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专题3导数与其应用


专题三

导数与其应用

一、考试内容 导数概念及其几何意义 导数及其应用 二、考试要求 (1)理解导数概念及其几何意义,掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则 运算法则求简单函数的导数.。 (2)了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数 的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) ;. 了解函数在某点取得极值的 必

要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般 不超过三次) ;会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超 过三次).。 (3)会利用导数解决实际问题。 三、命题热点
分析近几年的高考试题, 导数这一知识点是高考的必考内容, 对导数的考查主要是有三 个方面:一是考查导数的运算与导数的几何意义,二是考查导数的简单应用,例如求函数的 单调区间、极值与最值等,三是考查导数的综合应用.导数的几何意义以及简单应用通常以 客观题的形式出现,属于容易题和中档题;而对于导数的综合应用,则主要是和函数、不等 式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查,例如一些不等式恒成立问题、参数的取值 范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题.。在近几年的高考试卷中,选择题、 填空题、解答题三种题型中每年都有导数试题,而且常考常新.以函数、不等式、方程等联 系在一起以解答题的形式进行考查是高考命题的新趋势。

四、知识回顾
导数的概念及几何意义 导数及应用 导数的运算 导数及应用 导数的应用 导数及应用

导数及应用

(一)导数的概念及几何意义
(1)平均变化率 一般地,函数 y ? f ( x), x1 , x2 是其定义域内不同的两点,那么函数的变化率可用式子

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 表示,这个式子称,函数 y ? f ( x),从x1到x2的 平均变化率,记为 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x 2 ) ?f ? = ?x ?x x1 ? x2
(2)曲线的切线

1

切线的斜率: k

? lim
?x?0

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? lim ?x ?x?0 ?x

,

切线的方程为: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (4)导数的概念 一般地,函数 y ? f ( x)在x ? x0 处的瞬间变化率是

lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim , ?x ?x ?0 ?x
x ? x0

称它为 y ? f ( x)在x ? x0 处的导数,记为 f ?( x 0 )或y ??

,即

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?x ?0 ?x

(5)导数的几何意义

y ? f ( x)在点x0 处的导数 f ?( x0 ) 的几何意义是:曲线 y ? f ( x)上过点x0 的切线的斜率。
(二)导数的运算 (1)常见基本初等函数的导数公式 (C 为常数); ; ; ; (2)导数的运算法则 法则 1 法则 2 ; .(a>0,且 a≠1) , n∈N+; ;

. .

法则 3

.

(3)复合函数的求导 ①一般地,由几个函数复合而成的函数,称为复合函数。

y ? f ?? ( x)? 由 y ? f (u)与u ? ? ( x)得复合函数

? ? ② y ? f ?? ( x)? 则 y ? x ? f? ? ? x
(三)导数应用 (1)函数单调性的判断
2

设函数 f ( x) 在某个区间 ( a, b) 内可导, ①如果
f ?( x) ? 0 ,那么 y ? f ( x) 在这个区间 ( a, b) 内单调递增;

②如果 f ?( x) ? 0 ,那么 y ? f ( x) 在这个区间 ( a, b) 内单调递减; ③如果 f ?( x) ? 0 ,那么 y ? f ( x) 在这个区间 ( a, b) 内是常数。 (2)求函数的单调区间 对可导函数 y ? f ( x) 的求单调区间的步骤: ①求 y ? f ( x) 的定义域 ②求出 f ?( x) ③令 f ?( x) ? 0 ,求出全部驻点(补充定义:若函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) ? 0 ,
则称点 x0 为函数 y ? f ( x) 的驻点。 )

④驻点把定义域分成几个区间,列表考查在这几个区间内 f ?( x) 的符号,就可确定
y ? f ( x) 的单调区间。

(3)利用导数判断函数单调性的应用 ①证明不等式 ②研究方程根的个数 ③求参数的值(或取值范围) ④求函数的值域 (4)函数的极值 ①函数的极值
设函数 y ? f ( x)在点x0 附近有定义: ⅰ)如果对 x0 附近的所有点,都有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) 是函数 y ? f ( x) 的一个极大 值。记作: ymax ? f ( x0 )

ⅱ)如果对 x0 附近的所有点,都有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) 是函数 y ? f ( x) 的一个极小
值。记作: ymin ? f ( x0 )

