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2016年期末考试精彩试题解析(圆锥曲线)


2016 年全国各地高三年级期末考试

数学精彩试题集锦(圆锥曲线)
戴又发 最近各校高三年级期末考试陆续举行.这是高中阶段最后一次期末考试,相 信考生、学校及命题人都会高度重视,试题的质量也相对较高.正是因为这次期 末考试重要,不少学校采取多校联考,有些地区还组织了统一的质量检测.本人 将陆续从众多试卷中,选择具有一定难度的经典试题或有新意精彩试题,做详细 解析.希望能作为考生寒假休整期间参考材料. (题号为试卷中的题号)

重庆市巴蜀中学 2016 年高三模拟考试 20.(本小题满分 12 分) 椭圆 C :
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,M 为线段 PQ 的中 a2 b2

2 点,O 为坐标原点,设直线 l 的斜率为 k1 ,直线 OM 的斜率为 k 2 , k1k 2 ? ? . 3

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)设直线 l 与 x 轴交于点 D(? 3 ,0) , 且满足 DP ? 2QD , 当△OPQ 的面积最大时, 求椭圆 C 的方程.

解析: (1)设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,代入椭圆 C 的方程有:
2 2 x2 y2 x12 y12 ? ? 1 , ? ?1, a2 b2 a2 b2 2 2 x2 ? x12 y2 ? y12 ? ?0, a2 b2

两式相减:



( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? ?0, a2 b2

? k1 ? ? ? 又? ?k 2 ? ? ?

y2 ? y1 x2 ? x1 , y2 ? y1 x2 ? x1
b2 2 ?? , 2 a 3

联立两个方程有 k1k 2 ? ? 解得: e ?
c 3 . ? a 3

(2)由(1)知 e ?

c 3 ,得 a 2 ? 3c 2 , b 2 ? 2c 2 , ? a 3

可设椭圆 C 的方程为: 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6c 2 , 设直线 l 的方程为: x ? my ? 3 ,代入椭圆 C 的方程有
(2m 2 ? 3) y 2 ? 4 3my ? 6 ? 6c 2 ? 0 ,

因为直线 l 与椭圆 C 相交,所以 ? ? 48m 2 ? 4(2m 2 ? 3)(6 ? 6c 2 ) ? 0 , 由韦达定理: y1 ? y2 ?
6 ? 6c 2 4 3m , . y y ? 1 2 2m 2 ? 3 2m 2 ? 3

又 DP ? 2QD ,所以 y1 ? ?2 y2 ,
96m 2 代入上述两式有: 6 ? 6c ? ? , 2m 2 ? 3
2

所以 S ?OPQ ?

1 3 ? 3 OD y1 ? y2 ? ? 2 2 a 2

48m 2 ? 4(2m 2 ? 3)(6 ? 6c 2 ) 2m 2 ? 3

? 18

m 2m ?3
2

? 18

1 2m ? 3 m

?

3 6 , 2

当且仅当 m 2 ?

3 时,等号成立,此时 c 2 ? 5 ,代入 ? ,有 ? ? 0 成立, 2

所以所求椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ? 1. 15 10

陕西省汉中市 2016 年高三期末教学质量检测(理科)
x2 y2 6 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦 a b 3

点为 (2 2 ,0) ;斜率为 1 的直线 l 与椭圆 E 交于 A 、 B ,以 AB 为底边作等腰三角 形,顶点为 P(?3,2) . (1)求椭圆 E 的方程; (2)求 ?PAB 的面积.

解析: (1)由已知得 c ? 2 2 ,

c 6 ,解得 a ? 2 3 , ? a 3

又 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ,所以椭圆 E 的方程为 (2)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,

x2 y2 ? ? 1. 12 4

? y ? x?m ? 由 ? x2 y2 得 4 x 2 ? 6mx ? 3m 2 ? 12 ? 0 ① ? ? 1 ? ?12 4

设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) ,线段 AB 的中点为 C ( x0 , y0 ) ,则
x0 ? x1 ? x2 3m m , y0 ? x0 ? m ? . ?? 2 4 4

因为 AB 是等腰 ?PAB 的底边,所以 PC ? AB , 所以 k PC

m 4 ? ?1 解得 m ? 2 . ? 3m ?3? 4 2?

此时,方程①为 4 x 2 ? 12 x ? 0 解得 x1 ? ?3, x2 ? 0 所以 y1 ? ?1, y2 ? 2 . 则 | AB |? 3 2 .

