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2014届山东省日照市第一中学高三上学期第一次月考文科数学试卷(带解析)


2014 届山东省日照市第一中学高三上学期第一次月考文科数学试卷(带解析) 1 . 设 全 集 U ? {1,2,3,4,5} , 集 合 A ? {2,3,4} , B ? {2,5} , 则 B ? (CU A) ? ( ) A. {5} D. ? B. {1, 2,5} C. {1,2,3,4,5}

log3 x 2.定义映射 f : A ? B ,若集合 A 中元素在对应法则 f 作用下象为 ,则 A 中元素
9 的象是( A. -3 ) B. -2 C. 3 ( ) D. 2

3.已知命题 p : ?x ? R,cos x ? 1, 则 A. ?p : ?x ? R,cos x ? 1; B. ?p : ?x ? R,cos x ? 1; C. ?p : ?x ? R,cos x ? 1; D. ?p : ?x ? R,cos x ? 1; 4.函数 f ( x) ? 1 ? 2 的定义域是 (
x

) C . (??,0)

A . (??,0] D. (??,??)

B . [0,??)

5. A, B, C 是三个集合,那么“ A ? B ”是“ A ? C ? B ? C ”成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件
3



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

6.若 a ? log 2 3, b ? log3 2, c ? log 1 2 ,则 a, b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c D. c ? a ? b B. b ? c ? a C. c ? b ? a

f ( x) ? f ( ? x) ?0 x 7.若 f (x) 为奇函数且在 (0,?? )上递增,又 f (2) ? 0 ,则 的解集
是( ) B. (??,2) ? (0,2) D. (??,?2) ? (2,??)
2

A. (?2,0) ? (0,2) C. (?2,0) ? (2,??)

8.已知命题 p :关于 x 的函数 y = x ? 3ax ? 4 在 [1, ??) 上是增函数,命题 q :函数

y = (2a ? 1) x 为减函数,若 p ? q 为真命题,则实数 a 的取值范围是 (

)

a?
A.

2 3

0?a?
B.

1 2

1 2 ?a? 3 C. 2

D.

试卷第 1 页,总 4 页

1 ? a ?1 2
9.下列函数中既是奇函数又在区间 [?1,1] 上单调递减的是( A. y ? sin x C. y ? ln B. y ? ? x ? 1 D. y ? )

2? x 2? x

1 x (2 ? 2 ? x ) 2

?ln x ? x 2 ? 2 x, ( x ? 0) f ( x) ? ? ? 2 x ? 1, ( x ? 0) 10.函数 的零点的个数(
A.4 D.1 B. 3 C.2



?a x ? x ? 0? ? f ? x? ? ? ?? a ? 3? x ? 4a ? x ? 0 ? , 满 足 对 任 意 x1 ? x2 , 都 有 ? 11 . 已 知 函 数
f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2
1 (0, ] 4 A. 1 ( ,1) D. 2 2x ? a ?
12 . 若 存 在 负 实 数 使 得 方 程 ( ) B. (0,??) C. (0,2) D.

?0
成立,则 a 的取值范围是 ( )

B.(1,2]

C.(1 , 3)

1 x ?1 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

A.(2,??)

(0,1)

二、填空题 13 . 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 M (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 是 y ?

1 x?2 ,则 2

f (1) ? f ?(1) ?
14.函数

.

f ? x ? ? ln x ? 2 x

的极值点为

.
2

15.已知函数 y = f ( x) 满足 f ( x +1) = f (x -1) ,且 x ?[?1,1] 时, f ( x)=x ,则函数

y = f ( x) 与 y = log3 | x | 的图象的交点的个数是

.

试卷第 2 页,总 4 页

三、解答题 16.已知集合 A ? {x |

6 ? 1, x ? R}, B ? {x | x 2 ? 2 x ? m ? 0}. x ?1

(I)当 m =3 时,求 A ? (?R B) ; (Ⅱ)若 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4} ,求实数 m 的值. 4 2 17.已知 m ? R ,设命题 P: ?3 ? m ? 5 ? 3 ;命题 Q:函数 f(x)=3x +2mx+m+ 3 有两个不同的零点.求使命题“P 或 Q”为真命题的实数 m 的取值范围.