②求导函数极值的步骤,设 y ? f ( x)可导,则 ⅰ)求导数 f ?( x) ⅱ)求方程 f ?( x) ? 0 的所有实数根 ⅲ)检查 f ?( x) 在方程左右的值的符号,如果左正右负,那么 y ? f ( x) 在这个根处取极大
值, 如果左负右正, 那么 y ? f ( x) 在这个根处取极小值。 如果如果左正同号, 那么 y ? f ( x) 在这个根处没有极值。 特别注意: f ?( x) 无意义的点也要讨论,即可先求出 f ?( x) ? 0 的根和 f ?( x) 无意义的点, 这些点都称可疑点,再用定义去判断。

(6)函数的最大值与最小值

3

① 函数的最大值与最小值 一般地,在闭区间 ?a, b? 上的连续函数 f ( x) 必有最大值与最小值,在开区间 ?a, b ? 连续函数 f ( x) 不一定有最大值与最小值。 ②求函数的最大值与最小值的步骤 设函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,在开区间 ?a, b ? 可导,那么求函数 f ( x) 在闭区 间 ?a, b? 上的最最大值与最小值的步骤: ⅰ)求 f ( x) 在开区间 ?a, b ? 内的极值, ⅱ) 将 f ( x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较, 其中最大的为最大值, 最小的为最小值。 (8)生活中的优化问题 五、典型例题 x 1、曲线 y ? 在点 ?1,1? 处的切线方程(B) 2x ? 1
A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 5 ? 0

解析:? y ? ? (

x 2x ? 1 ? 2x ?1 )? ? ? 2 2x ? 1 (2 x ? 1) (2 x ? 1) 2

y - 1 ? ?1 ? (x - 1 ),即 ? y? x?1 ? ?1 ,切点坐标为(1,1) ? 切线方程为
? 切线方程为 x? y?2 ?0
2、2010 全国卷Ⅰ理) 已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则α 的值为( A.1 答案 B 解:设切点 P( x0 , y0 ) ,则 y0 B. 2 C. -1 D.-2 )

? x0 ? 1, y0 ? ln( x0 ? a) ,又 y ' |x ? x0 ?
选B

1 ?1 x0 ? a

? x0 ? a ? 1? y0 ? 0, x 0 ? ?1?a ? 2 .故答案
3.(2009 全国卷Ⅱ理)曲线 y ? A. x ? y ? 2 ? 0 答案 B 解

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1
C. x ? 4 y ? 5 ? 0

( D. x ? 4 y ? 5 ? 0

)

B. x ? y ? 2 ? 0

y? |x?1 ?

2x ?1 ? 2x 1 | ? [ ? ] |x? 1 ? ?1 , x ? 1 (2 x ? 1) 2 (2 x ? 1) 2
故选 B.

故切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0

4

4.若曲线 f ? x ? ? ax2 ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 解析 由题意该函数的定义域 x ? 0 ,由 f
?

.

1 。因为存在垂直于 y 轴的切 x 1 ? 线,故此时斜率为 0 ,问题转化为 x ? 0 范围内导函数 f ? x ? ? 2ax ? 存在零点。 x 1 解法 1 (图像法)再将之转化为 g ? x ? ? ?2ax 与 h ? x ? ? 存在交点。当 a ? 0 不符合题 x 意,当 a ? 0 时,如图 1,数形结合可得显然没有交点,当 a ? 0 如图 2,此时正好有一个

? x ? ? 2ax ?

交点,故有 a ? 0 应填 ? ??,0 ? 或是 ?a | a ? 0? 。

解法 2 (分离变量法)上述也可等价于方程 2ax ?

1 ? 0 在 ? 0, ?? ? 内有解,显然可得 x

a??

1 ? ? ??, 0 ? 2x2

5. ( 2009 浙 江 文 ) ( 本题 满 分 15 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b

(a, b ? R) .
(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ... 解析 又? (Ⅰ )由题意得 f ?( x) ? 3x ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)
2

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?
导函数 f ?( x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?( x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有
5

(Ⅱ )函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于

f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1) 2 ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1 6. (2009 湖北卷文) (本小题满分 14 分) 已知关于 x 的函数 f(x)=

1 x3 +bx2+cx+bc,其导函数为 f+(x).令 g(x)=∣f+(x) ∣, 3 4 ,试确定 b、c 的值: 3

记函数 g(x)在区间[-1、1]上的最大值为 M. (Ⅰ)如果函数 f(x)在 x=1 处有极值-

(Ⅱ)若∣b∣>1,证明对任意的 c,都有 M>2: (Ⅲ)若 M≧K 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的最大值。 本小题主要考察函数、 函数的导数和不等式等基础知识, 考察综合运用数学知识进行推理 论证的能力和份额类讨论的思想(满分 14 分) (I)解析

f '( x) ? ? x2 ? 2bx ? c ,由 f ( x) 在 x ? 1 处有极值 ?

