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徐州市2014-2015高二数学理科1


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徐州市 2014—2015 学年度第二学期期末抽测○ 模

高二数学(理科)

2015.7

注意事项: 1.本试卷考试时间为 120 分钟,试卷满分 160 分,考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分. 3.答题前,

务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知复数 z 满足 z ? i(2 ? i) (其中 i 为虚数单位) ,则 z = 2.已知 B ? ? ▲ .

3? ? 2 ? ,且 det(B) ? ?1 ,则 ? = ?? ? 1 4?
▲ .

3.有 6 件产品,其中有 2 件次品,从中任选 2 件,恰有 1 件次品的概率为 4.观察下列不等式:

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 ? ,1 ? ? ? 1,1 ? ? ? ? ? ,1 ? ? ? ? ? 2 , 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15 n 1 1 1 5 1 1 ? . 1 ? ? ? ? ? , , 由此猜想第 n 个不等式为 1 ? ? ? ? ▲ 2 2 3 31 2 2 3 7 2 7 5.设 (1 ? x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? L ? a7 x ,则 a0 , a1 , a2 ,L , a7 中最大的数是 ▲ . 6. 某停车场内有序号为 1,2,3,4,5 的五个车位顺次排成一排, 现在 A, B, C , D 四辆车需要停放, 若 A, B
两车停放的位置必须相邻,则停放方式种数为 ▲ . (用数字作答)

5 1 ? 3 (用数字作答) . ? 的二项展开式中 x 的系数为 2 ,则 a ? ax ? 3 8.小明通过英语四级测试的概率为 ,他连续测试 3 次,那么其中恰有一次获得通过的概率 _. 4
7.若 ? x 2 ? 9.一同学在电脑中打出如下若干个圆(图中●表示实圆,○表示空心圆) : ●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○ 若将此若干个圆依次复制得到一系列圆,那么在前 2003 个圆中,有

? ?

6

个空心圆.

10.参数方程

11.若直线 x + y = m 与圆 ? ? ? y ? m sin ? 12.若 n ? N ,n <
*

2 ? 3t ? x? ? ? 1? t ,化成普通方程是 ? ? y ? 1 ? 4t ? 1? t ? ? ? x ? m cos ? ,

(φ 为参数,m>0)相切,则m为
n



? 3 1? 100,且二项式 ? x ? 2 ? x ? ?

的展开式中存在常数项,则所有满足条件的 n 值

的和是 . 13.先阅读下面文字: “求 1 ? 1 ? 1 ? ? 的值时,采用了如下的方式:令 1 ? 1 ? 1 ? ? ? x ,则有 x ? 1 ? x ,
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两边平方,得 x ? 1 ? x ,解得 x ?
2

1? 5 (负值舍去) ” 。用类比的方法可以求得:当 0 ? q ? 1 时, 2

。 1 ? q ? q 2 ? q 3 ? ?的值为 14.已知点列如下: P 2 (1, 2) , P 3 (2,1) , P 4 (1,3) , P 6 (3,1) , P 7 (1, 4) , P 1 (1,1) , P 5 (2, 2) , P 8 (2,3) , . P 9 (3, 2) , P 10 (4,1) , P 11 (1,5) , P 12 (2, 4) ,??,则 P 60 的坐标为 二、解答题(本大题共 8 小题,共计 120 分) 15.(本小题 14 分)

? x ? cos ? , ( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )上的点,点 A 的坐标为(1,0) , O 为坐 ? y ? sin ? ? 标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 . 3 (1)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标;
已知 P 为半圆 C: ? (2)求直线 AM 的参数方程.

16.(本小题 14 分) , ?( 2 , 0 C)? , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 点 A( 0 , 0 )B M= ?

k 为非零实数,矩阵 ( .2设 , 1)

?k 0? ?0 1 ? ,N= ? ? ? ,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到的点分别为 A1、B1、C1,△A1B1C1 的面 ? 0 1? ?1 0 ? 积是△ABC 的面积的 2 倍,求 k 的值.

