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2015年全国高中数学联赛福建预赛试题 Word版含答案


2015 年福建省高中数学竞赛 暨 2015 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案
(考试时间:2015 年 5 月 24 日上午 9:00-11:30,满分 160 分) 一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中 的横线上)
x?4 ? ? 1 .设集合 A ? ? x ? 0, x ? Z ? ,从集合

A 中随机抽取一个元素 x ,记 x ?3 ? ?

? ? x2 ,则随机变量 ? 的数学期望 E? ?
【答案】 5



【解答】 A ? ? ? 4 , ? 3, ? 2, ?1,,, 0 1 2 ? ,随机变量 ? 的取值为 0,1,4,9, 16。 易得, ? 的概率分布列为

?
P

0
1 7

1
2 7 9 ?

4
2 7

9
1 7

16
1 7



1 2 2 E? ? 0 ? ?1 ? ? 4 ? 7 7 7

1 1 ? 1?6 ? 。5 ? 7 7

2.已知 f ( x) ? x ? g ( x) ,其中 g ( x) 是定义在 R 上,最小正周期为 2 的函数。 若 f ( x) 在 区 间 ?2 , 4? 上 的 最 大 值 为 1 , 则 f ( x) 在 区 间 ?1 0, 12 ? 上的最大值 为 【答案】 9 。 【解答】依题意,有 f ( x ? 2) ? ( x ? 2) ? g ( x ? 2) ? x ? g ( x) ? 2 ? f ( x) ? 2 。 ∵ ∴
f ( x) 在区间 ?2 , 4? 上的最大值为 1, f ( x) 在区间 ?4 , 6? 上的最大值为 3,在区间 ?6 , 8? 上的最大值为 5,在区

间 ?8 , 10? 上的最大值为 7,在区间 ?10 , 12? 上的最大值为 9。 3. F1 、 F2 为椭圆 C :
x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若椭圆 C 上存 a 2 b2

在一点 P ,使得 PF1 ? PF2 ,则椭圆离心率 e 的取值范围为



-1-

? 2 ? , 1? 【答案】 ? ? ? 2 ?

【解答】设 A 为椭圆 C 的上顶点,依题意有 ?F1 AF2 ? 90? 。 ∴
c c2 1 2 ? e ? 1。 ?F2 AO ? 45? , ? 1 。 c2 ? a2 ? c2 , 2 ? , b a 2 2

4 . 已 知 实 数 x , y , z 满 足 x2 ? 2 y 2 ? 3 z 2 ? 2 4, 则 x ? 2 y ? 3z 的 最 小 值 为 。 【答案】 ?12 【解答】由柯西不等式,知
2 2 2 2 2 ? 2 ( x ? 2 y ? 3z )2 ? (1? x ? 2 ? 2 y ? 3 ? 3z ) 2 ? ? ? 1 ? ( 2) ? ( 3) ? ? ( x ? 2 y ? 3 z ) ? 144

。 ∴ ∴
x?2 y ?3 z ? ? 1, 2当且仅当

x 2y 3y ? , 即 x ?y ?z ? ? ? 1 2 3

2 时等号成立。

x ? 2 y ? 3z 的最小值为 ?12 。

5.已知函数 f ( x) ? x 2 cos

?x
2

,数列 ? an ? 中, an ? f (n) ? f (n ? 1) ( n ? N * ) , 。 依 题 意 , 有

则数列 ? an ? 的前 100 项之和 S100 ? 【答案】 10200 【 解 答
100



T100 ? ? f (n) ? ? 22 ? 42 ? 62 ? 82 ? L ? 982 ? 1002 ? 4(3 ? 7 ? L ? 99)
n ?1

? 4?

3 ? 99 ? 25 ? 5100 。 2



S1 0 0? 2 T 1 0 ?0 f( 1 )? f ( 1 0 ? 1 ) ?2 5 1 ?0 0 ? 0? 0。 1 0 2 0 0

6.如图,在四面体 ABCD 中, DA ? DB ? DC ? 2 , DA ? DB , DA ? DC ,且
DA 与 平面 ABC 所成角的余弦值为 R?

