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圆锥曲线单元试卷(理科)及答案zst


深圳市育才中学高二数学圆锥曲线单元测试
班级: 姓名:

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题的 4 个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.直线过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,与抛物线交于 A(x1, y1)、B(x2, y2)两点,如果 x1 + x2 = 6,那么 AB 等于 ( A.10 2.已

知双曲线 A. ) B.8 C.7 D.6 )

5 3

3 x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为 ( 2 4 a b 4 5 3 B. C. D. 3 4 2


3.以(-6,0) , (6,0)为焦点,且经过点(-5,2)的双曲线的标准方程是(

x2 y2 ? ?1 A. 16 20
4.方程

y2 x2 ? ?1 B. 16 20

x2 y2 ? ?1 C. 20 16

y2 x2 ? ?1 D. 20 16
)

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 ( 25 - m 16 ? m
B. ?16 ? m ?

9 9 9 C. ? m ? 25 D. m ? 2 2 2 2 2 3 5.过双曲线 x ? y ? 1 的右焦点 F 且斜率是 的直线与双曲线的交点个数是( ) 2 4 9
A. ?16 ? m ? 25 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 )

2 6. 直线 y ? x ? 1 被抛物线 y ? 4 x ? 0 截得线段的中点坐标为(

A. (4,3)

B. (1,3)

C.(3,2)

D.(3,1) ) C. 15
2

7.抛物线 y 2 ? 12x 截直线 y ? 2 x ? 1 所得弦长等于( A. 15 B. 2 15

D.15

4x 2 y 2 ? ? 1 的两个焦点, P 是椭圆上的点,且 PF1 : PF2 ? 4 : 3 ,则 8.设 F1 , F2 是椭圆 49 6

?PF1 F2 的面积为(
A.4

) B.6 C. 2 2 D. 4 2 ( )

9.在同一坐标系中,方程 a2x2+b2y2=1 与 ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是

10.设 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上一点,两焦点分别为 F1 , F2 ,如果 ?PF1F2 ? 60 a 2 b2
) C. 2 ? 1

?PF2 F1 ? 30 ,则椭圆的离心率为 (
A. 3 ? 1 B.

3 3

D.

3 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.将答案填在题中横线上. 11.抛物线 y ? ?

1 2 x 的准线方程为 6

.

12.中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率为

1 ,长轴为 8 的椭圆的标准方程为______ 2

__.

13.以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程为 8 5

.

x2 y2 ? ? 1 内 一 点 M (2,1) 引 一 条 弦 , 使 弦 被 M 点 平 分 , 则 这 条 弦 所 在 的 直 线 方 程 14. 过 椭 圆 16 4

15.动点 P 在曲线

.
y

则点 P 和定点 A(0, ?1) 连线的中点的轨迹方程 y ? 2 x2 ? 1 上移动, .
F1 O

P Q F2 x



16.如图,已知 F 1 、 F2 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2
2 2 2

的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2 与圆 x ? y ? b 相 切于点 Q ,且点 Q 为线段 PF2 的中点,则 PF1 ?PF2

uuu r uuu r

;椭圆 C 的离心率为



三、解答题:本大题共 3 小题,共 36 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题共两小题满分 16 分,每小题 8 分) (1)求离心率 e ?

6 ,并且过点(3,0)的椭圆的标准方程; 3

(2)双曲线 C 和椭圆 4 x ? y ? 1 有相同的焦点,它的一条渐近线为 y ? 2 x ,求双曲线 C 的方程.
2 2

18. (本题 12 分)在抛物线 y ? 4x 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。
2

2 2 19.P 为椭圆 x ? y ? 1 上一点, F1 、 F2 为左右焦点,若 ?F1 PF2 ? 60? 25 9 (1)求△ F1 PF2 的面积; (2)求 P 点的坐标. (14 分)

20、求两条渐近线为 x ? 2 y ? 0 且截直线 x ? y ? 3 ? 0 所得弦长为

8 3 的双曲线方程.(14 分) 3

21. (选做题)已知倾斜角为

? 的直线 l 过点 P(-2,-4),与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交于 A,B 两点,若 4

PA、 AB、 PB 成等比数列,试求此抛物线的方程.