17.(本小题 14 分) 已知虚数 z 满足 | 2 z ? 5 |?| z ? 10 | . (1)求 | z | ;

z m ? 为实数,若存在,求出 m 值;若不存在,说明理由; m z (3)若 (1 ? 2i) z 在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上,求复数 z .
(2)是否存在实数 m ,是

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18.(本小题 16 分) 一个袋中装有黑球,白球和红球共 n( n ? N* )个,这些球除颜色外完全相同.已知从袋中任意摸

2 .现从袋中任意摸出 2 个球. 5 4 (1)若 n=15,且摸出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率是 ,设 ? 表示摸出的 2 个球中红球的个数, 7
出 1 个球,得到黑球的概率是 求随机变量 ? 的概率分布及数学期望 E? ; (2)当 n 取何值时,摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的概率最大,最大概率为多少?

19、 (本题满分 16 分) 设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这五个球放入 5 个盒子内. (1)只有一个盒子空着,共有多少种投放方法? (2)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法? (3)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法?

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20. (本题满分 16 分)

x 2n ) ? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a 2 n x 2 n (n ? N *) 。 4 625 (1)若 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a2 n ? ,求 a3 的值; 256 1 (n ? N *) (2)求证: a n ? 2n ? 1
已知 (1 ? (3)若存在整数 k (0≤k≤2n),对任意的整数 m (0≤m≤2n),总有 a k ≥a m 成立,这样的 k 是否唯 一?并说明理由。

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高二数学(理)参考答案
1. 5 2. 4 3.

2015.7

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

8 15

4.

1 2 ?1
n

5. a4 12.

6.48 13.

7. a ? 2
14.

8.

9 64

9.446

10. 3x ? 5 y ? 11 ? 0( x ? ?3)

11.2

1 1? q

二、解答题(本大题共 8 小题,共计 120 分) ? ? 15.解: (1)由已知,M 点的极角为 ,且 M 点的极径等于 , 3 3 ? ? 故点 M 的极坐标为( , ). ????????????7 分 3 3 ? 3? (2)M 点的直角坐标为( , ) ,A(1,0) ,故直线 AM 的参数方程为 6 6 ? ? x ? 1 ? ( ? 1)t , ? 6 ? (t 为参数). ????????????14 分 ? 3 ? ?y ? t ? 6 ? ? k 0? ?0 1 ? ?0 k ? 16.解:由题设得 MN ? ? ????????4 分 ?? ??? ?. ? 0 1 ? ?1 0 ? ?1 0 ? ?0 k ? ?0? ?0? ?0 k ? ??2? ? 0 ? ?0 k ? ??2? ? k ? 由? ?? ? ? ? ?,? ?? ? ? ? ? ,? ?? ? ? ? ? , ?1 0 ? ?0? ?0? ?1 0 ? ? 0 ? ??2? ?1 0 ? ? 1 ? ??2? 可知 A ????????????10 分 1 (0,0) , B1 (0, ?2) , C1 (k , ?2) . 计算得△ABC 的面积是 1,△A1B1C1 的面积是 | k | ,则由题设知 | k |? 2 ? 1 ? 2 . 所以 k 的值为 ?2 或 2. ????????????????????14 分 17.解:(1)设 z ? x ? yi( x, y ? R且y ? 0) ,由 | 2 z ? 5 |?| z ? 10 | 得: (2x ? 5)2 ? 4 y 2 ? ( x ? 10)2 ? y 2 化简得: x2 ? y 2 ? 25 ,所以 | z |? 5 .????4 分 z m x mx y my ? ?( ? 2 )?( ? 2 )i ? R , (2) 2 m z m m ?n m x ? y2 1 m y my ? 0, 解得 m ? ?5 .??8 分 ? ? 2 ? 0 ,又 y ? 0 且 x2 ? y 2 ? 25 , ? ? 2 m 25 m x ?y (3)由 (1 ? 2i) z ? (1 ? 2i)( x ? yi) ? ( x ? 2 y) ? ( y ? 2 x)i 及已知得: x ? 2 y ? y ? 2 x ,即 y ? ?3x ,代入 x2 ? y 2 ? 25 解得:

? ? 10 ?x ? ?x ? ? ? ? 2 或? ? ? y ? ? 3 10 ? y ? 3 ? ? ? 2 ?