6 。则该四面体外接球半径 3

。 【答案】

3

【解答】如图,作 DO ? 面 ABC 于 O ,连结 AO ,并延长交 BC 于 点 E , 连 结 DE 。 则 ? D A E 是 DA 与 平 面 ABC 所 成 的 角 ,

-2-

cos ?DAE ?

6 。 3

∵ DA ? DB ? DC ? 2 , DA ? DB , DA ? DC , ∴ DA ? 面 DBC , O 为 △ABC 的外心,且 AB ? AC ? 2 2 。 ∴
DA ? DE , E 为 BC 中 点 , 结 合 cos ?DAE ?

6 知 , AE ? 6 , 3

BE ? AB2 ? AE2 ? 8 ? 6 ? 2 。
∴ ∴ , DB ? DC 。 B C? 2 B E ? 2 2
DA 、 DB 、 DC 两两互相垂直,四面体外接球半径 R ? 3 。

7. 在复平面内, 复数 z1 、 若 z1 ? z2 ? 2 , Z2 、 z2 、 z 3 的对应点分别为 Z1 、 Z3 。

uuu r uuur OZ1 ? OZ 2 ? 0 , z1 ? z2 ? z3 ? 1,则 z3 的取值范围是
【答案】



3? ?1,

【解答】设 z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ( i 为虚数单位) , ∵ ∴

uuu r uuur z1 ? z2 ? 2 , OZ1 ? OZ 2 ? 0 ,
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? 2 , x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,

2 2 z1 ? z2 ? ( x1 ? y1 ) 2 ? ( x2 ? y2 ) 2 ? x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? 2( x1 x2 ? y1 y2 ) ? 2 。

设复数 z1 ? z2 对应的点为 P 。由 z1 ? z2 ? z3 ? 1知,点 Z3 在以 P 为圆心,1 为 半径的圆上。 又 OP ? 2 ,因此, 2 ?1 ? OZ3 ? 2 ?1 ,即 z3 的取值范围是 ?1, 3? 。 8.已知函数 f ( x) ? ex ( x ? aex ) 恰有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则 a 的取值 范围为 【答案】
1 ( 0, ) 2



【解答】 f ?( x) ? ex ( x ? aex ) ? ex (1 ? aex ) ? ( x ? 1 ? 2aex )ex 。 依题意, f ?( x) ? ( x ? 1 ? 2aex )ex ? 0 有两个不同的实根。 设 g ( x) ? x ? 1 ? 2aex ,则 g?( x) ? 1 ? 2aex , g ( x) ? 0 有两个不同的实根。
-3-

若 a ? 0 ,则 g ?( x) ? 1 , g ( x) 为增函数, g ( x) ? 0 至多 1 个实根,不符合要求。 若 a ? 0 ,则当 x ? ln ∴ ∴
1 1 时, g ?( x) ? 0 ; x ? ln 时, g ?( x) ? 0 。 2a 2a

1? ? ? 1 ? g ( x) 在区间 ? ?? , ln ? 上为增函数, ?ln , ? ? ? 上为减函数。 2a ? ? ? 2a ?
g ( x) 的最大值为 g (ln
1 1 1 ) ? ln ? 1 ? 1 ? ln 。 2a 2a 2a

又 x ??? 时,g ( x) ? x ? 1 ? 2aex ? ?? ;x ??? 时,g ( x) ? x ? 1 ? 2aex ? ?? 。 ∴ 根。
g ( x) ? 0 ,f ?( x) ? 0 ; 设 g ( x) ? 0 的两根为 x1 , 。 则 x ? x1 时, x1 ? x2 ) x1 ? x ? x2 x( 2

当且仅当 g (ln

1 1 1 ) ? ln ? 0, 即 0 ? a ? 时,g ( x) ? 0 恰有 2 个不同的实 2a 2a 2

时, g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 ; x ? x2 时, g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 。 ∴ ∴

x1 为 f ( x) 的极小值点, x2 为 f ( x) 的极大值点。 0 ? a ?
1 a 的取值范围为 (0 , ) 。 2

1 符合要求。 2

0 9. 已知 f ( x) ? m ? 2x ? x2 ? nx , 若 ? x f x( ) ?

??x ?f f(x( )

0 ?

