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江西省重点中学盟校2015届高三第一次联考理数


江西省重点中学盟校 2015 届第一次联考 数学(理)试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的) 1、已知集合 M ? ? x

? 1? x ? ? 0? ,则 CR M ? ( ? 1? x ?
B. ? x ?

1 ? x ? 1?



A. ? x ? 1 ? x ? 1?
2、已知

C. ? x x ? ?1或x ? 1?

D. ? x x ? ?1或x ? 1?


a ? 1 ? bi ,其中 a , b 是实数,i 是虚数单位,则 | a ? bi | =( 1? i
B. 2
3

A. 3

C. 5


D. 5

3、函数 y ? x 的图象在原点处的切线方程为(

A. y ? x

B. x ? 0

C. y ? 0


D. 不存在

4、函数 y ? lg( x 2 ? 2 x ? a) 的值域不可能是(

A. (??, 0]
5、实数 x , y 满足 ?

B. [0, ??)

C. [1, ??)

D. R


?x ? y ?1 ? 0 ,若 t ? y ? 2 x 恒成立,则 t 的取值范围是( ?( x ? 2 y)( x ? 2 y ? 6) ? 0
B. t ? ?5 C. t ? ?13
)

A. t ? 13

D. t ? 5

6、如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的 T 是(

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

x2 y 2 7、已知 F1、F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过点 F2 与双曲线的一条渐 a b
近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M ,若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外,则双曲线 离心率的取值范围是( )

A. (1, 2)

B. ( 3, ??)

C. ( 3, 2)

D. (2, ??)

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

8、已知 f ( x) ? 3sin 2 x ? a cos 2 x ,其中 a 为常数. f ( x ) 的图象关于直线 x ? 以下区间上是单调函 数的是( )

?
6

对称,则 f ( x ) 在

3 1 A. [? ? , ? ? ] 5 6

B. [ ?

7 1 ?,? ?] 12 3

1 1 C. [? ? , ? ] 6 3

1 D. [0, ? ] 2

9、一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的 表面积为( ) 2 2

A. 9?

B.

28 ? 3

C. 8?

D. 7?

1
正视图

1 2

侧视图

3

x2 y2 ? ? 1, 10、已知焦点在 x 轴上的椭圆方程为 4a a 2 ? 1
随着 a 的增大该椭圆的形状( ) 2

2
俯视图

A. 越接近于圆

B. 越扁

C. 先接近于圆后越扁

D. 先越扁后接近于圆

2 4 4 11、坐标平面上的点集 S 满足 S ? {( x, y) | log 2( x ? x ? 2) ? 2sin y ?2cos y,y ?[ - , ]} ,将点集

? ? 8 4

S 中的所有点向 x 轴作投影,所得投影线段的长度为( A. 1
12. 已 知 函 数 f ( x) ?



B.

3? 5 2

C.

8 2 ?7

D.

2

1 ? ln x k , g ( x) ? (k ? N *) , 若 对 任 意 的 c ? 1 , 存 在 实 数 a , b 满 足 x ?1 x
)

0 ? a ? b ? c ,使得 f (c) ? f (a) ? g (b) ,则 k 的最大值为( A. 2 B. 3 C.
4

D.

5

第Ⅱ 卷

(非选择题)

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填入答题纸相应位置) 13、在 ABC 中, a ? 3, b ? 2, A ? 30 ,则 cos B ? .

14.已知 f ( x ) 是定义在 R 上周期为 4 的奇函数,当 x ? (0, 2] 时, f ( x) ? 2x ? log2 x ,则

f (2015) ?

. D E

15、从左至右依次站着甲、乙、丙 3 个人,从中随机抽取 2 个人进行位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边 的概率是 . A O F C

B

16、如图所示,在 O 中, AB 与 CD 是夹角为 60° 的两 条直径, E , F 分别是 O 与直径 CD 上的动点,若

OE ? BF ? ?OA ? OC ? 0 ,则 ? 的取值范围是________.

