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# 傅里叶变换的性质以及光学中一些函数的F.T.变换式

Ch2：二维线性系统分析 一：二维傅立叶分析

Joseph Fourier

Lord Kelvin on Fourier’s theorem

Fourier’s theorem is not only one of the most beautiful results of modern analysis, but it may be said to furnish an indispensable instrument in the treatment of nearly every recondite question in modern physics. Lord Kelvin

The Fourier Transform and its Inverse

F (ω) =

?∞

f (t ) exp(?iω t ) dt

1 f (t) = 2π

?∞

F(ω) exp(iω t) dω

Fourier decomposing functions
we write a square wave as a sum of sine waves.
1 0.8 0.6 0.4 0.2

0级频透
1 2 3 4

1

0.8

0.6

0.4

0，±1
1 2 3 4

0.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0，±1， ±2
1 2 3 4

0.6

0.4

0.2

1 -0.2

2

3

4

-0.4

±1， ±2

-0.6

we’ve said about Fourier transforms between the t and ω domains also applies to the x and k domains.

time→ space

If f(x) is a function of position,

F (k ) = ∫

?∞

f ( x) exp(?ikx) dx

F {f(x)} =F(k)

We refer to k as the “spatial frequency.”

% 现代光学中：波前指的就是与接受平面打交道的光场 U ( x, y ) 现代光学

1D →2D

1.1： 二维Fourier 变换

F{g} = ∫ ∫ g ( x, y ) exp[?i 2π ( f x x + f y y )]dxdy = G ( f x , f y )
?∞

F {G} = ∫ ∫ G ( f x , f y ) exp[i 2π ( f x x + f y y )]df x df y = g ( x, y )
?1 ?∞

g(x,y)必须在整个无限xy平面绝对可积 在任一有限矩形区域里, g必须只有有限个间断点和有 限个极大和极小点 g(x,y)必须没有无穷大间断点

?

δ (x, y) ?

The delta function（脉冲函数）

?∞ if t = 0 δ (t ) ≡ ? ? 0 if t ≠ 0

δ(t)

t

It’s best to think of the delta function as the limit of a series of peaked continuous functions.

δ ( t ) = lim N e
N → ∞

? N 2π t 2

, lim N r e c t ( N t ) ,
N → ∞

s i n (π N t ) lim N s in c ( N t ) = lim N N → ∞ N → ∞ π Nt

δ (x, y) = lim N e
N →∞ 2 N →∞

2 ? N 2π ( x2 + y2 )

, lim N rect(Nx)rect(Ny),
N →∞

2

lim N sin c(Nx)sin c(Ny), lim J1(2π N x + y )
2 2

N

2

N →∞

π

circ(N x + y ),
2 2

N →∞

lim N

x +y
2

2

g ( x, y ) = lim f N ( x, y ) ?{ f N ( x, y )} = FN ( f x , f y )
N →∞ N →∞

lim FN ( f x , f y ) = ?{ g ( x, y )} = G ( f x , f y )

?{δ ( x, y )}
lim ?{ N exp(?N π (x + y ))} = limexp(?
2 2 2 2 N→∞

π ( f x2 + f y 2 )
2

N→∞

N fy ? ? 1 fx 1 2 lim ?{ N rect(Nx)rect(Ny)} = lim ?N ? sin c( )N ? sin c( )? =1 N→∞ N→∞ N N N ? ? N fy ? ? 1 fx 1 lim ?{ N sin c(Nx)sin c(Ny)} = lim ?N ? rect( )N ? rect( )? =1 N→∞ N→∞ N N N ? ? N
2

) =1

δ?function Properties 1． 筛选性(定义性质)
∞ ?∞

∫ g ( x)δ ( x ? x ) dx = g ( x )
0 0

δ ( x ? x0 ) = 0, x ≠ x0

2． 尺度缩放性质

δ (ax) =
3． 偶函数

x 1 1 δ ( x), δ (ax ? x0 ) = δ ( x ? 0 ) a a a

δ ( x ) = δ ( ? x ) , δ ( ? x + x 0 ) = δ ( x ? x0 )

3． 乘积性质

g ( x)δ ( x ? x0 ) = g ( x0 )δ ( x ? x0 ); xδ ( x ? x0 ) = x0δ ( x ? x0 )
４． 积分性质

?∞

∫ Aδ ( x ? x ) dx = A
0

?∞

∫ δ ( x ? x ) dx = 1
0

５． 卷积性质

g ( x) ? δ ( x ? x0 ) = g ( x ? x0 )

f ( x) ? h( x) =

?∞

∫ f (a)h(x ? a)da

x0处点源：I 0 Δξ 对应的像强度分布P( xi ? x0 )

