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傅里叶变换的性质以及光学中一些函数的F.T.变换式


Ch2:二维线性系统分析 一:二维傅立叶分析
傅立叶变换 傅立叶变换的性质和定理 可分离的函数 圆对称函数 Fourier-Bessel变换 一些常用的函数(光学模型(元件))的数学 公式表达和傅立叶变换式

Joseph Fourier

约瑟夫·傅立叶 (1768~1830) 法国数学家

Lord Kelvin on Fourier’s theorem

Fourier’s theorem is not only one of the most beautiful results of modern analysis, but it may be said to furnish an indispensable instrument in the treatment of nearly every recondite question in modern physics. Lord Kelvin

The Fourier Transform and its Inverse

F (ω) =

?∞






f (t ) exp(?iω t ) dt

1 f (t) = 2π

?∞



F(ω) exp(iω t) dω

Fourier decomposing functions
we write a square wave as a sum of sine waves.
1 0.8 0.6 0.4 0.2

0级频透
1 2 3 4

1

0.8

0.6

0.4

0,±1
1 2 3 4

0.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0,±1, ±2
1 2 3 4

0.6

0.4

0.2

1 -0.2

2

3

4

-0.4

±1, ±2

-0.6

we’ve said about Fourier transforms between the t and ω domains also applies to the x and k domains.

time→ space

If f(x) is a function of position,

F (k ) = ∫



?∞

f ( x) exp(?ikx) dx

F {f(x)} =F(k)

We refer to k as the “spatial frequency.”

% 现代光学中:波前指的就是与接受平面打交道的光场 U ( x, y ) 现代光学

1D →2D

1.1: 二维Fourier 变换
定义: 正Fourier变换


F{g} = ∫ ∫ g ( x, y ) exp[?i 2π ( f x x + f y y )]dxdy = G ( f x , f y )
?∞

反Fourier变换

F {G} = ∫ ∫ G ( f x , f y ) exp[i 2π ( f x x + f y y )]df x df y = g ( x, y )
?1 ?∞



二维Fourier 变换存在条件:
g(x,y)必须在整个无限xy平面绝对可积 在任一有限矩形区域里, g必须只有有限个间断点和有 限个极大和极小点 g(x,y)必须没有无穷大间断点

点光源、点像

?

δ (x, y) ?

The delta function(脉冲函数)

?∞ if t = 0 δ (t ) ≡ ? ? 0 if t ≠ 0

δ(t)

t

It’s best to think of the delta function as the limit of a series of peaked continuous functions.

δ ( t ) = lim N e
N → ∞

? N 2π t 2

, lim N r e c t ( N t ) ,
N → ∞

s i n (π N t ) lim N s in c ( N t ) = lim N N → ∞ N → ∞ π Nt

光学中的点源

δ (x, y) = lim N e
N →∞ 2 N →∞

2 ? N 2π ( x2 + y2 )

, lim N rect(Nx)rect(Ny),
N →∞

2

lim N sin c(Nx)sin c(Ny), lim J1(2π N x + y )
2 2

N

2

N →∞

π

circ(N x + y ),
2 2

N →∞

lim N

x +y
2

2

广义Fourier 变换:
函数不严格满足存在条件,但是函数可定义另一函数 所组成的序列的极限,序列中的函数有F.T.;对组成序 列的每一个函数进行变换,就产生一个相应的变换序 列,该新序列的极限即为原函数的广义F.T.

g ( x, y ) = lim f N ( x, y ) ?{ f N ( x, y )} = FN ( f x , f y )
N →∞ N →∞

lim FN ( f x , f y ) = ?{ g ( x, y )} = G ( f x , f y )

?{δ ( x, y )}
lim ?{ N exp(?N π (x + y ))} = limexp(?
2 2 2 2 N→∞

π ( f x2 + f y 2 )
2

N→∞

N fy ? ? 1 fx 1 2 lim ?{ N rect(Nx)rect(Ny)} = lim ?N ? sin c( )N ? sin c( )? =1 N→∞ N→∞ N N N ? ? N fy ? ? 1 fx 1 lim ?{ N sin c(Nx)sin c(Ny)} = lim ?N ? rect( )N ? rect( )? =1 N→∞ N→∞ N N N ? ? N
2