?? ? , 则 m? n

的取值范围为 【答案】



4? ?0 ,
x

【解答】设 x1 ? ? x f ( x) ? 0 ? ,则 f ( x1 ) ? m ? 2 1 ? x12 ? nx1 ? 0 。 ∴ ∴

f ( f ( 1x ) ? )

f (0 ?) m ? 。0 f ( x) ? x2 ? nx


f ( f ( x)) ? f ( x2 ? nx) ? ( x2 ? nx)2 ? n( x2 ? nx) ? ( x2 ? nx)( x2 ? nx ? n) 。
由 ? x f ( x) ? 0 ? ? ? x f ( f ( x)) ? 0 ? 知 , 方 程 x 2 ? nx ? n ?0 的 解 集 A 是 方 程
x 2 ? nx? 0 的解集 B 的子集。

若 A ? ? ,则 △ ? n2 ? 4n ? 0 , 0 ? n ? 4 。
2 ? x0 ? nx0 ? n ? 0 ? 若 A ? ? ,设 x0 ? A ,则 ? 2 ,得 n ? 0 。 ? ? x0 ? nx0 ? 0

-4-

又 0 ? n ? 4 时, ? x f ( x) ? 0 ? ? ? , 所以, 0 ? n ? 4 。 m ? n 的取值范围是 ?0 , 4? 。

? 10 . 若 s i n ? 9 为 。 【答案】 4
【 解 答

2? s i n? L 9

?

n ? 1 sin ? 9 2

4? t a则 n 正整数 n 的最小值 , 9





cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?



cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,知 2sin ? sin ? ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 。

? ? ? 3 ? 2 si n ? si n? co? s c, os 9 18 18 18 2? ? 3? 5? 2sin ? sin ? cos ? cos , 9 18 18 18 …………… n? ? (2n ? 1)? (2n ? 1)? 2sin ? sin ? cos ? cos 9 18 18 18 上述各式左右两边分别相加,得 ? 2? n? ? ? (2n ? 1)? 2(sin ? sin ? L ? sin ) ? sin ? cos ? cos 。 9 9 9 18 18 18 1 4 ? ? ? (n 2? 1? ) ? ? (2n ? 1)? c o s , cos ? cos ? cos ∴ 2 ? t a n ? s i n ? c o s? 。 2 9 18 18 18 18 18 18 (2 n? 1 ?) (2n ? 1)? ? ? , 0 ? k? ? ( k ? Z ) ∴ cos , n ? 9k ? 4 ( k ? Z ) 。 18 18 2 ∴ 正整数 n 的最小值为 4。


二、解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 11.求函数 y ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 的最小值。 【解答一】由 4 x 2 ? 8x ? 3 ? 0 ,得 x ?
1 3 或x? 。 2 2

-5-


1? ?3 ? ? ? ??。 ? ?? , ? ? ? , 2? ?2 ? ?









义 5分





………………………
8x ? 8

记 y ? f ( x) ? 2 x ? 4 x 2 ? 8 x ? 3 , 则 f ?( x) ? 2 ?

2 4 x ? 8x ? 3
2

? 2?

4x ? 4 4 x 2 ? 8x ? 3

当x? ∴ 10 分 当x?

3 ?3 ? 时,易知 f ?( x) ? 0 。 f ( x) ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 在 ? , ? ? ? 上为增函数。 2 ?2 ?

x?

3 3 时, f ( x) 的最小值为 f ( ) ? 3 。 2 2

…………………………

1 4x ? 4 4(1 ? x) 4(1 ? x) 时, f ?( x) ? 2 ? ? 2? ? 2? ?0。 2 2(1 ? x) 4 x2 ? 8x ? 3 4( x ?1)2 ?1 1 1? ? f ( x) 在 ? ?? , ? 上 为 减 函 数 , x ? 时 , f ( x) 的 最 小 值 为 2 2? ?


f(

1 )? 。 1 ……… 15 分 2

综合得, 函数 y ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 的最小值为 1。 20 分 【解答二】函数化为 y ? (2 x ? 2) ? (2 x ? 2) 2 ? 1 ? 2 。 由 (2 x ? 2)2 ? 1 ,知 2x ? 2 ? 1 ,可设 2 x ? 2 ? … 5分 当0 ?? ?