1 f ( x) ? ( ) x 2 ,函数 f (x) 的值 18.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且 x ? 0 时,
域为集合 A . (I)求 f (?1) 的值; (II)设函数 取值范围. 19.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? a ? (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)判断 f (x) 的单调性并证明; (Ⅲ) 若对任意的 t ? R , 不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立, k 的取值范围. 求
2 2

g ( x) ? ? x 2 ? (a ? 1) x ? a

的定义域为集合 B ,若 A ? B ,求实数 a 的

1 是奇函数. 4 ?1
x

20.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x.
3 2

(Ⅰ)若 f ( x)在(1, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

1 x ? ? 是f ( x) 3 (Ⅱ)若 的一个极值点,求 f ( x)在[1, a] 上的最大值.
2 21.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c , x ?[0,6] 的图象经过 (0,0) 和 (6,0) 两点,如图所示,

且函数 f ( x) 的值域为 [0,9] .过该函数图象上的动点 P(t , f (t )) 作 x 轴的垂线,垂足为 A , 连接 OP .

试卷第 3 页,总 4 页

y

P

O

A

6

x

(I)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)记 ?OAP 的面积为 S ,求 S 的最大值.

试卷第 4 页,总 4 页

2014 届山东省日照市第一中学高三上学期第一次月考文科数学试卷(带解析)参考答案 1.B 【解析】 试题分析: CU A ? {1,5} , B ? {2,5} .所以 B ? (CU A) ? {1, 2,5} . 考点:集合的运算. 2.D 【解析】 试题分析:在对应法则 f 作用下,A 中元素 9 的象是 log3 9 ? 2 .故选 D 考点:1、映射的概念;2、对数的运算. 3.C 【解析】 试题分析:全称命题: ?x ? A, p ”的否定为“ ?x ? A, ?p ” “ ,否定原命题结论的同时要把 量词做相应改变,

则 所以“ ?x ? R,cos x ? 1,”的否定是“ ?p : ?x ? R,cos x ? 1 ”.故选 C.
考点:全称命题的否定. 4.A 【解析】 试题分析:由 1 ? 2 x ? 0 得: 2 x ? 1 ? x ? 0 ,所以选 A. 考点:1、函数的定义域;2、指数函数的性质. 5.A 【解析】 试题分析:“ A ? B ”,则“ A ? C ? B ? C ”显然成立. 但 是 “ A?C ? B ?C ” 成 立 , “ A ? B ” 不 一 定 成 立 , 比 如 :

A ? {1, 2,3}, B ? {0, 2,3}, C ? {2,3, 4} .
所以选 A 考点:1、集合的基本运算;2、充要条件. 6.C 【解析】 试题分析:由对数函数的性质可知: a ? log 2 3 ? 1,0 ? b ? log3 2 ? 1, c ? log 1 2 ? 0 .所以
3

c ? b ? a .选 C
考点:对数的性质. 7.D 【解析】 试题分析: f ( x) 为奇函数且在 (0, ??) 上递增,则在 (??,0) 上递减. 又 f (? x) ? ? f ( x) ,所以

f ( x) ? f (? x) 2 f ( x) ? 0 等价于 ? 0. x x
答案第 1 页,总 11 页

根据题设作出 f ( x) 的大致图象如图所示:
y
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4

x

O
–1 –2 –3

由图可知,

2 f ( x–4 ) ? 0 的解集是: (??, ?2) ? (2, ??) .所以选 D. x

考点:1、抽象函数;2、函数的单调性和奇偶性;3、解不等式. 8.C 【解析】 试题分析: 函数 y ? x ? 3ax ? 4 在 [1, ??) 上是增函数, 那么它的对称轴在直线命题 x ? 1 的
2

3a 2 ? 1 ,由此得 a 的取值范围为 a ? ;函数 y ? (2a ? 1) x 是一个指数函数,其 2 3 1 为减函数,那么底数 0 ? 2a ?1 ? 1 ,由此又可求得 a 的取值范围为 ? a ? 1 .因为 p ? q 为 2 1 2 真命题,所以取两个集合的交集,便得 a 的取值范围: ? a ? . 2 3
左侧,所以 考点:1、不等式的解法;2、函数单调性;3、简单的逻辑连结词. 9.C 【解析】 试题分析:根据定义可得: y ? ? x ? 1 既不是奇函数又不是偶函数; y ? 函数,只有 y ? sin x 与 y ? ln

2? x 是奇函数,由此可排除 B、D. 2? x

1 x (2 ? 2 ? x ) 是偶 2

而 y ? sin x 在区间 [?1,1] 上单调递增,也可排除,故选 C 考点:函数的单调性和奇偶性. 10.B 【解析】 试题分析: x ? 0, f ?( x) ?