Δξ → 0：I i ( xi ) = ∫ I 0 (ξ ) P( xi ? ξ )d ξ

１． 符合交换律

g ( x,y ) ? h( x, y ) = h( x, y ) ? g ( x,y )
２．函数平移不变性

f ( x, y ) ? h ( x, y ) = g ( x, y ) ? f ( x ? x0 , y ? y0 ) ? h( x, y ) = g ( x ? x0 , y ? y0 )

３． 线性运算

(af + bh) ? g = af ? g + bh ? g
4．δ函数的卷积

f ( x, y )* δ ( x, y ) = f ( x, y )
δ 函数与任何函数卷积仅重新产生该函数严格再生 5． 光滑作用

g ? h = ∫∫ g (ξ ,η )h ( x + ξ , y + η ) d ξ dη
?

= ∫∫ g (ξ ′ ? x ,η ′ ? y )h (ξ ′,η ′) d ξ ′dη ′
?

≠ h? g

1.２： Fourier 变换的性质和定理
1． 线性定理

2．相似性定理(缩放定理) 若 F[g(x,y)]=G(fx,fy)
f x fy 1 则 F [g ( ax , by )] = G( , ) ab a b

3．相移定理 若 F[g(x,y)]=G(fx,fy)

F[ g( x ? a, y ? b)] = G( f x , f y ) exp[?i2π ( f x a + f y b)]

F[g(x, y)exp[i2π ( f01x + f02 y)] = G( fx ? f01, f y ? f02 )

4. Parseval（帕色伏）定理 若 F[g(x,y)]=G(fx,fy)

?∞

| g ( x, y) |2 dxdy = ∫ ∫ | G( f x , f y ) |2 df x df y ∫
?∞

5．卷积定理

g ? h = ∫ ∫ g (α , β )h( x ? α , y ? β )dαdβ
?∞

F[g(x,y)]=G(fx,fy), 则

F[h(x,y)]=H(fx,fy)

F[g ? h] = G? H

F[g ? h] = G?H

= ∫ ∫ [∫
?∞

∫ g (α , β )h( x ? α , y ? β )dαdβ ] exp[ ?i 2π ( f
∞ ?∞

?∞

x

x + f y y )]dxdy

= ∫ ∫ [ ∫ ∫ g (α , β )h ( x ? α , y ? β )dαdβ ] exp[ ?i 2π ( f x ( x ? α ) + f y ( y ? β )] exp[ ?i 2π ( f xα + f y β )]dxdy
= ∫ ∫ g (α , β )[ ∫ ∫ h ( x ? α , y ? β ) exp[ ?i 2π ( f x ( x ? α ) + f y ( y ? β )]dxdy ]
?∞ ∞

exp[ ?i 2π ( f xα + f y β )]dαdβ

H ( fx, f y )

= ∫ ∫ H ( f x , f y ) g (α , β ) exp[ ?i 2π ( f xα + f y β )]dαdβ

= H ( f x , f y ) ? G( f x , f y ) = G ? H

6．自相关定理

F [ ∫ ∫ g (α , β ) g ? ( x ? α , y ? β )dαdβ ] =| G ( f X , fY ) |2
?∞

7．Fourier积分定理

FF ?1 [ g ( x, y )] = F ?1 F [ g ( x, y )] = g ( x, y )

F变换的F变换

F[g(x,y)]=G(fx,fy),

F[G( f x , f x )] = F{F[ g( x, y)]} = g(?x, ? y)

F {G(fx )} =

?∞

∫ G(f
x

x

) exp(? j2π fx x )dfx

=

?∞

∫ G(f
?1

) exp[ j2π fx (? x )]dfx

= F

{ F [g ( ? x ) ] }

= g(? x )

8．Fourier变换的微积分运算定理

g ( x)及其(n ? 1)微商,若 lim 则

g ( x) g ( n ?1) ( x)

x →±∞

= 0,且g ( n ) ( x)的F .T .存在

? dg ? F { g } = (i 2π f ) F { g} ; F ? ? = i 2π f ? G ? dx ?
(n) n

F { ∫ gdx} =
?∞

+∞

1 i 2π f

F { g}

x(t ) + γ x(t ) + ω x(t ) = f (t )
2 0
2 (iω ) 2 F { x(t )} + γ iω F { x(t )} + ω0 F { x(t )} = F { f (t )}

..

.