三、解答题(共 6 小题,共 70 分;要求写出必要的文字说明,解题过程和演算步骤) 17、(本小题满分 12 分) 某校随机调查了 80 位学生,以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系,得到下面的数据表: (1)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查了 本校的 3 名学生.设这 3 人中爱好羽毛球运动的人数为
男 女 合计 爱好 20 10 30 不爱好 30 20 50 合计 50 30 80

X ,求 X 的分布列和期望值;
(2)根据表中数据,能否有充分证据判定爱好羽毛球 运动与性别有关联?若有,有多大把握? 附: ? ?
2

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

p( ? 2 ? k )
k
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

0.100 2.706

0.050 3.8 41

0.010 6.635

18、(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 为等差数列,首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 .若 ab1 , ab2 , ab3 ,

, abn ,

成等比数列,且 b1 ? 1 ,

b2 ? 2 , b3 ? 5 .
(1)求数列 ?bn ? 的通项公式 bn ; (2)设 cn ? log3 (2bn ?1) ,求和 Tn ? c1c2 ? c2c3 ? c3c4 ? c4c5 ???? ? c2n?1c2n ? c2nc2n?1 .

19、(本小题满分 12 分)

AB ? 2 , AA1 ? 2 2 ,D 是 AA1 的中点,BD 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 ABB1 A 1 为矩形,
与 AB1 交于点 O ,且 CO ? 平面 ABB1 A 1. (1)证明: BC ? AB1 ; (2)若 OC ? OA ,求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值.

C

C1

B
O

B1
D

A
20、(本小题满分 12 分)

A1

已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,过 F 的直线 l 交抛物线 C 于点 A, B ,当直线 l 的倾
2

斜角是 45 时, AB 的中垂线交 y 轴于点 Q(0,5) . (1)求 p 的值; (2)以 AB 为直径的圆交 x 轴于点 M , N ,记劣弧 MN 的

长度为 S ,当直线 l 绕 F 旋转时,求

S 的最大值. AB

y

Q

B

A M

F O N

x

21、(本小题满分 12 分) 已知函数 u ( x) ? x ln x ? ln x, v( x) ? x ? a, w( x) ?

a ,三个函数的定义域均为集合 A = {x | x >1 }. x

(1)若 u( x) ? v( x) 恒成立,满足条件的实数 a 组成的集合为 B ,试判断集合 A 与 B 的关系,并 说明理由; (2)记 G ( x) ? [u ( x) ? w( x)][v( x) ?

w( x) ] ,是否存在 m ? N ? ,使得对任意的实数 a ? (m, ??) , 2

函数 G ( x ) 有且仅有两个零点?若存在,求出满足条件的最小正整数 m ;若不存在,说明理由.(以 下数据供参考: e ? 2.7183,ln( 2 ? 1) ? 0.8814 )

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做第一题记分.在答题 卡选答区域指定位置答题, 并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题 号一致.
22、 (本小题满分 1 0 分)选修 4 — 1 :几何证明选讲. 如图,⊙ O 的半径为 6,线段 AB 与⊙ O 相交于点 C 、 D , AC =4 , ?BOD ? ?A , OB 与⊙ O 相交于点 E .

(1)求 BD 长; (2)当 CE ⊥ OD 时,求证: AO ? AD .

O E A C D B

23、(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程选讲. 在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方 程为 ? ?

?
4

,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? ? . ? ? y ? sin ?

(1)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程; (2)过点 M 平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 A, B 两点,若 MA ? MB ? 角坐标方程.

8 ,求点 M 轨迹的直 3

24、(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 3 , g ( x) ? x ?1 ? 2 . (1)解不等式 g ( x) ? 5 ; (2)若对任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

江西省重点中学盟校 2015 届第一次联考 数学(理)试卷
一、CDCAB CDBBA DB

答案

c ? c lnc k ? 恒成立, c ?1 c y y?k c ? c lnc c ? c ln c ?k ? , c ? 1 . 令 p (c ) ? , c ? 1, x c ?1 c ?1
12、分析:易知 f (c) ? g (b) ? g(c) ,即 则 p?(c) ?

?1 ? 1 ? ln c ?? c ? 1? ? c ? c ln c ? c ? 2 ? ln c . 2 2 ? c ? 1? ? c ? 1?
1 ? 0, c
O

y?