1 ?2 x 2 ? 2 x ? 1 1? 5 ? ?2 x ? 2 ? ,显然有一个极值点 x ? . 2 x x

又 f ( ) ? 0, f (1) ? 1, f (e) ? ?e2 ? 2e ? 1 ? 0 ,所以 x ? 0 时, f ( x) 有两个零点. 显然 x ? 0 时, f ( x) 有一个零点.所以共有 3 个零点.
答案第 2 页,总 11 页

1 e

y
2 1

x
–2 –1

O
–1 –2

1

2

3

–3 考点:1、分段函数;2、函数的零点. 11.A 【解析】

试 题 分 析 : 由 于 函 数 f ( x) 对 任 意 x1 , x2 , 都 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成 立 , 所 以 f ( x) 在 x1 ? x2

(??, ??) 单调递减.

?0 ? a ? 1 1 ? 所以 a 满足: ?a ? 3 ? 0 ,解之得: 0 ? a ? . 4 ? a 0 ? 0 ? 4a ?
考点:函数的单调性. 12.C 【解析】

1 , g ( x) ? 2 x ? a 的图象如图所示: x ?1 1 从图可以看出,当 a ? 0 时,只有一个正实数使得方程 2 x ? a ? 成立; x ?1
试题分析:作出函数 f ( x) ?
y
4 3 2

y = f(x)
1

y = g(x)
–4 –3 –2 –1

-a O
–1 –2 –3 –4 1 2 3 4 5

x

答案第 3 页,总 11 页

y
4 3 2

y = f(x)
1

O
–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 5

x

y = g(x)

-a

当 0 ? a ? 2 时,有一个负实数和一个正实数使得方程 2 x ? a ? 当 a ? 2 时,只有一个正实数和 0 使得方程 2 x ? a ? 当 a ? 2 时,有两个正实数使得方程 2 x ? a ?
y
4 3 2

1 成立; x ?1

1 成立; x ?1

1 成立. x ?1

y = f(x)
1

x
–4 –3 –2 –1

O
–1 –2

1

2

3

4

5

y = g(x)

-a
–3 –4

所以 0 ? a ? 2 ,选 C 考点:函数的图象的应用. 13.3 【解析】 试题分析: 由题设知: M (1, f (1)) 既在函数 y ? f ( x) 的图象上, 点 又在切线 y ? 所以 f (1) ?

1 x ? 2 上, 2

1 5 1 5 1 ? 2 ? .又 f ?(1) ? ,所以 f (1) ? f ?(1) ? ? ? 3 . 2 2 2 2 2

考点:导数的几何意义. 14.

1 2

【解析】

答案第 4 页,总 11 页

试 题 分 析 : 求 导 得 : f ?( x) ?

1 1 1 ? 2 . 由 f ?( x) ? ? 2 ? 0 得 x ? . 所 以 函 数 x x 2

f ( x) ? ln x ? 2 x 的极值点为

1 . 2

考点:1、导数的基本运算;2、函数的极值. 15.4 【解析】 试题分析:由 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 得: f ( x ? 2) ? f ( x) ,所以函数 f ( x) 的周期为 2. 画出两个函数的图象,可看出交点有 4 个. 考点:1、周期函数;2、二次函数及对数函数的图象. 16. (I) A ? (?R B) ? {x | 3 ? x ? 5} ;(Ⅱ)m=8. 【解析】 试题分析:首先通过解不等式可得集合 A . (I) m =3 时,通过解不等式又可得集合 B .由此可得 A ? (?R B) . (Ⅱ)令 f ( x) ? x ? 2 x ? m ,作出该函数的图象如图所示:
2

结合图象可得 m 满足的条件,由此可得 m 的值. 试题解析:由 ( I )

6 6 6 ? x ?1 x ?5 ? 1 得: ? 1 ? 0, ? 0, ? 0, ?1 ? x ? 5 . x ?1 x ?1 x ?1 x ?1


x2 ? 2 x ? 3 ? 0





(x ?

1 x)? (
.)

以 ? 3 ) x , ,所? 1 ? ? 0

3

?R B ? {x x |? ? 或x 1 ?
2

? A ? ?} B ,? x 3 R

?( ? x

{

|

3分 6

5 }

(Ⅱ)令 f ( x) ? x ? 2 x ? m ,作出该函数的图象如图所示: 由图可知,要使得 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4} ,应使: ? 由此可得 m ? 8 .