F F { x(t )} → x(t )
?1

F xe

{

? ax 2

} = ? F {xe }
? ax 2

1 ? d ? ax2 ? F? e ? =? 2a ? dx ?
ω2

i 2π f iω π ? 4 a ? ax 2 =? F e =? e 2a 2a a

{ }

９．δ函数与Ｆ变换
f ( x, y ) = lim exp[?
N →∞

F [1] = δ ( f ), F [δ ( x)] = 1
( x 2 + y 2 )] = 1

π
N2

F {1} = F{lim exp[?
N →∞

π
N

( x 2 + y 2 )]} 2

= lim F {exp[?
N →∞
2 N →∞

π
N
2

( x 2 + y 2 )]}
2 2 2

= lim N exp[ ?πN ( f x + f y )]}

= δ ( fx, fy )

1.３：可分离的函数

g (x, y) = g x (x)g

y

(y)

g ( r , θ ) = g r ( r ) g θ (θ )

F{g ( x, y )} = ∫∫ g ( x, y ) exp[? j 2π ( f X x + fY y )]dxdy
?∞ ∞

=

?∞

∫g

X

( x) exp[? j 2π f X x]dx ∫ gY ( y ) exp[? j 2π fY y ]dy = FX {g X }FY {gY }
?∞

1.4：圆对称函数 Fourier-Bessel变换
g ( r, θ ) = g R ( r )

G ( fx, fy) =

∫ ∫ g ( x , y ) exp[
?∞

? i 2 π ( f x x + f y y )] dxdy

r=

x + y , x = r cos θ
2 2 ?1

ρ=

f x 2 + f y 2 , f x = ρ cos φ
?1

y θ = tan ( ), y = r sin θ x

φ = tan (

fy fx

), f y = ρ sin φ

F { g} = G ( ρ , φ )

=

∫ dθ ∫ dr ? rg
0 ∞ 0

R

(r ) exp[?i 2π r ρ (cos θ cos φ + sin θ sin φ )]

= ∫ dr ? rg R (r ) ∫ dθ exp[?i 2π r ρ cos(θ ? φ )]
0 0

Bessel 恒等式

1 J 0 (a ) = 2π

∫ exp[ ? ia cos( θ ? φ )]dθ
0

G ( ρ ) = 2π ∫ rg R ( r ) J 0 ( 2πρ r ) dr
g R ( r ) = 2π ∫ ρG ( ρ ) J 0 ( 2πρr )dρ
0

Fourier-Bessel变换 逆变换

0 ∞

1 ρ B[ g R (ar )] = 2 G[ ] a a

1.5：一些常用的函数与傅立叶变换式

1.圆域函数

x2 + y 2 ?1, cir ( )=? a ?0,

r≤a r>a

0

a r B{circ( )} = 2π rJ 0 (2πρ r )dr ∫ a

r = 2π r ρ
'
2πρ a

0

r B{circ( )} = 2π a

0

r dr 1 ' J 0 (r ) = 2πρ 2πρ 2πρ 2
0 1

'

'

2πρ a

0

r ' J 0 (r ' )dr '

∫ ξ J (ξ )dξ = xJ (x)
0

x

1 2πρ
2

2πρ a

0

r J 0 (r )dr =
' ' '

1 2πρ
2

2π a ρ J1 (2π a ρ )

? 2 J1 (2π a ρ ) ? ? 2 J1 ( x ) ? =πa ? ? ? ? A0 ? ? x ? ? 2π a ρ ?
2

ρ? f 2π af = 1.22π sin θ = λ f

? Δθ = 0.61

λ
a

= 1.22

λ
D

2:矩形函数（Rectangle function）
? x ? x0 1 ?0, b > 2 x ? x0 ? )=? rect ( b ?1, x ? x0 < 1 ? 2 b ?

2.1:振幅型矩形函数
a b ? ? 0, x > 2 , y > 2 x y ? rect ( ) rect ( ) = ? a b ? 1, x ≤ a , y ≤ b ? 2 2 ?

? sin α ? ? sin β ? I ( p) = I0 ? α ? ? β ? ? ? ? ?
2 2

π a sin θ1 π b sin θ 2 = π f x a; β = = π f ya I 0 = ab; α = λ λ

x y rect ( ) rect ( )的 F .T . a b
x y ? ? ? i 2π f y y ? i 2π f x x F ?rect ( )rect ( ) ? = ∫ e dx ∫ e dy a b ? ?a 2 ? ?b 2
a 2 b2

1 ? i 2π f x x = e ?i 2π f x

a 2

1 ? i 2π f y y ? e ? a 2 ?i 2π f y

b2 ?b 2

sin π f x a sin π f b b = ab = ab sin c ( f x a ) sin c ( f y b ) π fxa π f yb

? 0, x > a 2 ? g ( x ) = ? i 2π f 0 x 2.2:相幅型矩形函数的F.T. , x ≤a 2 ?1 ? e ?

F { g ( x)} =

a 2

?a 2

ei 2π f0 x e ? i 2π f x x dx

1 = [ ?2i sin π ( f x ? f0 )a ] = a sin c [( f x ? f0 )a ] ?i 2π ( f x ? f 0 )

{

}

３:准单频函数

?cos(2π f 0 x), x ≤ L 2 ? g ( x) = ? 0, x > L 2 ? ?