………………

1 ? ? ( ? ? ? ? ,且 ? ? 0 ) sin ? 2 2 ………………………

?
2

时,y ?

? 1 1 1 ? cos ? 1 ? ?1 ? 2 ? ?2? ?2, 当? ? , 2 ? 2 sin ? sin ? sin ? tan 2

y

即 3。 当 ?

x?

3 2







小 10 分



………………………

?
2

?? ? 0 时 , y ?

1 ? s i? n
1 2

1 ? 1 c?o s ? 1 ? 2? ? ? 2 s? in ?s i n
2

t a? n


?

,2 当 2 值

? ??
1。

?
2





x?





y



最 15 分

………………………… 综合得,函数 y ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 的最小值为 1。
-6-

……………………

20 分 或换元后利用导数求解。

【解答三】由 y ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 ,得 ( y ? 2 x)2 ? 4 x2 ? 8x ? 3 , ∴ 5分

y2 ? 3 。 y ? 4 x y? 4 x ? 4 x ? 8 x?, 3x? 4y ?8
2 2 2

……………………

y2 ? 3 1 依题意, 有 y ? 2x , 因此, ? y。 4y ?8 2
分 ∴ 15 分 将 y ? 1 代入方程 y ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 ,解得 x ? ∴ ∴ 20 分
1 。 2

…………………

10

y?

( y ? 3)( y ? 1) y2 ? 3 ? 0 ,解得 1 ? y ? 2 或 y ? 3 。 ? 0, 2( y ? 2) 2y ? 4

……………

y ? 1 在函数 y ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 的值域内。

函数 y ? 2 x ? 4 x 2 ? 8x ? 3 的最小值为 1。

…………………………

-7-

12.已知过点 P(0 , 1) 斜率为 k 的直线 l 交双曲线 C : x 2 ? (1)求 k 的取值范围;

y2 ? 1于 A 、 B 两点。 3

(2)若 F2 为双曲线 C 的右焦点,且 AF2 ? BF2 ? 6 ,求 k 的值。 【解答】 (1)设 l 方程为 y ? kx ? 1 。

? 2 y2 ?1 ?x ? 由? ,得 (3 ? k 2 ) x2 ? 2kx ? 4 ? 0 ……… ①。 3 ? y ? kx ? 1 ?
∵ ∴ ∴ 5分 (2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 。则 x1 ? x2 ? ∴
A
2

直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点,
2 ? ? 3? k ? 0 ,解得 ?2 ? k ? 2 ,且 k ? ? 3 。 ? 2 2 △ ? 4 k ? 16(3 ? k ) ? 0 ? ?

k 的取值范围为 (?2 , ? 3) ? (? 3, 3) ? ( 3, 2)。

……………

2k ?4 , x1 x2 ? 。又 F2 (2 , 0) , 2 3? k 3? k2
1 2 y ? 1

? F (

2 1

?2 x

) 2?

x 4 ?

1

2 4 x ?

( ? , 1 3x

?3

1

)? x

BF2 ? 2x2 ?1 。
……………… …… …… 10 分 ∵ ∴
(2 x1 ? 1 ) (x2 2 ? ? 1 ) x1 4 x2 ? ?1 6 x2 ( x2 ? ) ? 12 1? 3? k 4 k ? 2 3? k k2 ? 4 k? 13 ? ? 1? 2 , 3? k

k 2 ? 3 时, (2x1 ?1)(2x2 ?1) ? 0 ,

AF2 ? BF2 ? 2x1 ?1 ? 2x2 ?1 ? (2x1 ?1) ? (2x2 ?1) ? 2 x1 ? x2
? 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 4 3 ? 4 ? k2 。 3? k2

11 4 3 ? 4 ? k2 由 AF2 ? BF2 ? 6 ,得 。 ? 6 ,解得 k 2 ? 1 或 k 2 ? ? 3 (舍去) 2 3 3? k

-8-

∴ 15 分

k 2 ? 1 , k ? ?1 。

……………………………

3 ? k 2 ? 4 时, (2x1 ?1)(2x2 ?1) ? 0 ,

AF2 ? BF2 ? 2x1 ?1 ? 2x2 ?1 ? (2x1 ?1) ? (2x2 ?1) ? 2 x1 ? x2 ?1
?2 2k ?1 。 3? k2