? f ( ?1) ? 0 . ? f (4) ? 0
12 分

答案第 5 页,总 11 页

y
2 1 A –4 –3 –2 –1

x
3 4 5

O
–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10

1

2

考点:1、集合的基本运算;2、解不等式;3、二次函数的图象. 17. ? ??, ?1? ? ? 2, ?? ? . 【解析】 试题分析:对 P: ?3 ? m ? 5 ? 3 ,即 2≤m≤8 . 4 2 对 Q:由已知得方程 3x +2mx+m+ =0 的判别式 Δ >0. 3 要使“P 或 Q”为真命题,即求这两个集合的并集. 试题解析:对 P: ?3 ? m ? 5 ? 3 ,即 2≤m≤8. 4 2 对 Q:由已知得 f(x)=3x +2mx+m+ =0 的判别式. 3 4 2 2 Δ =4m -12(m+ )=4m -12m-16>0, 3 得 m<-1 或 m>4. 所以,要使“P 或 Q”为真命题,即求这两个集合的并集: 即 m<-1 或 m≥2. 5分 8分 10 分 12 分 2分

?实数 m 的取值范围是 ? ??, ?1? ? ? 2, ?? ? .
1 ; (II) {a | a ? 1} . 2

考点:1、不等式的解法;2、函数的零点;3、简单的逻辑连结词. 18. (I) f (?1) ? 【解析】 试题分析: (I)因为函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,

1 1 ? f (?1) ? f (1) ? ( )1 ? 2 2
答案第 6 页,总 11 页

(II)由函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,可得函数 f (x) 的值域 A 即为 x ? 0 时, f (x) 的取值范围. 又

B ? {x ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0}
2

.

由 ? x ? (a ? 1) x ? a ? 0 得

( x ? a)( x ? 1) ? 0 .
再由 A ? B 可得实数 a 的取值范围是. 试题解析: (I) ?函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,

? f (?1) ? f (1)

1分

1 f ( x) ? ( ) x 2 又 x ? 0 时, ? f (1) ? 1 2 1 2

2分

f (?1) ?

3分

(II)因为函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数, 所以函数 f (x) 的值域 A 即为 x ? 0 时, f (x) 的取值范围. 5分

1 0 ? ( )x ? 1 2 当 x ? 0 时,
故函数 f (x) 的值域 A = (0,1] .

7分 8分 , . 9分

? g ( x) ? ? x 2 ? (a ? 1) x ? a

?定义域
2

B ? {x ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0}

由 ? x ? (a ? 1) x ? a ? 0 得

x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 ,
即 ( x ? a)( x ? 1) ? 0 . 10 分

? A? B ,
答案第 7 页,总 11 页

? B ? [?1, a], 且 a ? 1 ,

?实数 a 的取值范围是 {a | a ? 1} .

12 分

考点:1、函数的奇偶性;2、函数的定义域和值域;3、集合的基本运算. 19. (Ⅰ) a ? ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)思路一、由 f ( x) ? f (? x) ? 0 可求得 a 的值; 思路二、由于 f (x) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,由此也可求得 a 的值. (Ⅱ)思路一:根据函数单调性的定义证明;思路二:利用导数证明. (Ⅲ)因 f (x) 是奇函数,从而不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 等价于
2 2

1 1 ; (Ⅱ) f (x) 在 R 上为减函数,证明详见解析; (Ⅲ) k ? ? . 2 3

f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (?2t 2 ? k ).
f (x) 在 R 上为减函数,由上式得: t 2 ? 2t ? ?2t 2 ? k. 解此不等式即可.
试题解析: I) ( 法一、 函数 f (x) 的定义域为 R, 因为 f (x) 是奇函数, 所以 f ( x) ? f (? x) ? 0 , 即a ?

1 1 1 4x 1 ? a ? ?x ? 2a ? x ? ? 2a ? 1 ? 0 ,故 a ? ? . x x 2 4 ?1 4 ?1 4 ?1 1? 4
1 2

法二、由 f (x) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,故 a ? ? .

1 1 1? 4x f ( x) ? ? ? ? 再由 , 2 1 ? 4 x 2(1 ? 4 x )
通过验证 f ( x) ? f (? x) ? 0 来确定 a ? ? (Ⅱ)由(1)知 f ( x) ? ?

1 的合理性 2

4分

1 1 ? x , 2 4 ?1

由上式易知 f (x) 在 R 上为减函数. 证明:法一、由(1)知 f ( x) ? ?

