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基本不等式的证明(1)


基本不等式的证明

情境问题:一

? 把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一个盘 子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为a。 如果天平制造得不精确,天平的两臂长略有不同 (其他因素不计),那么a并非物体的实际质量。 不过,我们可以作第二次测量:把物体调换到天 平的另一个盘上,此时称得物体的质量为b。 问题1、如何合理的表示物体的质量?

两个正数a、b ,我们把 算术平均数,

称为a、b的

称为几何平均数。

问题2、两个正数a、b的算术平均数与几何平均数 之间具有怎样的大小关系呢?

数字验证
a b 92 59 68 58 11 23 99 2
46 57.5

5

70 30 20

11

80 29 99 39 ab 20

76.43 11.66 25.26 29.66 12.04 83.25 34.21 20 79 35 34.5 45.5 17 84.5 34.5 20

你会证明吗?

证法1: 比较法(作差、作商法)

比较法证明不等式的步骤:

⑴作差
⑵变形 ⑶判断差式的符号 ⑷结论:肯定所求证的不等式成立。

证法2:

分析法——执果索因

证法3:

综合法——由因索果

证法4: 基本不等式几何证明

几何意义:“半径不小于半弦”

注意:(1)不等式成立条件 (2)等号成立条件

例题解析 例1 设a, b为正数,证明下列不等式成立:

变式1、若将(2)中的a变为a<0?

例题解析
变式2:已知a>2, 求 的最小值。

注意:在利用基本不等式求最值时要注意
一正、二定、三相等的条件。

训练当堂测 ( 1) ( 2)

这个基本不等式可否推广到“n个非负数” 的情形,有兴趣的同学可作进一步的研究。


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