 24 (舍)． ∴随机变量 ? 的取值为 0，1，2，分布列是：
?

0
11 21

1
44 105

2
2 35

P

? 的数学期望 E? ?

11 44 2 56 ?0? ?1 ? ? 2 ? ． 21 105 35 105

????9 分

（2）设袋中有黑球 z 个，则 z ? 球”为事件 C，
2 C3

2 ．设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑 n(n ? 5,10,15, ?） 5

则 P(C ) ? 1 ?

C

n 5 2 n

?

7 16 6 1 ? ? ， 当 n ? 5 时， P (C ) 最大，最大值为 ．?16 分 25 25 n ? 1 10

2 4 19.解： （1） C5 A5 ? 1200（种） 5 （2） A5 ?1 ? 119（种）

（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1 种 第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0 种 第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10 种
2 第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法： 2C5 ? 20 种

∴ 满足条件的放法数为：1+10+20=31（种） 20．解： （1）取 x ? 1 ，有 a0 ? a1 ? a2 ? 此时 a 3 ? C 4 ? ( ) ?
3 3

1 625 ? a2 n ? (1 ? ) 2 n ? , 解得 n ? 2 ，……2 分 4 256
………………………4 分

1 4

1 ． 16

n n C2 C2 1 n n ，下面证明： ， ? n n 4 4 2n ? 1 1 1 当 n ? 1 时，左= ，右= ，左 ? 右，命题成立； …………………………………6 分 2 3

（2） a n ?

假设当 n ? k 时，命题成立，有

k C2 1 k ， ? k 4 2k ? 1

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则 n ? k ? 1 时，

C 4

k ?1 2k ?2 k ?1

?

1 4
k ?1

?

(2k ? 2)! 1 (2k ? 1)(2k ? 2) 1 (2k )! ? ? ? k ? (k ? 1)!(k ? 1)! 4 (k ? 1) 2 4 k!k!

?

1 2(2k ? 1) 1 1 2k ? 3 2k ? 1 (2k ? 3)( 2k ? 1) 1 1 ，命 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 4 k ?1 2 k ? 1 2 k ? 2 ( 2 k ? 2) 2k ? 3 2k ? 3 2k ? 1 2k ? 3
1 2n ? 1
( n ? N )．…………………10 分
*

题也成立.
n C2 1 * 由上知， nn ? ( n ? N )，即 a n ? 4 2n ? 1

（3）由题意知： ak 是 a0 , a1 , a2 ,
k 2n k k ?1

, a2n 中的最大项． ak ?

k k ?1 C2 C2 n n a ? ， ． k ?1 k k ?1 4 4

(2n)! a C 4 2n ? k ? 1 k !(2n ? k )! ? k ?1 ? ? 所以 k ? (1 ≤ k ≤ 2n, k ? N* ) ，10 分 (2 n )! ak ?1 4 C2 n 4k 4? (k ? 1)!(2n ? k ? 1)! 2n ? k ? 1 2n ? 1 2n ? 1 ≥ 1 ，得 k ≤ 令 ，设小于或等于 的最大整数为 M ，则 5 4k 5 2n ? 1 当 1 ≤ k ≤ M 时， ak ?1 ≤ ak ，故 a0 ? a1 ? ??? ? aM ?1 ≤ aM （ M ? 时取等号） ； 5 2n ? k ? 1 ? 1 ， ak ?1 ? ak ，故 aM ? aM ?1 ? ??? ? a2n ．…………14 分 当 M ? k ≤ 2n 时， 4k 2n ? 1 ? M 时，满足条件的正整数 k 有 2 个，即 k ? M 或 k ? M ? 1 ； 所以当 5 2n ? 1 ? M 时，满足条件的正整数 k 只有 1 个，即 k ? M ．……………………16 分 当 5

19． （本小题满分 14 分） 已知 f n ( x) ? (1 ?

x )n ， n ? N ? .
2

(1) 若 g ( x) ? f 4 ( x) ? 2 f5 ( x) ? 3 f6 ( x) ，求 g ( x) 中含 x 项的系数； (2) 若 pn 是 f n ( x) 展开式中所有无理项的系数和，数列 {an } 是各项都大于 1 的数组成的数列，试 用数学归纳法证明： (a1a2

an ? 1) ? pn ? ?1 ? a1 ??1 ? a2 ?

?1? an ? .

高二数学试题（理）

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4 4 19. 解：(1)g(x) 中 含 x 2 项 的 系 数 为 C 4 4 ＋ 2C 5 ＋ 3C 6 ＝ 1 ＋ 10 ＋ 45 ＝ 56 …………… 7 分 (2) 证 明 ： 由 题 意 ， p n ＝ 2 n － 1 . ① 当 n ＝ 1 时 ， p 1 (a 1 ＋ 1) ＝ a 1 ＋ 1 ， 成 立 ； …………………………………………… 9 分

② 假 设 当 n ＝ k 时 ， pk ? a1a2
当 n＝ k＋ 1 时 ，

ak ?1? ? ?1 ? a1 ??1 ? a2 ?

?1? ak ? 成 立 ，

k ?1 ?1 ? a1 ??1 ? a2 ? ?1 ? ak ?1 ? ? ? ? 2 ? a1a2 ak ? 1? ? ? ?1 ? ak ?1 ? 又 因 为 ? a1 a2 a ? a ? ? 2? a1 a2 k?a ? ? k ? 1?? 1 k? 1 1 1 ? ? a1a2 ak ?1 ? a1a2 ak ? ak ?1 ?1? ? 2 ? a1a2 ak ?1 ?1? ? a1a2 ak ? ak ?1 ? a1a2 ak ?1 ?1 ? a1a2 ak ?1? ak ?1 ? ? ? ak ?1 ?1? ? ? a1a2 ak ?1??1? ak ?1 ? ? 0 所 以 ? a1 a2 a ? a a? 1 ?? 2 ? a k ? 1?? 1 k? 1 1 a 2 k ? 1 ? k 所 以 n ? k ? 1 时 ， 2 ? a1a 2 ak ? 1? 1 ? a ?? ? a ?2 ? ? 1 ak ? ?1 ??? 1 1 1 综 合 ① ② 可 知 ， pn ? a1a2 an ?1? ? ?1 ? a1 ??1 ? a2 ? ?1 ? an ? …………………………… 14 分

高二数学试题（理）

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