4 3

? f '(1) ? ?1 ? 2b ? c ? 0 ? 可得 ? 1 4 f (1) ? ? ? b ? c ? bc ? ? ? 3 3 ?
解得 ?

?b ? 1 ?b ? ?1 ,或? ?c ? ?1 ?c ? 3

若 b ? 1, c ? ?1 ,则 f '( x) ? ? x2 ? 2x ?1 ? ?( x ?1)2 ? 0 ,此时 f ( x) 没有极值; 若 b ? ?1, c ? 3 ,则 f '( x) ? ? x2 ? 2x ? 3 ? ?( x ? 1)( x ?1) 当 x 变化时, f ( x) , f '( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

(??, ?3)

?3
0 极小值

(?3,1)
+

1 0 极大值

(1, ??)

?
?

?
?

?12

?

?

4 3

4 ? 当 x ? 1 时, f ( x) 有极大值 ? ,故 b ? ?1 , c ? 3 即为所求。 3
(Ⅱ)证法 1: g ( x) ?| f '( x) |?| ?( x ? b) ? b ? c |
2 2

当 | b |? 1 时,函数 y ? f '( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1.1] 之外。

? f '( x) 在 [?1,1] 上的最值在两端点处取得
6

故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个

? 2M ? g (1) ? g (?1) ?| ?1 ? 2b ? c | ? | ?1 ? 2b ? c |?| 4b |? 4, 即 M ? 2
(Ⅲ)解法 1: g ( x) ?| f '( x) |?| ?( x ? b)2 ? b2 ? c | (1)当 | b |? 1 时,由(Ⅱ)可知 M ? 2 ; (2)当 | b |? 1 时,函数 y ? f '( x )的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 内, 此时 M ? max ?g (?1), g (1), g (b)? 由 f '(1) ? f '(?1) ? 4b, 有 f '(b) ? f '(?1) ? b( 1)2 ? 0 ①若 ?1 ? b ? 0, 则 f '(1) ? f '(?1) ? f '(b), ? g (?1) ? max ?g (1), g (b)? , 于是 M ? max ?| f '(1),| f '(b) |? ?

1 1 1 1 (| f '(1) | ? f '(b) |) ? | f '(1) ? f '(b) |? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2

②若 0 ? b ? 1 ,则 f '(?1) ? f '(1) ? f '(b), ? g (1) ? max ?g (?1), g (b)? 于是 M ? max ?| f '(?1) |,| f '(b) |? ? 综上,对任意的 b 、 c 都有 M ? 而当 b ? 0, c ?

1 1 1 1 (| f '(?1) | ? | f '(b) |) ? | f '( ?1) ? f '(b) |? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2

1 2

1 1 1 2 时, g ( x) ? ? x ? 在区间 [?1,1] 上的最大值 M ? 2 2 2
1 。 2

故 M ? k 对任意的 b 、 c 恒成立的 k 的最大值为 六、近几年高考试题分析

sinx 1 ?π ? 1、 (2011 湖南) 曲线 y= - 在点 M? ,0?处的切线的斜率为( sinx+cosx 2 ?4 ? 1 1 A.- B. 2 2 C.- 2 2 D. 2 2

)

sinx 1 B 【解析】 对 y= - 求导得到 sinx+cosx 2 + - - y′= 2 + π ? π 当 x= ,得到 y′?x= 4 4 ? = 1



1 +

2



? 2 ? + ? 2 ? ?2

1 = . 2?2 2

7

(2009 湖南卷文)若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [a, b] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是 y y y y ( )

o

a

b x

o

a

b x
B.

o

a

b x
C.

o

a

b x

A .

D.

解析

因为函数 y ? f ( x) 的导函数 ...y ? f ?( x) 在区间 [a , b ] 上是增函数,即在区间 [a, b] 注意 C 中 y? ? k 为常数噢.

上各点处的斜率 k 是递增的,由图易知选 A.

