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2013普陀区理科数学第三次质量调研模试题


普陀区高三理科数学第三次质量调研试题
考生注意: 2013.5 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚,并在规定的区域贴上条形码. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1.若复数

b?i 0 是纯虚数( i 是虚数单位, b ? R ) ,则 b ? ________. 1 1? i
?1

2.已知函数 f ( x) ? arccos x(?1 ? x ? 1) ,则 f
2

(

2? ) ? _________. 3

3.过抛物线 y ? 4 x 的焦点,方向向量为 (1, 3) 的直线方程是__________. 4.函数 y ? sin( x ?

?
4

) 的图像的纵坐标不变,横坐标缩小为原来的一半,则得到的函数解析式是______.
2

5.若由“ x ? a ”能推出“ x ? x ” ,则实数 a 的取值范围是_________. 6.若圆锥的侧面展开图是半径为 1 的一个半圆,则圆锥的母线与底面半径的夹角为________. 7.若 1 ? (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? 8.在极坐标系中,点 P (2,

? (1? x)n ? a0 ? a1x ?

? an?1xn?1 ? an xn (n ? 2, n ? N ) ,则 an?1 ?

.

) 到曲线 C : ? cos(? ? ) ? 1 的距离的最小值为_________. 3 3 1 1 1 1 9.如图给出的是计算 ? ? ? ? 的值的一个流程图,其中判断框内的横线 2 4 6 20
上应填入的条件是 . 10.若 x 是 1,2, x ,3,5 这五个数据的中位数,且 1,4, x , ? y 这四个数据 的平均数是 1,则 y ?

?

?

1 的最小值是________. x

11.把一颗骰子掷两次,第一次出现的点数记为 a ,第二次出现的点数记为 b , 记方程组 ?

?ax ? by ? 3 解的个数为随机变量 ? ,则 ? 的数学期望 E? ? ______ . ?x ? 2 y ? 2

12.在△ABC 中,若 BC=2, AB ? AC ? 1 ,则△ABC 面积的最大值是________.

x2 y 2 13.如图, F 1 和 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,焦距 a b
为 2c , A 和 B 是以 O 为圆 A
-11

y

F1
B

O

F2

x

心,以 OF1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 △F2 AB 是 等边三角形,设双曲线渐近线的斜率为 k ,则 k ?
2

.

14.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D .若存在正数 T ,使得对于任意 x ? D 都有 f ( x ? T ) ? f ( x) ,则称 y ? f ( x) 为 D 上的上升周期函数, T 为 此函数的一个上升周期. 若定义域为 R 的函数 f ( x ) 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ?| x ? a2 | ?a2 ,且 4 为函数 f ( x ) 的最小上升周期(所有上升周期中最小的) ,则实数 a 的取值范围__________. 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应 编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “? ? k? ?

?
2

2 , k ? Z” 是“实系数一元二次方程 x ? 2 x sin ? ? 1 ? 0 有虚根”的??????(



(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不是充分条件也不是必要条件
n? ? ?

il 16. 已知各项均为正数的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若m
(A) 0 ? q ? 1 (B) 0 ? q ? 1

Sn ?1 1 ? , 则公比 q 的取值范围是? ( Sn
(D) q ? 1



(C) q ? 1

17. 若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? ? 2 x ? x 2 有公共点, 则实数 b 的取值范围是????????? ( (A)[ ?1 ? 2 , ?1 ? 2 ] (B) [?1 ? 2,0] (C) [0, ?1 ? 2] (D) [?1 ? 2, ?2]



? ?ln(? x), x ? [?? , 0) ? ? ? ? 18. 若函数 f ( x) ? ? tan x, x ? [0, ) ( , ? ] ,则 y ? f ( f ( x)) ? 1 的零点的个数是??????( 2 2 ? ? ? 1, x ? ? ? 2
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7



三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤.

19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 设函数 f ( x) ? ?4 ? 2
x x ?1

? a(0 ? x ? 1) 的最大值为 m ,最小值为 n ,其中 a ? 0, a ? R .
-22

(1)求 m, n 的值(用含有 a 的代数式表示) ; (2)已知角 ? 的顶点与平面直角坐标系 xOy 中的原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,且终边经 过点 P(m ? 1, n) ,求 cos(? ?

?
3

) 的值.

20. (本题满分 14 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,PO ⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 . (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求平面 DEA 与平面 DEB 所成二面角的正弦值. P
? ?

E A B O

D C

21.(本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为 6000 元的电脑.商店规定,购买时先支付货款的

1 , 3

剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款,且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为 0.5%. (1)到第一个月底,货主在第一次还款之前,他欠商店多少元? (2)每月的还款额为多少元(结果精确到 0.01)?

22. (本题满分 16 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满 分 6 分.

-3-

3

在数列 {an } 中,已知 a1 , a2 且满足: an?2 ? pan?1 ? qan ( p, q 是常数, n ? N ) ,则称数列 {an } 为二阶
*

线性递推数列.定义方程 x2 ? px ? q 为数列 {an } 的特征方程, 方程的根称为特征根.这时数列 {an } 的通 项公式 an 均可用特征根求得: 当方程 x2 ? px ? q 有两不相同实根 ? 、 ? 时,数列通项可以写成 an ? c1? n ? c2 ? n , (其中 c1 , c2 是待 定系数). (1)当 a1 ? 3, a2 ? 5, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N *) 时,根据上述结论,求数列 {an } 的通项公式; (2)当 a1 ? 1, a2 ? 1, an?2 ? an?1 +an (n ? N *) 时,在 {an } 中是否存在连续的三项满足:

ak ?2 ? 2ak ?1 ? ak (k ? N * ) ?若存在,求出所有 k 的值;若不存在,说明理由;
1 2 (3)在(2)问的条件下,记 Sn =a1Cn +a2Cn + n ,求 {Sn } 的通项公式;并证明:{Sn } 也是一 +anCn

个二阶线性递推数列.

23.(本题满分 18 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 8 分. 已知 O 为坐标原点,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,过椭圆 C 右焦点的直线 l 斜率为 k ,与椭圆 C 交 a 2 b2

于 A, B 两点,若向量 OA ? OB 与向量 (3, ?1) 平行, (1)求

b 的值(结果用含有 k 的代数式表示) ; a

(2)若直线 OA, OB 的斜率分别为 k1 , k2 ,求 k1k2 的值(结果用 k 表示) ; (3)若 P 为椭圆上的一点,且 OP ? ?OA ? ?OB ,是否存在实数 k 使得 ? 2 ? ? 2 为常数,若存在求出 实数 k ,若不存在,请说明理由.

-4-

4


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