) =1

δ?function Properties 1. 筛选性(定义性质)
∞ ?∞

∫ g ( x)δ ( x ? x ) dx = g ( x )
0 0

δ ( x ? x0 ) = 0, x ≠ x0

2. 尺度缩放性质

δ (ax) =
3. 偶函数

x 1 1 δ ( x), δ (ax ? x0 ) = δ ( x ? 0 ) a a a

δ ( x ) = δ ( ? x ) , δ ( ? x + x 0 ) = δ ( x ? x0 )

3. 乘积性质

g ( x)δ ( x ? x0 ) = g ( x0 )δ ( x ? x0 ); xδ ( x ? x0 ) = x0δ ( x ? x0 )
4. 积分性质


?∞

∫ Aδ ( x ? x ) dx = A
0



?∞

∫ δ ( x ? x ) dx = 1
0

5. 卷积性质

g ( x) ? δ ( x ? x0 ) = g ( x ? x0 )

卷积定义


f ( x) ? h( x) =

?∞

∫ f (a)h(x ? a)da

反转,平移,相乘,积分

卷积在光学中的应用
卷积表示一输出,在光学上就表示成像系统的像分 布 ;对于线性空间不变光学系统,其输出的信息可 表示为输入信息g与系统脉冲响应函数h(系统对点 源的响应)的卷积 的响应

x0处点源:I 0 Δξ 对应的像强度分布P( xi ? x0 )
输出像:I i ( xi ) = I 0 Δξ P ( xi ) + I 0 Δξ P( xi ? ξ 1 ) +K

Δξ → 0:I i ( xi ) = ∫ I 0 (ξ ) P( xi ? ξ )d ξ
二维:g(x, y)表示物(输入信息); h(x,y)表示系统对点源的响应(点扩散函数、脉冲响应函数)

输出=g( x, y ) ? h(x,y)

卷积的性质
1. 符合交换律

g ( x,y ) ? h( x, y ) = h( x, y ) ? g ( x,y )
2.函数平移不变性

f ( x, y ) ? h ( x, y ) = g ( x, y ) ? f ( x ? x0 , y ? y0 ) ? h( x, y ) = g ( x ? x0 , y ? y0 )

3. 线性运算

(af + bh) ? g = af ? g + bh ? g
4.δ函数的卷积

f ( x, y )* δ ( x, y ) = f ( x, y )
δ 函数与任何函数卷积仅重新产生该函数严格再生 5. 光滑作用
脉冲响应函数h是 对光学系统性能的 定量评价。若h为 δ函数(理想线性 系统:无像差、无 点扩散)。h越宽 成像质量越差

相关运算

g ? h = ∫∫ g (ξ ,η )h ( x + ξ , y + η ) d ξ dη
?

= ∫∫ g (ξ ′ ? x ,η ′ ? y )h (ξ ′,η ′) d ξ ′dη ′
?

≠ h? g
平移、共轭、相乘、积分 h = g自相关 若实函数,自相关的几何意义就是重叠面积

1.2: Fourier 变换的性质和定理
1. 线性定理

若 F{g(x,y) }=G(fx,fy), F{h(x,y) }=H(fx,fy) 则F{a1g+a2h}= a1G+a2H

系统对同时作用的几个输入(或激励)所产生的输出 (或响应)恒等于每个输入单独引起的输出之和。 图象叠加,谱分离(不同物体在空间的重叠不影响其 F频谱的独立性),图象处理提供可能

2.相似性定理(缩放定理) 若 F[g(x,y)]=G(fx,fy)
f x fy 1 则 F [g ( ax , by )] = G( , ) ab a b

空间域坐标(x,y)的 伸展 a<1( 缩小 a>1)导致频域坐标(fx, fy)的压 a>1) 缩(展宽),附加频谱幅度变化

3.相移定理 若 F[g(x,y)]=G(fx,fy)


F[ g( x ? a, y ? b)] = G( f x , f y ) exp[?i2π ( f x a + f y b)]

物方位置平移导致其频谱有一线性相移(方向改变),引 位置平移 起像方位置变化,频谱不变.位相因子改变表示光传播方向 像方位置变化 改变

同样

F[g(x, y)exp[i2π ( f01x + f02 y)] = G( fx ? f01, f y ? f02 )
物方的相移(方向变化,夫衍斜入射),导致其 频谱的位置平移,频谱不变. 频谱 位置 物函数方向、位置变化不影响其频谱,既其物质 结构不会变化。→衍射分析物质结构的数学基础

