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2014年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题


2014 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷
(2014 年 3 月 30 日星期日上午 8:30–10:30) 注意事项: 1. 解答本试卷不得使用计算器 一. 填空题 (本题满分 60 分, 前 4 小题每小题 7 分, 后 4 小题每小题 8 分) 1. 给定正实数 a, b (a > b), 两点 离乘积是 . (√ ) ( √ ) x cos θ y sin θ a2 ? b2 , 0 , ? a2 ? b2 , 0 到直线 + = 1 的距 a b

2. 已知线段 AB, CD 的长分别为 a, b (a > b). 若线段 AB, CD 分别在 x 轴, y 轴上滑动, 且使得 A, B, C, D 四点共圆, 则这些圆的圆心轨迹方程是 3. 若 x ∈ (?1, 1) 时, f (x) = x2 ? ax + .

a 恒为正值, 则实数 a 的取值范围是 . 2 2 xn 4. 数列 {xn } 定义如下: x1 = , xn+1 = (n = 1, 2, . . . ), 则 x1 + x2 + · · · + 3 2(2n + 1)xn + 1 . x2014 = ( 2 ) 1 5. 不等式 log 12 x + 2x ? 3 > x2 + 2x ? 16 的解集是 .

6. 设 a1 , a2 , . . . , a2014 是 正 整 数 1, 2, . . . , 2014 的 一 个 排 列, 记 Sk = a1 + a2 + · · · + ak , k = 1, 2, . . . , 2014, 则 S1 , S2 , . . . , S2014 中奇数个数的最大值是 .

7. 设 S = {1, 2, . . . , 11}, 对 S 的每一个 7 元子集, 将其中的 7 个数从小到大排列, 取出中间的数, 则所有取出的中间数的和等于 .

8. 将 900000 个五位数 10000, 10001, . . . , 99999 打印在卡片上, 每张卡片上打印一个五位数. 有些 卡片上所打印的数, 如 19806 倒过来看是 90861, 有两种不同的读法, 会引起混淆, 则不会引起 混淆的卡片共有 张.

1

二. 解答题 (本题满分 60 分) 9. (本大题共 14 分) 在锐角三角形 ABC 中, 已知 ∠A = 75? , AC = b, AB = c. 求三角形 ABC 的外接正三角形面积的最大值.

10. (本大题共 14 分) 设 n 是给定的大于 2 的整数. 有 n 个外表上没有区别的袋子, 第 k 个袋中有 k 个红球, (n ? k ) 个白球, k = 1, 2, . . . , n. 把这些袋子混合后, 任取一个袋子, 并且从中连续取 出三个球 (每次取出不放回), 求第三次取出的是白球的概率.

2

11. (本大题共 16 分) 正实数 x, y, z 满足: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ≤ z ≤ min {x, y } 5 4 xz ≥ 15 1 yz ≥ 5



1 2 3 + + 的最大值. (这里, min {x, y } 表示实数 x, y 中的较小者.) x y z

3

12. (本大题共 16 分) 求 1, 2, . . . , n 的排列 a1 , a2 , . . . , an 的个数, 使得 |ak ? k | ≥ k = 1, 2, . . . , n 成立.

n?1 对正整数 2

4



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