1 1 ? x , 2 4 ?1

1 1 4 x2 ? 4 x1 ? ? ? 0, 设 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x 4 1 ? 1 4 x2 ? 1 (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)
所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以 f (x) 在 R 上为减函数. 法二、由(1)知 f ( x) ? ? 8分

1 1 ? x , 2 4 ?1
答案第 8 页,总 11 页

求导得: f ?( x) ? ?

4 x ln 4 ? 0 ,所以 f (x) 在 R 上为减函数. (4 x ? 1) 2
2 2

8分

(Ⅲ)又因 f (x) 是奇函数,从而不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 等价于

f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (?2t 2 ? k ).
f (x) 在 R 上为减函数,由上式得: t 2 ? 2t ? ?2t 2 ? k.
即对一切 t ? R有3t ? 2t ? k ? 0,
2

从而 ? ? 4 ? 12k ? 0, 解得k ? ?

1 3

12 分

考点:1、函数的单调性和奇偶性;2、不等关系. 20. (I) a ? 0 ; (II) ?6 . 【解析】 试题分析: (I) f ( x) 在 [1, ??) 上是增函数,则其导数 f ?( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立. 由于 f ?( x) 是二次函数,所以可结合图象寻找 a 满足的不等式,从而求出 a 的取值范围.

1 f ?(? ) ? 0, 3 (II)依题意, 由此可求得 a 的值.进而求到 f ( x)在[1, a] 上的最大值.
? 试题解析: (I) f ( x) ? 3x ? 2ax ? 3
2

? f ( x) 在 [1, ??) 上是增函数, ? f ?( x) 在 [1, ??) 上恒有 f ?( x) ? 0 .
即 3x 2 ? 2ax ? 3 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立. 则必有 3分

a ? 1 且 f ?(1) ? ?2a ? 0,? a ? 0 . 3

6分

1 f ?(? ) ? 0, 3 (II)依题意, 1 2 ? a?3? 0 即3 3
? a ? 4,? f ( x) ? x3 ? 4 x 2 ? 3x . ? 令 f ( x) ? 3x ? 8 x ? 3 ? 0,
2

8分

答案第 9 页,总 11 页

1 x1 ? ? , x2 ? 3, 3 得 则
? 当 x 变化时, f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

1

(1,3) —

3 0 —18

(3,4) +

4

f ( x)

—6

—12

? f ( x) 在[1,4]上的最大值是 f (1) ? ?6
考点:导数的应用.

13 分

21.(I) f ( x) ? 6 x ? x , x ? [0, 6] ;(II)三角形面积的最大值为 16.
2

【解析】 试题分析: (I) 用待定系数法.由抛物线的对称性及题设可知, 函数 f ( x) 的对称轴为 x ? 3 , 顶点为 (3,9) . 将顶点坐标及点(0,0),(0,6)的坐标代入解析式得关于 a,b,c 方程组,解此方程组, 便可得 f ( x) 的解析式. (II)用三角形面积公式求得三角形的面积与 t 之间的函数关系式,然后利用导数可求得

?OAP 的面积为 S ,求 S 的最大值.
试题解析:(I)由已知可得函数 f ( x) 的对称轴为 x ? 3 ,顶点为 (3,9) . 分 2

? ? f ( 0) ? 0 ? ? b ?3 ?? ? 2a ? 4ac ? b 2 ?9 ? ? 4a 方法一:由
得 a ? ?1, b ? 6, c ? 0 得 5分 6分
2

f ( x) ? 6 x ? x2 , x ?[0,6]

方法二:设 f ( x) ? a( x ? 3) ? 9 由 f (0) ? 0 ,得 a ? ?1
答案第 10 页,总 11 页

4分 5分

f ( x) ? 6 x ? x2 , x ?[0,6]

6分

S (t ) ?
(II)

1 1 OA ? AP ? t (6t ? t 2 ), t ? (0,6) 2 2

8分

3 3 S ' (t ) ? 6t ? t 2 ? t (4 ? t ) 2 2
列表得:

9分

t S '(t ) S (t )

(0, 4)


4 0 极大值 11 分

(4,6)


由上表可得 t ? 4 时,三角形面积取得最大值

1 S (t )max ? S (4) ? ? 4(6 ? 4 ? 42 ) ? 16 2 即
考点:1、二次函数;2、导数

13 分

答案第 11 页,总 11 页


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山东省日照市2014届高三3月第一次模拟考试文科数学试卷

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山东省日照市2014届高三3月模拟考试_文科数学

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