4. Parseval(帕色伏)定理 若 F[g(x,y)]=G(fx,fy)




?∞

| g ( x, y) |2 dxdy = ∫ ∫ | G( f x , f y ) |2 df x df y ∫
?∞





物面上的光能

频谱面上的光能

当光学系统损耗(反射\吸收等)可以忽略时, 光能量守恒 。

5.卷积定理


g ? h = ∫ ∫ g (α , β )h( x ? α , y ? β )dαdβ
?∞



F[g(x,y)]=G(fx,fy), 则

F[h(x,y)]=H(fx,fy)

F[g ? h] = G? H

F[g ? h] = G?H

证明: F [ g ? h ] = F [ g (α , β )h( x ? α , y ? β )dαdβ ] ∫∫
= ∫ ∫ [∫
?∞



∫ g (α , β )h( x ? α , y ? β )dαdβ ] exp[ ?i 2π ( f
∞ ?∞



?∞

x

x + f y y )]dxdy

= ∫ ∫ [ ∫ ∫ g (α , β )h ( x ? α , y ? β )dαdβ ] exp[ ?i 2π ( f x ( x ? α ) + f y ( y ? β )] exp[ ?i 2π ( f xα + f y β )]dxdy
= ∫ ∫ g (α , β )[ ∫ ∫ h ( x ? α , y ? β ) exp[ ?i 2π ( f x ( x ? α ) + f y ( y ? β )]dxdy ]
?∞ ∞

exp[ ?i 2π ( f xα + f y β )]dαdβ

H ( fx, f y )

= ∫ ∫ H ( f x , f y ) g (α , β ) exp[ ?i 2π ( f xα + f y β )]dαdβ

= H ( f x , f y ) ? G( f x , f y ) = G ? H

6.自相关定理
若 则 F[g(x,y)]=G(fx,fy),


F [ ∫ ∫ g (α , β ) g ? ( x ? α , y ? β )dαdβ ] =| G ( f X , fY ) |2
?∞

自相关函数的频谱主要用于系统的频率传递特性的分析即 OTF(光瞳函数的自相关)的分析。

7.Fourier积分定理

FF ?1 [ g ( x, y )] = F ?1 F [ g ( x, y )] = g ( x, y )
对函数相继进行变换和逆变换又重新得到该函数

F变换的F变换
若 则

F[g(x,y)]=G(fx,fy),

F[G( f x , f x )] = F{F[ g( x, y)]} = g(?x, ? y)


F {G(fx )} =


?∞

∫ G(f
x

x

) exp(? j2π fx x )dfx

=

?∞

∫ G(f
?1

) exp[ j2π fx (? x )]dfx

= F

{ F [g ( ? x ) ] }

= g(? x )

8.Fourier变换的微积分运算定理
微分性

g ( x)及其(n ? 1)微商,若 lim 则

g ( x) g ( n ?1) ( x)

x →±∞

= 0,且g ( n ) ( x)的F .T .存在

? dg ? F { g } = (i 2π f ) F { g} ; F ? ? = i 2π f ? G ? dx ?
(n) n

微分定理,像增加中常用,加强信号对比,减少背 景水平。

积分性

F { ∫ gdx} =
?∞

+∞

1 i 2π f

F { g}

空域中的微分算符?频域中一系数(i2πf) 空域中的积分算符?频域中一系数(i2πf)-1 通过F变换,微积分运算消失,在解决具体的 数学物理问题方便求之. (例) 数学物理问题方便求之

阻尼谐振子在外力作用下其受迫运动轨迹:

x(t ) + γ x(t ) + ω x(t ) = f (t )
2 0
2 (iω ) 2 F { x(t )} + γ iω F { x(t )} + ω0 F { x(t )} = F { f (t )}

..

.