这时,点 P(?3,2) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为:

d?

| ?3 ? 2 ? 2 | 3 2 ? , 2 2
1 1 3 2 9 | AB | ?d ? ? 3 2 ? ? . 2 2 2 2

所以 ?PAB 的面积为 S ?

湖南省株洲市 2016 年 1 月高三教学质量统一检测理科卷 20、 (本小题满分 12 分)已知抛物线: y 2 ? 4 x 与圆 O : x 2 ? y 2 ? r 2 交于 点, ?OAB 的面积为 2. (1)求圆 O 的方程; ( 2 )直线 l : y ? k ( x ? 1) (k ? 0) 与圆 O 相交于 M , N 两点.点 P(3,0) ,记直线
PM , PN 的斜率分别为

, 两

,求

k1k 2 的最大值,并求此时直线 的方程. k

解析: (1)设 A(

2 y0 , y0 ) 4

y A O x B

则: S?OAB

1 y2 ? ? 2 y0 ? 0 ? 2 2 4

解得: y0 ? 2, ? A(1,2) 故
r 2 ? 12 ? 22 ? 5

所以圆 O 的方程是
? y ? k ( x ? 1) (2)由 ? 2 2 ?x ? y ? 5

x2 ? y 2 ? 5 .
k?0

,得

(1 ? k 2 ) x2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 5 ? 0

2k 2 k2 ? 5 ? x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 1? k2 1? k2

?

k1k2 y1 y2 k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) x x ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? ?k 1 2 k k ( x1 ? 3)( x2 ? 3) k ( x1 ? 3)( x2 ? 3) x1x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9

k 2 ? 5 2k 2 ? ?1 k 2 ? 5 ? 2k 2 ? 1 ? k 2 ?k 1? k2 1? k2 ?k? 2 ? k ? ? 2 2 2 2 k ?5 2k k ? 5 ? 6k ? 9(1 ? k ) 1 ? k 2 ? 3( ) ? 9 1? k2 1? k2 1 1 ? ? . 1 (? ) ? (?k ) 2 k 1 当且仅当 k ? ?1 时取得最大值 ,此时: l : y ? ? x ? 1 . 2

江西省赣州市 2016 高三期末考试理科卷 20.(本小题满分 12 分)
x2 y 2 如图,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
y E

的右顶点为 A ,离心率为 e ,且椭圆 C 过点
b E (2e, ) ,以 AE 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点 F . 2

O

F

A

x

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知动直线 l (直线 l 不过原点)与椭圆 C 交于 P 、 Q 两点,且 ?OPQ 的面 积 S?OPQ ? 1,求线段 PQ 的中点 N 的轨迹方程. 解析: (1)连接 EF ,则 EF ? FA ,所以 xF ? c ? 2e ,解得 a ? 2 .

b ( )2 b x2 y 2 c2 故点 E 的坐标为 (c, ) ,代入椭圆方程 2 ? 2 ? 1 ,得 2 ? 22 ? 1 , 2 a b 2 b
解得 c ? 3 , b ? 1 ,故椭圆 C 的方程为
x2 ? y 2 ? 1. 4

(2) 设 P( x1 , y1 ) ,Q( x2 , y2 ) , 当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y ? kx ? m

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 ,得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
所以 x1 ? x2 ? ?
8km 4m 2 ? 4 x ? x ? , , 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

而 PQ ? 1 ? k 2 ? x1 ? x2 ?

4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 1 ? m 2 . 1 ? 4k 2

原点 O 到直线 l 的距离为 d ?

m 1? k 2



2 m ? 1 ? 4k 2 ? m2 1 所以 S?OPQ ? ? PQ ? d ? ?1 2 1 ? 4k 2
所以 2 m ? 1 ? 4k 2 ? m 2 ? 1 ? 4k 2 ,即 (1 ? 4k 2 ? 2m2 ) ? 0 ,即 1 ? 4k 2 ? 2m2 设 N ( x, y) ,则 x ?
x1 ? x2 ?4km 2k ? ?? 2 2 1 ? 4k m y ? y2 m 1 y? 1 ? ? 2 2 1 ? 4k 2m
x2 y 2 ? ? 1. 1 2 2

① ②

由①,②消去 m 得

当直线 l 的斜率不存在时,设点 P( x0 , y0 ) ,则 S?OPQ ? 又

1 | x0 || 2 y0 |? x0 y0 , 2

x0 2 ? y0 2 ? 1 ,解得 x0 ? ? 2 .所以线段 PQ 的中点 N ? 2, 0 4
x2 y 2 ? ? 1. 1 2 2

?