由 AF2 ? BF2 ? 6 ,得 2

3 1 ? 13 2k , ? 1 ? 6 ,解得 k ? ?2 或 k ? 或 k ? 2 2 2 3? k

均不符合,舍去。此时,满足条件的 k 不存在。 综上可得,k 的值为 1 或 ?1 。 分

……………………………

20

13.如图, I 、 D 分别为 △ABC 的内心、旁心, BC 与圆 I 、圆 D 相切,切点 分别为 E 、 F , G 为 AD 与 BC 的交点。 A AI GE ? (1)求证: ; AD GF (2)若 M 为 EF 中点,求证: AE∥DM 。 (旁心:三角形旁切圆的圆心,它是三角形一个内角的平 I 分线和其它两个内角的外角平分线的交点。 ) 【解答】 (1)设圆 I 、圆 D 的半径分别为 r 、 R , G M E AI r ? 。 则 …………………… 5 分 F AD R B (作 IP ? AB 于 P , DQ ? AB 于 Q ,则
AI IP r ? ? 。 ) AD DQ R
A
D

C

由条件知, A 、 I 、 D 三点共线, IE ? BC , DF ? BC 。 GE IE r ∥ DF ? ? 。 ∴ IE , GF DF R AI GE ? ∴ 。 ………………… 10 分 AD GF AI GE GI AI ? GI GE ? ? ? (2)由 ,得 , AD GF GD AD ? GD GF AG GE ? 即 。 B AD ? GD GF AG GE ? ∴ 。 ………… 15 分 Q A D? G D ? A G G?F G E ∵ M 为 EF 中点,

P I M F N G E C

D
-9-

GF ? GE ? MF ? MG ? (ME ? MG) ? 2MG ,



AG GE AG GE ? ? ,即 。 2 DG 2 MG DG GM

结合 ?EGA ? ?MGD ,可得 △EGA ∽△MGD 。因此, ?GEA ? ?GMD 。
∥ DM ∴ AE 。 ………………………………… 20 分 另解:设 ID 的中点为 N ,则由 IE∥DF , M 为 EF 中点知, MN∥IE∥DF , 1 且 MN ? ( DF ? IE ) 。 2 AI IE AI IE AI IE A I I E ? ? ? ? 由 , 可得 , , 即 。 ……… AD DF AD ? AI DF ? IE 2 DN 2 MN D N N M 15 分 又 ?AIE ? ?DNM 。



△A I E ∽△ D N , M ?EAI ? ?MDN 。

∥ DM ∴ AE 。 ………………………………… 20 分 14.在坐标平面内,横纵坐标都是整数的点称为整点,三个顶点都是整点的

7 ? 2015) 为内心且直角顶点在坐标原点 O 三角形称为整点三角形。求以点 I (2015 ,

的整点直角三角形 OAB 的个数。 【答案】不妨设点 A 在第一象限。 a ? n , 7直 线 OA 设 ?xOI ? ? , 则 t ? 的 斜 率 ? t ? a? n ? 1 7 1 3 kOA ? t ? a ? n ?( ? ) ? 。 4 ? 1 ? t ?a n 1 7 4 ∴ 4 kOB ? ? 。 ……………………… 5 分 3 由 A 、 B 为整点,设 A(4t1 , 3t1 ) , B(?3t2 , 4t2 ) ,其中 t1 , t 2 为正整数。 ∴ ∵

O A ? 5 1t, OB ? 5t2 。
△O A B 内切圆的半径 r ?

2 2 OI ? ? 5 2 ? 2015 ? 5 ? 2015 。 2 2

又r ?
AB
2

OA ? OB ? AB , AB ? OA ? OB ? 2r , 2
? ( OA ? OB ? 2r ) 2 ? OA
2

? OB

2

。 …………………



2 2 2 ( 5 t1 ? 5 t2 ? 2 ? 5 ? 20 1 5?) t 5。 t 1 2? 2。 2 5

- 10 -

10 分 ∴
2 。 ( t1 ? t2 ? 2 ? 2015 )2 ? t12 ? t2

设 t1 ? x ? 2015 , t2 ? y ? 2015 ,则 ( x ? y )2 ? ( x ? 2015)2 ? ( y ? 2015)2 。 ∴

x ?2

y

0

?