10 2 ,故 z ? 10 ? 3 10 i 或 z ? ? 10 ? 3 10 i .???14 分 2 2 2 2 10 2
高二数学试题(理) 第 5 页 (共 4 页)

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18.解: (1)设袋中黑球的个数为 x (个),记“从袋中任意摸出一个球,得到黑球”为事件 A,则 x 2 设袋中白球的个数为 y (个),记“从袋中任意摸出两个球,至少得 P( A) ? ? ∴ x ? 6 . 15 5 到一个白球”为事件 B,则 P( B) ? 1 ?
2
2 C15 ?y

C

2 15

?

4 , 7
∴红球的个数为 15 ? 6 ? 5 ? 4 (个).

∴ y ? 29 y ? 120 ? 0 , ∴ y ? 5 或 y ? 24 (舍). ∴随机变量 ? 的取值为 0,1,2,分布列是:
?

0
11 21

1
44 105

2
2 35

P

? 的数学期望 E? ?

11 44 2 56 ?0? ?1 ? ? 2 ? . 21 105 35 105

????9 分

(2)设袋中有黑球 z 个,则 z ? 球”为事件 C,
2 C3

2 .设“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个黑 n(n ? 5,10,15, ?) 5

则 P(C ) ? 1 ?

C

n 5 2 n

?

7 16 6 1 ? ? , 当 n ? 5 时, P (C ) 最大,最大值为 .?16 分 25 25 n ? 1 10

2 4 19.解: (1) C5 A5 ? 1200(种) 5 (2) A5 ?1 ? 119(种)

(3)满足的情形:第一类,五个球的编号与盒子编号全同的放法:1 种 第二类,四个球的编号与盒子编号相同的放法:0 种 第三类,三个球的编号与盒子编号相同的放法:10 种
2 第四类,二个球的编号与盒子编号相同的放法: 2C5 ? 20 种

∴ 满足条件的放法数为:1+10+20=31(种) 20.解: (1)取 x ? 1 ,有 a0 ? a1 ? a2 ? 此时 a 3 ? C 4 ? ( ) ?
3 3

1 625 ? a2 n ? (1 ? ) 2 n ? , 解得 n ? 2 ,……2 分 4 256
………………………4 分

1 4

1 . 16

n n C2 C2 1 n n ,下面证明: , ? n n 4 4 2n ? 1 1 1 当 n ? 1 时,左= ,右= ,左 ? 右,命题成立; …………………………………6 分 2 3

(2) a n ?

假设当 n ? k 时,命题成立,有

k C2 1 k , ? k 4 2k ? 1

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则 n ? k ? 1 时,

C 4

k ?1 2k ?2 k ?1

?

1 4
k ?1

?

(2k ? 2)! 1 (2k ? 1)(2k ? 2) 1 (2k )! ? ? ? k ? (k ? 1)!(k ? 1)! 4 (k ? 1) 2 4 k!k!

?