?

因此 N 的轨迹方程为

江苏省南京盐城 2016 届高三第一次模拟考试 18.(本小题满分 16 分)
x2 ? y 2 ? 1 上一点, 4 从原点 O 向圆 M : ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 ) 2 ? r 2 作两条切线分别与椭圆 C 交于点

如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 设点 M ( x0 , y0 ) 是椭圆 C :

P, Q ,直线 OP, OQ 的斜率分别记为 k1 , k2 .

(1)若圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的右焦点, 求圆 M 的方程;

y Q O M ·

2 5 (2)若 r ? . 5
1 ①求证: k1k2 ? ? ; 4 ②求 OP ? OQ 的最大值.

P x

第 18 题图

1 解析: (1) 因为椭圆 C 右焦点的坐标为 ( 3,0) , 所以圆心 M 的坐标为 ( 3, ? ) , 2 1 1 从而圆 M 的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? ) 2 ? . 2 4 | k x ? y0 | 2 5 ? (2)①因为圆 M 与直线 OP : y ? k1 x 相切,所以 1 0 , 5 k12 ? 1

即 (4 ? 5x02 )k12 ?10x0 y0k1 ? 4 ? 5 y02 ? 0 , 同理,有 (4 ? 5x02 )k22 ? 10x0 y0k2 ? 4 ? 5 y02 ? 0 , 所以 k1 , k2 是方程 (4 ? 5x02 )k 2 ?10x0 y0k ? 4 ? 5 y02 ? 0 的两根, 1 2 5 2 4 ? 5 y0 2 4 ? 5(1 ? 4 x0 ) ?1 ? 4 x0 1 ? ? ?? . 从而 k1k2 ? 2 2 2 4 ? 5 x0 4 ? 5 x0 4 ? 5 x0 4

? y ? k1 x 4k12 4 ? 2 2 2 ②设点 P ,联立 ,解得 , x ? , y ? ( x , y ), P ( x , y ) ? x 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 ? 4k12 1 ? 4k12 ? ? y ?1 ?4 4k2 2 4 2 同理, x22 ? , , y ? 2 1 ? 4k2 2 1 ? 4k 2 2

4k12 4k22 4 4 所以 OP2 ? OQ2 ? ( ? ) ? ( ? ) 1 ? 4k12 1 ? 4k12 1 ? 4k22 1 ? 4k22
? 4(1 ? k12 ) 4(1 ? k22 ) 4 ? 4k12 1 ? 16k12 ? ? ? 1 ? 4k12 1 ? 4k22 1 ? 4k12 1 ? 4k12

5 ? 20k12 2 ( ) 25 2 ? ? . 2 2 (1 ? 4k1 ) 4
1 5 当且仅当 k1 ? ? 时取等号. 所以 OP ? OQ 的最大值为 . 2 2

黑龙江省双鸭山市一中 2016 届高三上学期期末考试理科卷 20.(本题满分 12 分) 设椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 , F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点, 4 3

过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C1 交于 M , N 两点.

???? ? ???? (1)是否存在直线 l ,使得 OM ? ON ? ?2 ,若存在,求出直线 l 的方程;若不存
在,说明理由; (2)若 AB 是椭圆 C1 经过原点 O 的弦,且 MN / / AB ,求证:

| AB |2 为定值. | MN |

解析: (1)由题可知,直线 l 与椭圆必相交, ①当直线斜率不存在时,经检验不合题意. ②设存在直线 l 为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,且 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,
? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 4 ,得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , 3 ? y ? k ( x ? 1) ?

x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 x ? x ? , , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

2 ???? ? ???? 4k 2 ? 12 8k 2 2 4k ? 12 OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] ? ? k ( ? ? 1) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?