七、总结 1.导数的概念及其运算是导数应用的基础, 是高考重点考查的内容。 考查方式以客观题为主, 主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少 的工具, 特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。 选择填空题侧重 于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与 函数、不等式、数列的综合应用。 3.应用导数解决实际问题,关键是建立恰当的数学模型(函数关系) ,如果函数在给定区间 内只有一个极值点,此时函数在这点有极大(小)值,而此时不用和端点值进行比较,也可 以得知这就是最大(小)值。 八、命题热点 (一)方法总结 导数是中学限选内容中较为重要的知识, 由于其应用的广泛性, 为我们解决所学过的有关函 数问题提供了一般性方法, 是解决实际问题强有力的工具。 导数的概念及其运算是导数应用 的基础,是高考重点考查的对象。要牢记导数公式,熟练应用导数公式求函数的导数,掌握 求导数的方法。 应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型, 了解导数概念的实 际背景。应用导数求函数最值及极值的方法在例题讲解中已经有了比较详细的叙述。 (二)2012 年高考预测 导数的考查方式以客观题为主,主要考查求导数的基本公式和法则,以及导数的几何意义。 也可以解答题的形式出现, 即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题。 导 数的应用是重点,侧重于利用导数确定函数的单调性和极值、最值、值域问题。 (三)考点分析 考点一:求导公式。 例 1. f ?( x ) 是 f ( x) ?

1 3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ?(?1) 的值是 3



8

解析: f ?( x) ? x 2 ? 2 ,所以 f ' ?? 1? ? 1 ? 2 ? 3 答案:3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 M (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 是 y ?

1 x ? 2 ,则 2

f (1)? f ? (1) ?
解析:因为 k ?



1 1 ,f (1)) ,可得点 M 的纵坐标为 ,所以 f ' ?1? ? ,由切线过点 M (1 2 2 5 5 ,所以 f ?1? ? ,所以 f ?1? ? f ' ?1? ? 3 2 2
答案:3

, ? 3) 处的切线方程是 例 3.曲线 y ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 2 在点 (1



, ? 3) 处切线的斜率为 k ? 3 ? 4 ? 4 ? ?5 ,所以设切 解析: y' ? 3x 2 ? 4x ? 4 ,? 点 (1 , ? 3) 带入切线方程可得 b ? 2 , , ? 3) 线方程为 y ? ?5 x ? b , 将点 (1 所以, 过曲线上点 (1
处的切线方程为: 5 x ? y ? 2 ? 0 答案: 5 x ? y ? 2 ? 0 点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。
3 2 例 4. 已知曲线 C : y ? x ? 3x ? 2 x ,直线 l : y ? kx ,且直线 l 与曲线 C 相切于点

?x0 , y0 ? x0 ? 0 ,求直线 l 的方程及切点坐标。
解析:? 直线过原点,则 k ?

y0 ( x0 ? 0) 。由点 ( x0 , y0 ) 在曲线 C 上,则 x0

y0 ? x0 ? 3x ? 2 x 0 ,?

3

2

y0 2 ? x0 ? 3x ? 2, 又y ? ? 3x 2 ? 6 x ? 2 x0

? 在(x0 , y 0 )处曲线C的切线斜率为 k
2 2

? f ?( x0 ) ? 3x0 ? 6 x0 ? 2
2

? x0 ? 3x ? 2 ? 3x0 ? 6 x0 ? 2, 整理得: 2 x0 ? 3x0 ? 0,? x0 ?
此时, y 0 ? ? , k ? ?

3 或0 (舍) 2

3 8

1 4

所以,直线 l 的方程为 y ? ?

1 ? 3 3? x, 切点坐标是 ? ,? ? 4 ? 2 8?
9

答案:直线 l 的方程为 y ? ?

1 ? 3 3? x, 切点坐标是 ? ,? ? 4 ? 2 8?

点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在 切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不 是必要条件。 考点四:函数的单调性。 例 5.已知 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 的取值范围。
互斥 对立

解析:函数 f ( x) 的导数为 f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 1 对 于 x ? R 都 有 f ' ?x ? ? 0 时 , f ?x ? 为 减 函 数 。 由 3ax2 ? 6 x ? 1 ? 0?x ? R? 可 得

?a ? 0 ,解得 a ? ?3 。所以,当 a ? ?3 时,函数 f ?x ? 对 x ? R 为减函数。 ? ? ? ? 36 ? 12a ? 0

1? 8 ? (1) 当 a ? ?3 时, f ?x ? ? ?3x ? 3x ? x ? 1 ? ?3? x ? ? ? 。 3? 9 ?
3 2

3

由函数 y ? x 3 在 R 上的单调性,可知当 a ? ?3 是,函数 f ?x ? 对 x ? R 为减函数。 (2) 当 a ? ?3 时,函数 f ?x ? 在 R 上存在增区间。所以,当 a ? ?3 时,函数 f ?x ? 在 R 上不是单调递减函数。 综合(1) (2) (3)可知 a ? ?3 。 答案: a ? ?3 点评: 本题考查导数在函数单调性中的应用。 对于高次函数单调性问题, 要有求导意识。 考点五:函数的极值。 例 6. 设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值。
3 2