2

1 x

, ? 5

y

2

( x ? 2015)( y ? 2015) ? 2 ? 20152 ? 2 ? 52 ?132 ? 312 。
………………………… … 15 分 由 OA ? 2r , OB ? 2r 知, x ? 2015 , y ? 2015 为正整数,又 2 ? 52 ?132 ? 312 的正因数有 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? 54 个。 ∴ ∴ 20 分
y) 有 54 组。 符合条件的 ( x ,

符合条件的三角形有 54 个。

………………………

15. 若对任意的正整数 m , 集合 ? m , m ?1, m ? 2, L, m ? 99 ? 的任意 n( n ? 3 ) 元子集中,总有 3 个元素两两互素,求 n 的最小值。 【答案】考察集合 ? 1,,, 2 3 L, 100 ? ( m ? 1 时)的 67 元子集: 。 P ? ? 2 ,,, 4 6 L, 100 ,,, 3 9 15 , L, 99 ? (偶数与被 3 整除的奇数) 显然 P 中不存在 3 个两两互素的元素。 ∴ n ? 67 不符合要求。 5分 引理: 对任意的正整数 m , 集合 ? m , m ?1, m ? 2, m ? 3, m ? 4, m ? 5 ? 的任意 5 元子集中,总有 3 个元素两两互素。 引理的证明:设集合 A 是集合 ? m , m ?1, m ? 2, m ? 3, m ? 4, m ? 5 ? 的一个 5
- 11 -

……………………

元子集。 ∵ m , m ? 1 , m ? 2 , m ? 3 , m ? 4 , m ? 5 这 6 个数中,3 奇 3 偶,恰有 1 个 5 的倍数。 ∴ 若 A 中含有 3 个奇数,则这 3 个奇数必两两两互素,结论成立。 若 A 中元素为 2 奇 3 偶。由于 3 个偶数中至多有 1 个为 3 的倍数,至多有 1 个为 5 的倍数。因此,3 个偶数中必有 1 个数既不是 3 的倍数,也不是 5 的倍数, 它与 2 个奇数两两互素。结论成立。 ∴ 引理成立。 …………………… 10 分 对任意的正整数 m ,将集合 ? m , m ?1, m ? 2, L, m ? 99 ? 划分成如下 17 个集 合:

A1 ? ? m , m ?1, m ? 2, m ? 3, m ? 4, m?5 ? , A2 ? ? m ? 6 , m? 7, m ? 8, m ? 9, m ?10 , m ?11 ? ,
……………

A16 ? ? m ? 90 , m ? 91, m ? 92 , m ? 93 , m ? 94 , m ? 95 ? , A17 ? ? m ? 96 , m ? 97 , m ? 98 , m ? 99 ? 。
15 分 显 然 上 述 17 ………………………

个 集 合 的 两 两 交 集 为 空 集 , 并 集 为 集 合

m ?1, m ? 2, L, m ? 99 ? 。 ? m,
设集合 M 是集合 ? m , m ?1, m ? 2, L, m ? 99 ? 的 68 元子集。 若集合 M 有 4 个元素来自集合 A17 。 由于 m 为奇数时,m ? 96 、m ? 97 、m ? 98 两两互素; m 为偶数时, m ? 97 、 m ? 98 、 m ? 99 两两互素。因此, M 中至少有 3 个元素两两互素。 若集合 M 至多 3 个元素来自集合 A17 。则 M 至少有 65 个元素来自集合 A1 、

A 2 、…、 A16 。根据抽屉原理, M 至少有 5 个元素来自同一个集合,不妨设它们
来自集合 A1 。由前面的引理可知,它们中存在 3 个两两互素的元素。 ∴ ∴ 集合 M 中总有 3 个两两互素的元素。
n ? 68 符合要求, 即对任意的正整数 m , 集合 ? m , m ?1, m ? 2, L, m ? 99 ?

的任意 68 元子集中,总有 3 个元素两两互素。 ∴ n 的最小值为 68。 20 分

…………………………

- 12 -


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