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8.4.2平面向量内积的坐标表示


8.4.2

向量内积的直角 坐标运算

复习
? 1、向量的坐标表示: 平面直角坐标系中的任一向量都可以唯一 ? ? ? 表示成 a ? x i ? y j 的形式。 ? ? ? a y 我们把 a ? x i ? y j 叫做向量的 ? 坐标形式,记作 a =(x,y),
N P(x,y)

?



a =(x,y)叫做向量 a 的坐标

?

j

o

M

x

i

表示。

? 对于直角坐标平面上任意向量 a ,将它的 起点移至原点O ,则其终点的坐标为P(x, ? y)就是向量 a 的坐标 . 即 ? a =(x,y)
y a
P(x,y)

?

N

j

o

M

x

i

? 2、向量 a ? x i ? y j (或 模公式:

?

?

?

?

a

=(x,y))的求

| a |? x ? y
2

?

2
y a
P(x,y)

N

j

o

M

x

i

? 3、平面向量的直角坐标运算 ? ? 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) ,则
?

?
?

a ? b ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 )

?

a ? b ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 )
为一实数,则
?

?



c ? ( x, y ), ?

? c ? (? x, ? y )

达标过程
一、复习导入

注: 1.0 ? a, b ? ?
2.内积的结果是个实数。
2

1. (1) a ? b ?a ? b cos ? a, b ?
( 2) a ? a ? a (或a ? a ? a ) (3) cos ? a, b ??
a ?b a ? b

a ?b ? 0 ( 4) a ? b ?

??? 我们学过两向量的和与差可 以转化为它们相应的坐标来运算 a和b的坐标表示a ? b呢? ,那么怎样用

二、新课学习
1、平面向量内积的坐标表示
e1 是x轴上的单位向量, e2 是y 如图, y A(a ,a ) 轴上的单位向量, 1 2
e1 ? e1 ?1 ; 1 e2 ? e2 ?
e 0 1 ? e2 ? e2 ? e 1 ?

B(b1,b2)
b
e2

.

a
e1

.

o

x

下面研究怎样用 a和b的坐标表示a ? b. 设两个非零向量 a 的坐标是(a1,a2),
b 的坐标是(b1,b2),

y
B(b1,b2)
b

A(a1,a2)
a

则 a ? a1 e1 ? a2 e2
b ? b1 e1 ? b2 e2

e2

那么

a ?b ? ?

o e1

x

故两个向量的内积等于它们横坐标的 乘积与纵坐标乘积之和。
y

a ? b ? a1b1 ? a2b2 .

b (b1,b2)
e2

(a1,a2) a
x

o 根据平面向量内积的坐标表 示,向量的内积的运算可转化 为向量的坐标运算。

e1

热身
设a, b 的直角坐标分别是( 3, - 2) , (-5, 4),求a ? b.

解: a ? b ? 3? (?5) ? (?2) ? 4 ? ?23

已知a(a1, a2 ),b(b1, b2 )
(1) a ? a?a

探究新知
a ??

(2)a ? b ? a ? b ? 0
(3) cos a, b ? a ?b ab

a ?b??
cos a, b ? ?

2、向量的长度和两点间的距离公式
(1) a ? a ? a;

(1)向量的模 设a的坐标是(a1 , a2 ), 则 a ? a12 ? a2 2
( 2)两点间的距离公式 PQ ? PQ ? (x
2

设P(x1 , y1 )、Q ( x2 , y2 ), 则
2

? x1 ) ? (y2 ? y1 )

2

3、两向量垂直

a ? b ? a ?b ? 0
设( a a1 , a2) ,( b b1 , b2) ,则 a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? 0

4、两向量夹角公式的坐标运算
cos a, b ? a ?b ab

设a的坐标是(a1 , a2 ), b的坐标是(b1 , b2 ), 则 cos ? a, b ??
a1b1 ? a2b2
2 2 1

a ? a2

2 1

b ? b2

2

1.若a(a1 , a2 ), b(b1 , b2 ),则 (1)a ? b ?

收获到了

a1b1 ? a2b2

(2) a ? a 2 ? a 2 1 2 (3)a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? 0 a1b1 ? a2b2 (4) cos ? a, b ?? 2 2 2 2 a1 ? a2 b1 ? b2
2.若P( x1, y1 ),Q( x2 , y2 ),则 PQ ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

三、基本技能的形成与巩固
例1 (1)已知a (2 3 ,?2), b(?1, 3 ), 求a ? b; a; b 及 ? a, b ? .

a ? b ? 2 3 ? (?1) ? (?2) ? 3 ? ?4 3, 解:
a ? (2 3 ) 2 ? (?2) 2 ? 4 b ? (?1) 2 ? ( 3 ) 2 ?
?4 3 3 cos ? a, b ?? ? ?? 2? 4 2 a?b a ?b

2

5? ? 0 ?? a, b ?? ? ,?? a, b ?? . 6

1.填空

抢答题

(1)若a (5,0), b(?3,3)
3 2. ? 5 则a ? b ? -15 ____;a ? ____; b ? ____

(2)若( a 3,1 ), b( 3,0)则 ? a, b ?? _____ 6 .
2.判断下述每一对向量是 否垂直。 (1)a(0,?2), b(?1,3)? a ? b ? 0 ? (?1) ? (?2) ? 3 ? ?6 ? 0 不垂直
(2)a(?1,3), b(?3,?1) ? a ? b ? (?1) ? (?3) ? 3? (?1) ? 0 垂直

例2 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 证明?ABC是直角三角形.
? AB ? (2 ? 1) ? (3 ? 2) ? 2 证明:
2 2

AC ? (?2 ? 1) ? (5 ? 2) ? 18
2 2

BC ? (?2 ? 2) 2 ? (5 ? 3) 2 ? 20

? AB ? AC ? BC

2

2

2

?三角形 ABC是直角三角形 .

法二:
证明: ? AB 的坐标是 (2 ? 1,3 ? 2) ? (1,1)
AC的坐标是 (?2 ? 1,5 ? 2) ? (?3,3)
?AB? AC ? 1? (?3) ? 1? 3 ? 0

y C(-2,5) B(2,3) x

注:两个向量的内积是否为零是判断相应 A(1,2) 的两条直线是否垂直的重要方法之一。 ? AB ? AC 如证明四边形是矩形,三角形的高,菱形 0 ? 三角形 ABC 是直角三角形 . 对角线垂直等。

已知?ABC三个顶点坐标A( -1,2), B(3,1),C(2,-3), 求证:?ABC是等腰直角三角形.

小结
(1)掌握平面向量内积的坐标表示,即

两个向量的内积等于它们对应坐标的

乘积之和; (2)要学会运用平面向量内积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.

节清内容
课本P36
A组 1、2、3、5、7中任选一题, 4.

学习

要有竹子样的坚韧的品质


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