(1)求 a、b 的值;

3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围。 (2)若对于任意的 x ? [0,
2 2 解析: ( 1 ) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b , 因 为 函 数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取 得 极 值 , 则有

?6 ? 6a ? 3b ? 0, f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .即 ? ,解得 a ? ?3 , b ? 4 。 24 ? 12 a ? 3 b ? 0 . ?
(2) 由 (Ⅰ) 可知, f ( x) ? 2x ? 9x ? 12x ? 8c , f ?( x) ? 6x ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) 。
3 2 2

1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (12) , 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 。所以, 当 x ? (0,
当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ?8 c , f (3) ? 9 ? 8c 。则当 x ??0, 3?
10

时, f ( x ) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c 。因为对于任意的 x ??0, 3? ,有 f ( x) ? c2 恒成立, 所以

9 ? 8c ? c 2 ,解得

c ? ?1 或 c ? 9 ,因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) (9, ? ?) 。

? 1) 答案: (1) a ? ?3 , b ? 4 ; (2) (??,

(9, ? ?) 。

点评: 本题考查利用导数求函数的极值。 求可导函数 f ?x ? 的极值步骤: ①求导数 f ' ? x ? ; ②求 f ' ?x ? ? 0 的根;③将 f ' ?x ? ? 0 的根在数轴上标出,得出单调区间,由 f ' ? x ? 在各 区间上取值的正负可确定并求出函数 f ?x ? 的极值。 考点六:函数的最值。 例 7. 已知 a 为实数, f ?x ? ? x 2 ? 4 ?x ? a ? 。求导数 f ' ? x ? ; (2)若 f ' ?? 1? ? 0 ,求 f ?x ? 在区间 ?? 2,2?上的最大值和最小值。 解析: (1) f ?x? ? x 3 ? ax2 ? 4 x ? 4a ,? (2) f ' ?? 1? ? 3 ? 2a ? 4 ? 0 ,? a ?

?

?

f ' ?x ? ? 3x 2 ? 2ax ? 4 。

1 2 。? f ' ?x? ? 3x ? x ? 4 ? ?3x ? 4??x ? 1? 2 4 令 f ' ?x ? ? 0 , 即 ?3x ? 4??x ? 1? ? 0 , 解得 x ? ?1 或 x ? , 则 f ?x ? 和 f ' ? x ? 在区间 ?? 2,2? 3 上随 x 的变化情况如下表:

x
f ' ?x ? f ?x ?
f ?? 1? ?

?2

?? 2,?1?


?1
0 极大值

4? ? ? ? 1, ? 3? ?
— 减函数

4 3
0 极小值

?4 ? ? ,2 ? ?3 ?
+ 增函数

2

0

增函数

0

9 50 50 ?4? ?4? , f? ??? 。所以, f ?x ? 在区间 ?? 2,2? 上的最大值为 f ? ? ? ? ,最 2 27 27 ?3? ?3? 9 。 2
2

小值为 f ?? 1? ?

答案: (1) f ' ?x ? ? 3x ? 2ax ? 4 ; ( 2) 最大值为 f ? ? ? ?

?4? ?3?

9 50 , 最小值为 f ?? 1? ? 。 2 27

点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数 f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的最值,要先求 出函数 f ?x ? 在区间 ?a, b ? 上的极值,然后与 f ?a ? 和 f ?b ? 进行比较,从而得出函数的最大最 小值。
11

考点七:导数的综合性问题。 例 8. 设函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c (a ? 0) 为奇函数,其图象在点 (1, f (1)) 处的切线与直线

x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f '( x) 的最小值为 ?12 。 (1)求 a , b , c 的值;
(2)求函数 f ( x ) 的单调递增区间,并求函数 f ( x ) 在 [?1,3] 上的最大值和最小值。 解析: (1)∵ f ( x ) 为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) ,即 ?ax ? bx ? c ? ?ax ? bx ? c
3 3

∴ c ? 0 ,∵ f '( x) ? 3ax 2 ? b 的最小值为 ?12 ,∴ b ? ?12 ,又直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 的斜率为

1 ,因此, f '(1) ? 3a ? b ? ?6 ,∴ a ? 2 , b ? ?12 , c ? 0 . 6

(2) f ( x) ? 2 x3 ?12 x 。

f '( x) ? 6x2 ?12 ? 6( x ? 2)( x ? 2) ,列表如下:
? 2
0
极大

x
f '( x)
f ( x)

(??, ? 2)

(? 2, 2)
?
减函数

2
0
极小

( 2, ??)