F F { x(t )} → x(t )
?1

F xe

{

? ax 2

} = ? F {xe }
? ax 2

1 ? d ? ax2 ? F? e ? =? 2a ? dx ?
ω2

i 2π f iω π ? 4 a ? ax 2 =? F e =? e 2a 2a a

{ }

9.δ函数与F变换
f ( x, y ) = lim exp[?
N →∞

F [1] = δ ( f ), F [δ ( x)] = 1
( x 2 + y 2 )] = 1

π
N2

F {1} = F{lim exp[?
N →∞

π
N

( x 2 + y 2 )]} 2

= lim F {exp[?
N →∞
2 N →∞

π
N
2

( x 2 + y 2 )]}
2 2 2

= lim N exp[ ?πN ( f x + f y )]}

= δ ( fx, fy )

1.3:可分离的函数
一个二元函数在某种坐标系内若能写成两个一元函数的 乘积,则称此函数在这种坐标系中是可分离的:

g (x, y) = g x (x)g

y

(y)

g ( r , θ ) = g r ( r ) g θ (θ )
直角坐标系中二元函数的傅立叶变换是两个一维变换的乘积
F{g ( x, y )} = ∫∫ g ( x, y ) exp[? j 2π ( f X x + fY y )]dxdy
?∞ ∞

=

?∞

∫g

X

( x) exp[? j 2π f X x]dx ∫ gY ( y ) exp[? j 2π fY y ]dy = FX {g X }FY {gY }
?∞



1.4:圆对称函数 Fourier-Bessel变换
g ( r, θ ) = g R ( r )
直角坐标系的Fourier变换

G ( fx, fy) =

∫ ∫ g ( x , y ) exp[
?∞



? i 2 π ( f x x + f y y )] dxdy

在x y平面和fX fY平面作变换:

r=

x + y , x = r cos θ
2 2 ?1

ρ=

f x 2 + f y 2 , f x = ρ cos φ
?1

y θ = tan ( ), y = r sin θ x

φ = tan (

fy fx

), f y = ρ sin φ

F { g} = G ( ρ , φ )


=

∫ dθ ∫ dr ? rg
0 ∞ 0



R

(r ) exp[?i 2π r ρ (cos θ cos φ + sin θ sin φ )]

= ∫ dr ? rg R (r ) ∫ dθ exp[?i 2π r ρ cos(θ ? φ )]
0 0



Bessel 恒等式


1 J 0 (a ) = 2π



∫ exp[ ? ia cos( θ ? φ )]dθ
0

G ( ρ ) = 2π ∫ rg R ( r ) J 0 ( 2πρ r ) dr
g R ( r ) = 2π ∫ ρG ( ρ ) J 0 ( 2πρr )dρ
0

Fourier-Bessel变换 逆变换

0 ∞

用B[]表示F-B变换 BB ?1 [ g R ( r )] = BB[ g R ( r )] = g R ( r )

1 ρ B[ g R (ar )] = 2 G[ ] a a

1.5:一些常用的函数与傅立叶变换式

在光学中要用一些函数来表示光学模型: 如, δ 函数表示点光源;圆域函数表示具有 圆形光瞳的光学系统(圆孔衍射);矩形函 数表示振幅型距孔衍射;线形位相函数(e 指数)表示平面单色波……

1.圆域函数

x2 + y 2 ?1, cir ( )=? a ?0,

r≤a r>a

由傅立叶贝赛尔变换式: G ( ρ ) = 2π rg R ( r ) J 0 ( 2πρr )dr
0





a r B{circ( )} = 2π rJ 0 (2πρ r )dr ∫ a

做变数变换:

r = 2π r ρ
'
2πρ a

0

r B{circ( )} = 2π a
利用恒等式:


0

r dr 1 ' J 0 (r ) = 2πρ 2πρ 2πρ 2
0 1

'

'

2πρ a


0

r ' J 0 (r ' )dr '

∫ ξ J (ξ )dξ = xJ (x)
0

x

1 2πρ
2

2πρ a


0

r J 0 (r )dr =
' ' '

1 2πρ
2

2π a ρ J1 (2π a ρ )

? 2 J1 (2π a ρ ) ? ? 2 J1 ( x ) ? =πa ? ? ? ? A0 ? ? x ? ? 2π a ρ ?
2

ρ? f 2π af = 1.22π sin θ = λ f

? Δθ = 0.61

λ
a

= 1.22

λ
D

圆域函数的F.T.就表示了波长为λ的一束正入射于 圆孔的夫衍

2:矩形函数(Rectangle function)
? x ? x0 1 ?0, b > 2 x ? x0 ? )=? rect ( b ?1, x ? x0 < 1 ? 2 b ?
注意:高=1,中心x=x0,宽=b,x0之+、-号确定 函数中心点之位置。光学:单狭缝

2.1:振幅型矩形函数
a b ? ? 0, x > 2 , y > 2 x y ? rect ( ) rect ( ) = ? a b ? 1, x ≤ a , y ≤ b ? 2 2 ?