1 2(2k ? 1) 1 1 2k ? 3 2k ? 1 (2k ? 3)( 2k ? 1) 1 1 ,命 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 4 k ?1 2 k ? 1 2 k ? 2 ( 2 k ? 2) 2k ? 3 2k ? 3 2k ? 1 2k ? 3
1 2n ? 1
( n ? N ).…………………10 分
*

题也成立.
n C2 1 * 由上知, nn ? ( n ? N ),即 a n ? 4 2n ? 1

(3)由题意知: ak 是 a0 , a1 , a2 ,
k 2n k k ?1

, a2n 中的最大项. ak ?

k k ?1 C2 C2 n n a ? , . k ?1 k k ?1 4 4

(2n)! a C 4 2n ? k ? 1 k !(2n ? k )! ? k ?1 ? ? 所以 k ? (1 ≤ k ≤ 2n, k ? N* ) ,10 分 (2 n )! ak ?1 4 C2 n 4k 4? (k ? 1)!(2n ? k ? 1)! 2n ? k ? 1 2n ? 1 2n ? 1 ≥ 1 ,得 k ≤ 令 ,设小于或等于 的最大整数为 M ,则 5 4k 5 2n ? 1 当 1 ≤ k ≤ M 时, ak ?1 ≤ ak ,故 a0 ? a1 ? ??? ? aM ?1 ≤ aM ( M ? 时取等号) ; 5 2n ? k ? 1 ? 1 , ak ?1 ? ak ,故 aM ? aM ?1 ? ??? ? a2n .…………14 分 当 M ? k ≤ 2n 时, 4k 2n ? 1 ? M 时,满足条件的正整数 k 有 2 个,即 k ? M 或 k ? M ? 1 ; 所以当 5 2n ? 1 ? M 时,满足条件的正整数 k 只有 1 个,即 k ? M .……………………16 分 当 5

19. (本小题满分 14 分) 已知 f n ( x) ? (1 ?

x )n , n ? N ? .
2

(1) 若 g ( x) ? f 4 ( x) ? 2 f5 ( x) ? 3 f6 ( x) ,求 g ( x) 中含 x 项的系数; (2) 若 pn 是 f n ( x) 展开式中所有无理项的系数和,数列 {an } 是各项都大于 1 的数组成的数列,试 用数学归纳法证明: (a1a2

an ? 1) ? pn ? ?1 ? a1 ??1 ? a2 ?

?1? an ? .

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4 4 19. 解:(1)g(x) 中 含 x 2 项 的 系 数 为 C 4 4 + 2C 5 + 3C 6 = 1 + 10 + 45 = 56 …………… 7 分 (2) 证 明 : 由 题 意 , p n = 2 n - 1 . ① 当 n = 1 时 , p 1 (a 1 + 1) = a 1 + 1 , 成 立 ; …………………………………………… 9 分

② 假 设 当 n = k 时 , pk ? a1a2
当 n= k+ 1 时 ,

ak ?1? ? ?1 ? a1 ??1 ? a2 ?

?1? ak ? 成 立 ,

k ?1 ?1 ? a1 ??1 ? a2 ? ?1 ? ak ?1 ? ? ? ? 2 ? a1a2 ak ? 1? ? ? ?1 ? ak ?1 ? 又 因 为 ? a1 a2 a ? a ? ? 2? a1 a2 k?a ? ? k ? 1?? 1 k? 1 1 1 ? ? a1a2 ak ?1 ? a1a2 ak ? ak ?1 ?1? ? 2 ? a1a2 ak ?1 ?1? ? a1a2 ak ? ak ?1 ? a1a2 ak ?1 ?1 ? a1a2 ak ?1? ak ?1 ? ? ? ak ?1 ?1? ? ? a1a2 ak ?1??1? ak ?1 ? ? 0 所 以 ? a1 a2 a ? a a? 1 ?? 2 ? a k ? 1?? 1 k? 1 1 a 2 k ? 1 ? k 所 以 n ? k ? 1 时 , 2 ? a1a 2 ak ? 1? 1 ? a ?? ? a ?2 ? ? 1 ak ? ?1 ??? 1 1 1 综 合 ① ② 可 知 , pn ? a1a2 an ?1? ? ?1 ? a1 ??1 ? a2 ? ?1 ? an ? …………………………… 14 分

高二数学试题(理)

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