1 ? ln x x ?1

令 q(c) ? c ? 2 ? ln c,c ? 1 , q '(c ) ? 1 ?

q(c) 递增,? q(c) ? q(1) ? ?1 .
又 q ? 3? ? 1 ? ln3 ? 0 , q ? 4? ? 2 ? ln 4 ? 0 , ,

a b1

c

x

? 存在 c0 ? ?3, 4? ,使得 q(c0 ) ? 0 ,即 c0 ? 2 ? ln c0
当 c ? ?1, c0 ? 时, q(c) ? 0 , p ? c ? 递减,当 c ? ? c0 , ??? 时, q(c) ? 0 , p ? c ? 递增.

p(c)min ? p(c0 ) ?

c0 ? c0 ln c0 c0 ? 1

c0 ? 2 ? ln c0 代入得

p(c)min ?

c0 ? c0 ln c0 c0 ? c0 (c0 ? 2) ? ? c0 c0 ? 1 c0 ? 1

? k ? c0

k ?3
? kmax ? 3 .

易知 0 ? a ?

1 ,当 k ? 3 时可证明 f (a) ? g (b) ? g (a) e

二、13.

2 2 3

14.-2

15.

2 3

16. [?2 3, 2 3]

16、解:设圆的半径为 r ,以 O 为原点, OB 为 x 轴建立直角坐标系,则 B(r , 0), C ( r , ?


1 2

3 r) 2

[来

设 E (r cos ?, r sin ?) , OF ? ?OC ? ( r , ?

? 2

3 ?r )(?1 ? ? ? 1) 2 ? sin ]

1 ?OA ? OC ? ? r 2 2

? 3 OE ? BF ? r 2 [ ( ? 1 ) c ? os ? ? 2 2
? ? ( ?? 22 )

?? ? (? ? 2)cos ? ? 3? sin ? ???[?2 3, 2 3]

2 ?( 3 ? ) ?2 2? ? ? 1 ? ? 2 3

三、17、解:(1)任一学生爱好羽毛球的概率为

5 125 P( X ? 0) ? C30 ( )3 ? 8 512 3 5 135 P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ? 8 8 512
X 的分布列为

3 3 ,故 X ~ B (3, ) ………………2 分 8 8 225 1 3 5 2 P( X ? 1) ? C3 ( ) ? 8 8 512 27 3 3 3 P( X ? 3) ? C3 ( ) ? 8 512

3 9 EX ? 3 ? ? …………8 分 8 8

80(20 ? 20 ? 10 ? 30)2 80 ? ? 0.3556 ? 2.706 ……………………10 分 (2) ? ? 30 ? 50 ? 30 ? 50 225
2

故没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联. ……………………12 分

18、解:(1)

2 a2 ? a1 ? a5 ? (1 ? d )2 ? 1? (1 ? 4d )

1 ? 2d ? d 2 ? 1 ? 4d ? d ? 2或d =0 (舍去)

[来源:学科网]

ab1 ? a1 ? 1, ab2 ? 3.?q ? 3 ……………………3 分

abn ? 1? (bn ?1) ? 2 ? 2bn ?1 ? 1? 3n?1 , ? bn ?

3n ?1 ? 1 ……………………6 分 2

(2) cn ? log3 (2bn ?1) ? n ? 1 ……………………7 分

Tn ? c )? c ( ? c 2( c 1? c 3 4 3

? c ) 5

c ( ) c 6? c 5 ???? 7 ?

n

c ( 2 ? n ?c 2

? 1n

c2)

1

? ? 2( c2 ?c4 ? ? ? ?cn ? ? ? 3 ???? 5 ? 2 )? ?2 [ 1

n (? 2

12 分 ? 1? ) ] n2 …………………… 2

19、解:(1)由题意 tan ?ABD ? 又 0 ? ?ABD ,?AB1 B ?

AD 2 AB 2 , tan ?AB1B ? , ? ? AB 2 BB1 2

?
2

??AB1 B ? ?BAB1 ? ?ABD ? ?BAB1 ? , ??ABD ? ?AB1B ,

?
2



?AOB ?

?
2

,? AB1 ? BD .又 CO ? 平面ABB1 A 1 ? CO , 1 ,? AB

BD 与 CO 交于点 O ,? AB1 ? 平面CBD ,又 BC ? 平面CBD ,? AB1 ? BC .…6 分
(2)如图,分别以 OD, OB1 , OC 所在直线为 x, y , z 轴,以 O 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz ,

则 A(0, ?

2 3 2 6 2 3 6 , 0), B(? , 0, 0) , C (0,0, ), D( ,0,0) , 3 3 3 3 2 6 2 3 2 3 2 3 6 2 3 , , 0), AC ? (0, , ), CD ? ( , 0, ? ), 3 3 3 3 3 3

AB ? (?