光学:矩孔

单位振幅单色光正入射矩孔的夫衍:
? sin α ? ? sin β ? I ( p) = I0 ? α ? ? β ? ? ? ? ?
2 2

π a sin θ1 π b sin θ 2 = π f x a; β = = π f ya I 0 = ab; α = λ λ

x y rect ( ) rect ( )的 F .T . a b
x y ? ? ? i 2π f y y ? i 2π f x x F ?rect ( )rect ( ) ? = ∫ e dx ∫ e dy a b ? ?a 2 ? ?b 2
a 2 b2

1 ? i 2π f x x = e ?i 2π f x

a 2

1 ? i 2π f y y ? e ? a 2 ?i 2π f y

b2 ?b 2

sin π f x a sin π f b b = ab = ab sin c ( f x a ) sin c ( f y b ) π fxa π f yb

从变换光学眼光看:振幅型矩形函数的F.T. 相当于平行光正入射矩孔的夫衍场

? 0, x > a 2 ? g ( x ) = ? i 2π f 0 x 2.2:相幅型矩形函数的F.T. , x ≤a 2 ?1 ? e ?

F { g ( x)} =

a 2

?a 2



ei 2π f0 x e ? i 2π f x x dx

1 = [ ?2i sin π ( f x ? f0 )a ] = a sin c [( f x ? f0 )a ] ?i 2π ( f x ? f 0 )
相移定理:F ge ? i 2π f0 x = G ( f ? f 0 ) = a sin c [ ( f x ? f 0 )a ]

{

}

从变换光学眼光看:相幅型矩形函数的F.T. 相当于平行光斜入射(sinθ =λ f0 )到矩孔的夫衍场

3:准单频函数

?cos(2π f 0 x), x ≤ L 2 ? g ( x) = ? 0, x > L 2 ? ?
相当于有限波列(准单色光)
1 i 2π f 0 x 1 ? i 2π f 0 x g ( x) = e + e ? 两相幅矩形函数之和 2 2 1 F { g} = L {sin c[( f ? f 0 ) L] + sin c[( f + f 0 ) L]} 2

正向准单频函数

?1 + γ cos(2π f 0 x), x ≤ L 2 ? g ( x) = ? 0, x > L 2 ? ?

数学 ? 振幅矩形函数与准单色函数之和
光学 ? 一有限大小的余弦光栅
F { g} = L sin c( fL) +

γ

2

L {sin c[( f ? f 0 ) L] + sin c[( f + f 0 ) L]}

该函数F.T.相当于平行光正入射 一有限大小余弦光栅的夫衍场(三个离散的亮斑)

4:线性位相函数的F.T.

e

iπ ( x + y )

=e e
ik x x

iπ x iπ y

相当于斜入射单色(波列无限长)平面波

e

iπ x

?e
iπ x

=e

i



λ

sin θ x

=e

? i 2π f x x

? ? fx = 1

2

1 F {e } = ∫ e e dx = δ ( f x ? ) 2 1 1 iπ ( x + y ) F {e } = δ ( f x ? 2 )δ ( f y ? 2 )
iπ x ? i 2π f x x

余弦函数: 1 1 F {cos(2π f 0 x)} = δ ( f ? f 0 ) + δ ( f + f 0 ) 2 2
无限大余弦光栅: 1 1 F {1 + cos(2π f 0 x)} = δ ( f ) + δ ( f ? f 0 ) + δ ( f + f 0 ) 2 2

5:高斯函数的F.T.

e
e
?π f x2

?π ( x 2 + y 2 )
+∞ ?π ( y2 +i 2 f y ? f y2 ) ?π f y2

F e

{

?π x + y ) (
2 2

}= ∫e
?∞

+∞

?π ( x

2

+i 2 f x ? f x2 )

dx ? ∫ e
?∞ +∞

e

dy

=e
+∞

?π ( f x2 + f y2 )

[2 ∫ e
0

+∞

?π x′2

dx′ ? 2 ∫ e
0

?π y′2

dy′]
?π f x2 + f y2 ) (

利用高斯积分: e ∫
0

? a2 x2

dx =

π
2a

F e

{

?π x2 + y2 ) (

} =e

高斯光束激光腔中能稳定存在的模 激光强度分布经LENS变均匀?