?5k 2 ? 12 ? ?2 ? k ? ? 2 , 3 ? 4k 2
故直线 l 的方程为 y ? 2( x ?1) 或 y ? ? 2( x ?1) ;

(2)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , A( x3 , y3 ) , B( x4 , y4 ) ,由(1)可得:

| MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? k 2 )[(
? 12(k 2 ? 1) , 3 ? 4k 2

8k 2 2 4k 2 ? 12 ) ? 4 ] 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? x2 y 2 ?1 12 ? ? 由? 4 消去 y ,并整理得: x 2 ? , 3 3 ? 4k 2 ? y ? kx ?

| AB |? 1 ? k 2 | x3 ? x4 |? 4
2

3(1 ? k 2 ) , 3 ? 4k 2



48(1 ? k 2 ) 2 | AB | ? 3 ? 4k 2 ? 4 为定值. | MN | 12(1 ? k ) 3 ? 4k 2

北京市丰台区 2016 年 1 月高三期末考试(理科)卷 19.(本小题 13 分)已知定点 M (1, 0) 和直线 x ? ?1 上的动点 N (?1, t ) ,线段 MN 的垂直平分线交直线 y ? t 于点 R ,设点 R 的轨迹为曲线 E . (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)直线 y ? kx ? b(k ? 0) 交 x 轴于点 C ,交曲线 E 于不同的两点 A, B ,点 B 关 于 x 轴的对称点为点 P.点 C 关于 y 轴的对称点为 Q ,求证:A,P,Q 三点共线.

解析: (Ⅰ)有题意可知, RN ? RM ,即点 R 到直线 x ? ?1 和点 M 的距离相等. 根据抛物线的定义可知, R 的轨迹为抛物线,其中 M 为焦点. 设 R 的轨迹方程为

y 2 ? 2 px ,

p ?1, 2

p?2
y
B

所以 R 的轨迹方程为: y 2 ? 4 x .
b b (Ⅱ)由条件可知 C (? ,0) ,则 Q ( ,0) . k k

A

C

Q

x

O

联立 ?

? y ? kx ? b
2 ? y ? 4x


P

消去 y,得 k 2 x 2 ? (2bk ? 4) x ? b2 ? 0 ,
? ? (2bk ? 4)2 ? 4b2k 2 ? 16(1 ? bk ) ? 0 .

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) ,则 P( x2 , ? y2 )
x1 ? x2 ? 4 ? 2bk k2

, x1 ?

4 ? 2bk ? 4 1 ? bk 4 ? 2bk ? 4 1 ? bk , x2 ? . 2k 2 2k 2

因为 k AP ?

y1 ? y2 k ( x1 ? x2 ) ? 2b ?k ? ? x1 ? x2 ?8 1 ? bk 1 ? bk 2k 2



k AQ ?

y1 ? 0 k (kx1 ? b) 2(1 ? 1 ? bk ) k ? ? ? b kx1 ? b 4[(1 ? bk ) ? 1 ? bk ] ? 1 ? bk x1 ? k 2k

所以 k AP ? k AQ , A, P, Q 三点共线 .

山东省烟台市 2016 年 1 月高三期末统一考试(理科)卷 20. (本小题满分 13 分) 如图,椭圆 C :

3 x2 y 2 ,过点 P ?1,0 ? 的动直线 l 与椭 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率是 2 a b 2

圆相交于 A,B 两点, 当直线 l 平行于 y 轴时, 直线 l 被椭圆 C 截得的线段长为 2 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 D 为椭圆的左端点,问:是否存在 直线 l 使得 ?ABD 的面积为

10 2 ?若不存在说 3

明理由,若存在,求出直线 l 的方程.

解析: (1)求有题意可知,点 (1, 2) 在椭圆上,

? 1 2 ? 2 ? 2 ?1 a b ? 3 ? 2 2 由 ?b ? c ? a 2 ,得 a ? 3, b ? , 2 ? c 3 ? ? ? 2 ? a
所以椭圆方程为
x2 4 y2 ? ? 1. 9 9

(2)当直线 l 与 x 轴平行时, ?ABD 不存在. 所以可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 ,并设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) .

? x2 4 y 2 ?1 ? ? 联立 ? 9 ,得 (m2 ? 4) y 2 ? 2my ? 8 ? 0 , 9 ? x ? my ? 1 ?
所以 y1 ? y2 ? ?
2m 8 , y1 y2 ? ? 2 , 2 m ?4 m ?4

且 ? ? 4m2 ? 32(m2 ? 4) ? 36m2 ? 128 ? 0 .

因此 S?ABD ?

1 DP y1 ? y2 ? 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2

?2 (

2m 2 32 4 ) ? 2 ? 2 9m2 ? 32 . 2 m ?4 m ?4 m ?4
4 10 9m 2 ? 32 ? 2. m ?4 3
2

假设直线存在,则有 解得

m 2 ? 2 ,负解舍去,所以 m ? ? 2 .

故存在直线方程 x ? ? 2 y ?1 ,使得 ?ABD 的面积为

10 2 . 3

2016 年2月 1 星期一 未完待续



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