圆锥曲线测试答案 一、选择题(满分 40 分,每题 4 分) 1 A 2 C 3 C 4 C 5 B 6 C 7 A 8 B 9 D 10 A

二、填空题(满分 24 分,每题 4 分)

11.

y?

3 2

12.

x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 16 12 16 12
15.

(丢解扣 2 分)13.

x2 y 2 ? ?1 3 5

14.

x ? 2y ? 4 ? 0

y ? 4 x2

16.

0 ,

5 3

(每空 2 分)

三、解答题(满分 36 分) 17.(本小题满分 10 分)

(1)

x2 y2 ? ?1 9 3

y2 x2 ? ?1 或 27 9
3 ) 2

…………………5 分(丢解扣 2 分)

(2)椭圆的焦点坐标为 (0, ?

,…………………6 分

由双曲线的一条渐近线为

y ? 2 x ,可得

a ? 2 ,…………………7 分 b

解得 b

?

1 2 ,a ? 2 2
2



…………………9 分

则双曲线方程为 2 y

? 4 x2 ? 1

…………………10 分

18.解:设点 P(t , 4t ) ,距离为 d , d ?
2

4t ? 4t 2 ? 5 17

?

4t 2 ? 4t ? 5 17

当t ?

1 1 时, d 取得最小值,此时 P ( ,1) 为所求的点。 2 2

19.[解析]:∵a=5,b=3? c=4 (1)设 | PF1 |?t 1 , | PF2 |? t 2 ,则 t1 ? t 2 ? 10
2 t12 ? t 2 ? 2t1t 2 ? cos60? ? 82



②,由①2-②得 t1t 2 ? 12

? S ?F1PF2 ?

1 1 3 t1t 2 ? sin 60? ? ? 12 ? ?3 3 2 2 2
1 2

(2)设 P ( x, y ) ,由 S ?F PF ? 1 ? 2c? | y |? 4? | y | 得
2

4 | y |? 3 3 ?| y |? 3 3
4

? y??

3 3 4

,将 y ? ? 3

3 4



入椭圆方程解得 x ? ? 5
2

20、解:设双曲线方程为 x -4y = ? .
2

13 , 5 13 3 3 或 5 13 3 3 或 5 13 3 3 或 5 13 3 3 ? P( , ) P(? , ) P( ,? ) P( ? ,? ) 4 4 4 4 4 4 4 4 4

联立方程组得: ?

? x 2 -4y 2 =? ?x ? y ? 3 ? 0

,消去 y 得,3x -24x+(36+ ? )=0
2

x1 ? x2 ? 8 ? ? 36 ? ? ? 设直线被双曲线截得的弦为 AB,且 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),那么: ? x1 x2 ? 3 ? 2 ? ? ? ? 24 ? 12(36 ? ? ) ? 0 36 ? ? 8(12 ? ? ) 8 3 2 2 2 那么:|AB|=
(1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? 1)(8 ? 4 ? 3 )? 3 ? 3
解得: ? =4,所以,所求双曲线方程是:

x ? y2 ? 1 4

2

21、设 A、B 两点的坐标分别为 ( x A , y A )、 ( x B , y B ) ,由题意可知直线 l 的方程为 y ? x ? 2 由方程组 ?

?y ? x ? 2 ? y ? 2 px
2

,得 x ? (2 p ? 4) x ? 4 ? 0
2

?x A ? xB ? 2 p ? 4 ?? ?x A xB ? 4

? PA、 AB、 PB 成等比数列
? | AB | 2 ?| PA | ? | PB |
? 2 | x A ? x B | 2 ? (?2 ? x A ) 2 ? [?4 ? ( x A ? 2)] 2 ? (?2 ? x B ) 2 ? [?4 ? ( x B ? 2)] 2

( x A ? xB ) 2 ? 4x A xB ?| 2 ? x A | ? | 2 ? xB | ( x A ? xB ) 2 ? 4x A xB ?| 2 ? x A | ? | 2 ? xB |

( x A ? xB ) 2 ? 4x A xB ? x A xB ? 2( x A ? xB ) ? 4 ? (2 p ? 4) 2 ? 4 ? 4 ? 4 ? 2(2 p ? 4) ? 4( p ? 0)
? p ? 1, p ? ?4 (不合题意舍去)

? y 2 ? 2x


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