1 i 2π f 0 x 1 ? i 2π f 0 x g ( x) = e + e ? 两相幅矩形函数之和 2 2 1 F { g} = L {sin c[( f ? f 0 ) L] + sin c[( f + f 0 ) L]} 2

?1 + γ cos(2π f 0 x), x ≤ L 2 ? g ( x) = ? 0, x > L 2 ? ?

F { g} = L sin c( fL) +

γ

2

L {sin c[( f ? f 0 ) L] + sin c[( f + f 0 ) L]}

４:线性位相函数的F.T.

e

iπ ( x + y )

=e e
ik x x

iπ x iπ y

e

iπ x

?e
iπ x

=e

i

λ

sin θ x

=e

? i 2π f x x

? ? fx = 1

2

1 F {e } = ∫ e e dx = δ ( f x ? ) 2 1 1 iπ ( x + y ) F {e } = δ ( f x ? 2 )δ ( f y ? 2 )
iπ x ? i 2π f x x

５:高斯函数的F.T.

e
e
?π f x2

?π ( x 2 + y 2 )
+∞ ?π ( y2 +i 2 f y ? f y2 ) ?π f y2

F e

{

?π x + y ) （
2 2

}= ∫e
?∞

+∞

?π ( x

2

+i 2 f x ? f x2 )

dx ? ∫ e
?∞ +∞

e

dy

=e
+∞

?π ( f x2 + f y2 )

[2 ∫ e
0

+∞

?π x′2

dx′ ? 2 ∫ e
0

?π y′2

dy′]
?π f x2 + f y2 ) （

0

? a2 x2

dx =

π
2a

F e

{

?π x2 + y2 ) （

} =e

６．三角形函数 （Triangle function）
? x ? x0 0, >1 ? b x ? x0 ? tri ( )=? b ?1 ? x ? x0 , x ? x0 ≤ 1 ? b b ?

f(x)

?1? | x |, | x |≤ 1; Λ ( x) = ? , 其它 ?0
F(f)
1 0.8 0.6

2

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Λ ( x ) = ∫ rect ( a ) rect ( x ? a ) da

= rect ( x ) ? rect ( x )

?∞

F {Λ( x)} = F {rect ( x) ? rect ( x)}

= F {rect ( x)} ? F {rect ( x)}
= sin c( f x ) sin c( f x ) 2 = sin c ( f x )

x y x y ∧( ， ) = ∧( ) ∧ ( ) b d b d

x x0 ? ? ? 1, b < b 7:符号函数（Sign function） ? x ? x0 ? x x0 sgn ( ) = ? 0, = b b ? b x x0 ? ? + 1, b > b ?

?+ 1 ? sgn = ? 0 ?? 1 ? x>0 x=0 x<0
? lim e ? ax ? a →0 ? sgn = ? ?lim (?e ax ) ? a →0 ? x>0 x<0

F {sgn( x )} = ∫ lime ? ax e ? i 2π f x x dx +

= lim[ ∫ e ? ax e ? i 2π f x x dx +
a →0 0

0

a →0

?∞

0

lim(?e ax ) e ? i 2π f x x dx
a →0

?∞

0

(?e ax ) e ? i 2π f x x dx]

1 1 1 = lim{ ? }= a →0 a + i 2πf a ? i 2πf x iπf x x

1 1 F {sgn( x ) sgn( y )} = ? iπf x iπf y

f x ≠ 0, f y ≠ 0

d[ g ( x, y )] F{ } = j 2π f xG ( f x , f y ) dx

d ? g ( x, y ) ? ? ? dx

= δ ( x) + δ ( x)

? d ?sgn ( x ) ? ? ? ? ? ? = F 2δ ( x) = 2 = i 2π f ? F sgn( x) F? { } { } ? x dx ? ? ? ?

1 F {sgn( x)} = iπ f x

?∞ ∞ f x →0

８： 梳状函数（取样函数）
Comb( x ) =

n = ?∞

∑ δ ( x ? n)

F {Comb( x)} = Comb( f x )

∞ x ? x0 Comb( ) = b ∑ δ ( x ? x0 ? nb) b n = ?∞

x x comb( ) = ∑ δ ( ? n) a a ?∞

+∞

acomb( af x ) = a ∑ δ (af x ? n)
?∞

+∞

?栅缝无限窄 ? ? 间距a ? 宽度∞ ?
f(x)

?谱线无限窄 ? ? 间距 1 a ? ? 谱线∞
F（u）

x ?1 x ? t ( x) = rect ( ) ? comb( ) ? 18 ? 2 2 ?

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