?
增函数

?
增函数

所 以 函 数 f ( x ) 的 单 调 增 区 间 是 (??, ? 2) 和 ( 2, ??) , ∵ f (?1) ? 10 ,

f ( 2) ? ?8 2 , f (3) ? 18 , ∴ f ( x) 在 [?1,3] 上 的 最 大 值 是 f (3) ? 18 , 最 小 值 是 f ( 2) ? ?8 2 。
答案: (1) a ? 2 ,b ? ?12 , c ? 0 ; (2)最大值是 f (3) ? 18 ,最小值是 f ( 2) ? ?8 2 。 点评:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以 及推理能力和运算能力。

九、巩固练习
? 选择题

1 x2 1. 已知曲线 y ? 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( A ) 2 4
A.1
3

B.2
2

C .3

D.4 ( B )

2. 曲线 y ? x ? 3x ? 1在点(1,-1)处的切线方程为 A. y ? 3 x ? 4

B. y ? ?3x ? 2 C. y ? ?4 x ? 3 D. y ? 4 x ? 5 ( D )

2 3. 函数 y ? ( x ? 1) ( x ? 1) 在 x ? 1 处的导数等于

A.1

B.2

C.3

D.4
12

4. 已知函数 f ( x)在x ? 1处的导数为 3, 则f ( x) 的解析式可能为 A. f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 3( x ? 1) C. f ( x) ? 2( x ? 1) 2 D. f ( x) ? x ? 1 B. f ( x) ? 2( x ? 1)

( A



5. 函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

6. 函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 1 是减函数的区间为( D

)

(A) (2, ??) (B) ( ??, 2) (C) ( ??, 0) (D) (0, 2) 7. 若函数 f ?x? ? x 2 ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ' ? x ? 的图象是( A y y y y 8. 函数 f ( x) ? 2 x2 ? x3 在区间 [0 , 6] 上的最大值是( A ) A. o )

1 3

32 3

x

B.o

16 3

x

C. 12

o

D x .9 A )

o D

x

9. 函数 y ? x 3 ? 3x 的极大值为 m ,极小值为 n ,则 m ? n为 ( B C A A.0 B.1 C.2 D.4 10. 三次函数 f ?x? ? ax3 ? x 在 x ? ?? ?,??? 内是增函数,则 ( A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 1

A



D. a ?

11. 在函数 y ? x 3 ? 8x 的图象上,其切线的倾斜角小于 是 A.3 B.2 ( D C.1

? 的点中,坐标为整数的点的个数 4
D.0

1 3



12. 函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函数

f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( A )
A.1 个 C.3 个 ? 填空题
3

B.2 个 D. 4 个

y

y ? f ?( x)

13. 曲线 y ? x 在点 ?1,1?处的切线与 x 轴、 直 线 x ? 2 所围成的三角形的面积为 14. 已 知 曲 线 y ?

b

a

O

x

8 。 3

1 3 4 x ? , 则 过 点 P(2, 4) “ 改 为 在 点 P(2, 4) ” 的 切 线 方 程 是 3 3

13

y ? 4x ? 4 ? 0
15. 已知 f ( n ) ( x) 是对函数 f ( x ) 连续进行 n 次求导,若 f ( x) ? x6 ? x5 ,对于任意 x ? R , 都有 f ( n ) ( x) =0,则 n 的最少值为 7 。

16. 某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储 费用为 4 x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x ? 20 吨. ? 解答题 17. 已知函数 f ?x? ? x 3 ? ax2 ? bx ? c ,当 x ? ?1 时,取得极大值 7;当 x ? 3 时,取得极 小值.求这个极小值及 a, b, c 的值. 解: f ' ?x ? ? 3x 2 ? 2ax ? b 。 据题意,-1,3 是方程 3x ? 2ax ? b ? 0 的两个根,由韦达定理得
2