6.三角形函数 (Triangle function)
? x ? x0 0, >1 ? b x ? x0 ? tri ( )=? b ?1 ? x ? x0 , x ? x0 ≤ 1 ? b b ?

例:

注意:面积=|b|, 宽度=2|b| 中心点:x=x0

f(x)

?1? | x |, | x |≤ 1; Λ ( x) = ? , 其它 ?0
F(f)
1 0.8 0.6

证明:F {Λ( x)} = sin c ( f x )
2

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Λ ( x ) = ∫ rect ( a ) rect ( x ? a ) da



= rect ( x ) ? rect ( x )

?∞

F {Λ( x)} = F {rect ( x) ? rect ( x)}

= F {rect ( x)} ? F {rect ( x)}
= sin c( f x ) sin c( f x ) 2 = sin c ( f x )

二维三角形函数

x y x y ∧( , ) = ∧( ) ∧ ( ) b d b d
垂直任一轴的截面总是三角形 沿对角线截面由两段抛物线构成 用途:可表示矩形光瞳的非相干 成像系统的光学传递函数0TF

x x0 ? ? ? 1, b < b 7:符号函数(Sign function) ? x ? x0 ? x x0 sgn ( ) = ? 0, = b b ? b x x0 ? ? + 1, b > b ?

注意:b取+、-号的作用用途:使函数在某点反号

求:F {sgn( x) sgn( y )} = ?
?+ 1 ? sgn = ? 0 ?? 1 ? x>0 x=0 x<0
? lim e ? ax ? a →0 ? sgn = ? ?lim (?e ax ) ? a →0 ? x>0 x<0

F {sgn( x )} = ∫ lime ? ax e ? i 2π f x x dx +



= lim[ ∫ e ? ax e ? i 2π f x x dx +
a →0 0



0

a →0

?∞



0

lim(?e ax ) e ? i 2π f x x dx
a →0

?∞



0

(?e ax ) e ? i 2π f x x dx]

1 1 1 = lim{ ? }= a →0 a + i 2πf a ? i 2πf x iπf x x

1 1 F {sgn( x ) sgn( y )} = ? iπf x iπf y

f x ≠ 0, f y ≠ 0

利用F.T.的微分定理

d[ g ( x, y )] F{ } = j 2π f xG ( f x , f y ) dx

d ? g ( x, y ) ? ? ? dx

= δ ( x) + δ ( x)

? d ?sgn ( x ) ? ? ? ? ? ? = F 2δ ( x) = 2 = i 2π f ? F sgn( x) F? { } { } ? x dx ? ? ? ?

1 F {sgn( x)} = iπ f x
另: sgn( x) exp[?i 2π f x x]dx → 0 ∫
?∞ ∞ f x →0

8: 梳状函数(取样函数)
Comb( x ) =

n = ?∞

∑ δ ( x ? n)



F {Comb( x)} = Comb( f x )

∞ x ? x0 Comb( ) = b ∑ δ ( x ? x0 ? nb) b n = ?∞

梳状函数 中心位于原点,间距1 中心位于x0点,间距b

x x comb( ) = ∑ δ ( ? n) a a ?∞

+∞

acomb( af x ) = a ∑ δ (af x ? n)
?∞

+∞

?栅缝无限窄 ? ? 间距a ? 宽度∞ ?
f(x)

?谱线无限窄 ? ? 间距 1 a ? ? 谱线∞
F(u)

梳状函数的抽样性质

一屏,9狭缝等间距分布,缝间距2cm,给出此 屏的透过率函数(屏函数)

x ?1 x ? t ( x) = rect ( ) ? comb( ) ? 18 ? 2 2 ?

一些在直角坐标中可分析的函数的傅立叶变换式


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