2a ? ?1? 3 ? ? ? ? 3 ? ?? 1 ? 3 ? b ? 3 ?
∴ a ? ?3, b ? ?9 ∴ f ?x? ? x ? 3x ? 9 x ? c
3 2

∵ f ?? 1? ? 7 ,∴ c ? 2 极小值 f ?3? ? 3 ? 3 ? 3 ? 9 ? 3 ? 2 ? ?25
3 2

∴极小值为-25, a ? ?3, b ? ?9 , c ? 2 。 18. 已知函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9 x ? a.
3 2

(1)求 f ( x) 的单调减区间; (2)若 f ( x) 在区间[-2,2].上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.
2 解: (1) f ?( x) ? ?3x ? 6 x ? 9. 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1或x ? 3,

所以函数 f ( x) 的单调递减区间为 (??,?1), (3,??). (2)因为 f (?2) ? 8 ? 12 ? 18 ? a ? 2 ? a,

f (2) ? ?8 ? 12 ? 18 ? a ? 22 ? a,

14

所以 f (2) ? f (?2).因为在(-1,3)上 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在[-1,2]上单调递 增,又由于 f ( x) 在[-2,-1]上单调递减,因此 f ( 2) 和 f (?1) 分别是 f ( x) 在区间 ?? 2,2? 上的最大值和最小值.于是有 22 ? a ? 20 ,解得 a ? ?2. 故 f ( x) ? ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? 2. 因此 f (?1) ? 1 ? 3 ? 9 ? 2 ? ?7,

即函数 f ( x) 在区间 ?? 2,2?上的最小值为-7. 19. 设 t ? 0 ,点 P( t ,0)是函数 f ( x) ? x 3 ? ax与g ( x) ? bx2 ? c 的图象的一个公共点, 两函数的图象在点 P 处有相同的切线。 (1)用 t 表示 a, b, c ; (2)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围。 解: (1)因为函数 f ( x) , g ( x) 的图象都过点( t ,0) ,所以 f (t ) ? 0 , 即 t ? at ? 0 .因为 t ? 0, 所以 a ? ?t . g (t ) ? 0,即bt 2 ? c ? 0, 所以c ? ab.
3 2

又因为 f ( x) , g ( x) 在点( t ,0)处有相同的切线,所以 f ?(t ) ? g ?(t ). 而 f ?( x) ? 3x 2 ? a, g ?( x) ? 2bx, 所以3t 2 ? a ? 2bt.
2 将 a ? ?t 代入上式得 b ? t . 3 2 3 因此 c ? ab ? ?t . 故 a ? ?t , b ? t , c ? ?t .

(2) y ? f ( x) ? g ( x) ? x ? t x ? tx ? t , y? ? 3x ? 2tx ? t ? (3x ? t )(x ? t ) .
3 2 2 3 2 2

当 y ? ? (3x ? t )(x ? t ) ? 0 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 单调递减. 由 y ? ? 0 ,若 t ? 0, 则 ?

t t ? x ? t ;若 t ? 0, 则t ? x ? ? . 3 3

由题意,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,则

t t t (?1,3) ? (? , t )或(?1,3) ? (t ,? ). 所以 t ? 3或 ? ? 3.即t ? ?9或t ? 3. 3 3 3
又当 ? 9 ? t ? 3 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减. 所以 t 的取值范围为 (??,?9] ? [3,??).
3 2 20. 设函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。

(1)求 b 、 c 的值。 (2)求 g ( x) 的单调区间与极值。 解: (1)∵ f ? x ? ? x ? bx ? cx ,∴ f ? ? x ? ? 3x ? 2bx ? c 。从而
3 2 2

15

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? (3x2 ? 2bx ? c) = x3 ? (b ? 3) x2 ? (c ? 2b) x ? c 是 一个奇函数,所以 g (0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ; (2)由(Ⅰ)知 g ( x) ? x3 ? 6 x ,从而 g ?( x) ? 3x2 ? 6 ,由此可知,

(??, ? 2) 和 ( 2, ??) 是函数 g ( x) 是单调递增区间; (? 2, 2) 是函数 g ( x) 是单调递减区间;
g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 , g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值,极小
值为 ?4 2 。 21. 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问 该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 解:设长方体的宽为 x (m) ,则长为 2 x (m),高为
h? 18 ? 12x ? 4.5 ? 3x(m) 4 3? ? ? 0<x< ? . 2? ?

故长方体的体积为

V ?x ? ? 2 x 2 ?4.5 ? 3x ? ? 9 x 2 ? 6 x 3 m 3

? ?

3? ? ?0 ? x ? ? 2? ?

从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V ' ?x ? ? 0 ,解得 x ? 0 (舍去)或 x ? 1 ,因此 x ? 1 . 当 0 ? x ? 1 时, V ' ?x ? ? 0 ;当 1 ? x ?

3 时, V ' ?x ? ? 0 , 2

故在 x ? 1 处 V ?x ? 取得极大值,并且这个极大值就是 V ?x ? 的最大值。 从而最大体积 V ? V ' ?x? ? 9 ?1 ? 6 ?1 m ,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m.
2 3 3

? ?

答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3m 。

3

22. 已知函数 f ( x) ?
2

1 3 1 2 x ? ax ? bx 在区间 [?11) , , (1, 3] 内各有一个极值点. 3 2

(1)求 a ? 4b 的最大值;

,f (1)) 处的切线为 l ,若 l 在点 A 处穿过 (2)当 a ? 4b ? 8 时,设函数 y ? f ( x) 在点 A(1
2

函数 y ? f ( x) 的图象(即动点在点 A 附近沿曲线 y ? f ( x) 运动,经过点 A 时,从 l 的一侧 进入另一侧) ,求函数 f ( x ) 的表达式.

16

解: (1)因为函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? bx 在区间 [?11) , , (1, 3] 内分别有一个极值点,所 3 2

以 f ?( x) ? x2 ? ax ? b ? 0 在 [?11) , , (1, 3] 内分别有一个实根, 设两实根为 x1,x2 ( x1 ? x2 ) ,则 x2 ? x1 ?

a 2 ? 4b ,且 0 ? x2 ? x1 ≤ 4 .于是

x2 ? 3 ,即 a ? ?2 , b ? ?3 时等号 0 ? a2 ? 4b ≤ 4 , 0 ? a2 ? 4b ≤16 ,且当 x1 ? ?1,
成立.故 a ? 4b 的最大值是 16.
2

,f (1)) 处的切线 l 的方程是 (2)解法一:由 f ?(1) ? 1 ? a ? b 知 f ( x ) 在点 (1
2 1 y ? f (1) ? f ?(1)( x ? 1) ,即 y ? (1 ? a ? b) x ? ? a , 3 2

,f ( x)) 处空过 y ? f ( x) 的图象, 因为切线 l 在点 A(1
所以 g ( x) ? f ( x) ? [(1 ? a ? b) x ?

2 1 ? a] 在 x ? 1 两边附近的函数值异号,则 3 2

x ? 1 不是 g ( x) 的极值点.
而 g ( x) ?

1 3 1 2 2 1 x ? ax ? bx ? (1 ? a ? b) x ? ? a ,且 3 2 3 2

g?( x) ? x2 ? ax ? b ? (1 ? a ? b) ? x2 ? ax ? a ?1 ? ( x ?1)( x ? 1 ? a) .
若 1 ? ?1 ? a ,则 x ? 1 和 x ? ?1 ? a 都是 g ( x) 的极值点.
2 所以 1 ? ?1 ? a ,即 a ? ?2 ,又由 a ? 4b ? 8 ,得 b ? ?1 ,故 f ( x ) ?

1 3 x ? x2 ? x . 3

解法二:同解法一得 g ( x) ? f ( x) ? [(1 ? a ? b) x ?

2 1 ? a] 3 2

1 3a 3 ? ( x ? 1)[ x 2 ? (1 ? ) x ? (2 ? a)] . 3 2 2

,f (1)) 处穿过 y ? f ( x) 的图象, 因为切线 l 在点 A(1 所以 g ( x) 在 x ? 1 两边附近的函数值异
号,于是存在 m1,m2 ( m1 ? 1 ? m2 ) . 当 m1 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, g ( x) ? 0 ; 或当 m1 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, g ( x) ? 0 . 设 h( x ) ? x ? ? 1 ?
2

? ?

3a ? ? 3a ? ? x ? ? 2 ? ? ,则 2 ? ? 2?

当 m1 ? x ? 1 时, h( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, h( x) ? 0 ;
17

或当 m1 ? x ? 1 时, h( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, h( x) ? 0 . 由 h(1) ? 0 知 x ? 1 是 h( x) 的一个极值点,则 h(1) ? 2 ?1 ? 1 ?
2 所以 a ? ?2 ,又由 a ? 4b ? 8 ,得 b ? ?1 ,故 f ( x ) ?

3a ?0, 2

1 3 x ? x2 ? x . 3

18


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