设平面 ABC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

? 2 6 2 3 ? x ? y?0 ? ?n ? AB ? 0 ? ? 3 3 则? ,即 ? , n ? AC ? 0 2 3 2 3 ? ? ? y? x?0 ? 3 ? 3
令 y ? 1 ,则 z ? ?1 , x ?

2 2 ,1, ?1) . ,所以 n ? ( 2 2

设直线 CD 与平面 ABC 所成角为 ? ,则

CD ? n sin ? ? cos CD, n ? ? | CD | ? | n |

(

6 2 3 2 , 0, ? )?( ,1, ?1) 3 3 2 10 2? 2

6 2 2 3 ? ? 0 ? (? ) ? (?1) 15 2 3 ? 3 ? , 5 5

所以直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值为

15 .…… ………………12 分 5

20、解: (1) F (0,

p ) 2

当 l 的倾斜角为 45 时, l 的方程为 y ? x ?

p 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

p ? ?y ? x ? 2 得 x2 ? 2 px ? p2 ? 0 ? ? x 2 ? 2 py ?
得 AB 中点为 D ( p,

x1 ? x2 ? 2 p, y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? p ? 3 p
AB 中垂线为 y ?

3 p ) …………3 分 2

3 p ? ?( x ? p ) 2

x ? 0 代入得 y ?
2

5 p?5 2

? p ? 2 ……6 分

(2)设 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,代入 x2 ? 4 y 得 x ? 4kx ? 4 ? 0

AB ? y1 ? y2 ? 2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 4k 2 ? 4
令 ?MDN ? 2?

AB 中点为 D(2k , 2k 2 ? 1)

S ? 2? ?

1 AB ? ? ? AB 2

?

S ? ? …………8 分 AB

D 到 x 轴的距离 DE ? 2k 2 ? 1

DE 2k ? 1 1 cos ? ? ? 2 ? 1? 2 …………10 分 1 2 k ? 2 2 k ? 2 AB 2
2

当 k ? 0 时 cos ? 取最小值
2

1 2

? 的最大值为

? 3



? S 的最大值为 .……………………12 分 3 AB

21 解:(1) u ( x) ? v( x) ? a ? x ? x ln x ? ln x ? m( x).m?( x) ? 易知 m?( x ) ?

1 ? ln x, x ? ?1, ?? ? . x

1 ? ln x 在 (1, ??) 上递减,? m?( x) ? m?(1) ? 1 …………6 分 x

存在 x0 ? (1, ??) ,使得 m?( x0 ) ? 0 ,函数 m( x ) 在 x ? ?1, x0 ? 递增,在 x ? ? x0, +?? 递减

a ? m( x0 ) .

由 m?( x0 ) ? 0 得 ln x0 ?

1 x0

m( x0 ) ? x0 ? x0 ?
?a ?1

1 1 1 ? ? x0 ? ? 1 ? 1 x0 x0 x0
B ? A ……………………6 分

(2) 令f ( x) ? u ( x) ? w( x) ? x ln x ? ln x ? ? f ?( x) ? ln x ? 1 ?

a w( x) a , g ( x) ? v( x) ? ? x ? a ? , x ? (1, ??) . x 2 2x

1 a ? ? 0, x ? (1, ??) ,由于 a ? ? m, ??? ? a ? 1, f (1) ? ?a ? 0, x x2

x ? ??, f ( x) ? ?? ,由零点存在性定理可知: ?a ? ?1, ??? , 函数 f ( x) 在定义域内有且仅有一
个零点……………………8 分 ? g ?( x) ? 1 ?

a 3a ? 0, x ? (1, ??) , g (1) ? 1 ? ? 0, x ? ??, g ( x) ? ?? ,同理可 知 2 2x 2

?a ? ?1, ??? , 函数 g ( x) 在定义域内有且仅有一个零点……………………9 分
?假设存在 x0 使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? ? 0 ,

?a ? x0 2 ln x0 ? x0 ln x0 ? a ? ? x0 ? a ? 2 x 0 ?


消 a 得 ln x0 ?

2 x0 ?0 2 x0 ? x0 ? 1
2

h( x) ? ln x ?

2x 2 2x ? x ?1

h?( x) ?

1 4 x2 ? 2 ? ?0 x (2 x 2 ? x ? 1)2
h( 2 ? 1) ? 0.8814 ? 2 ?0 3

? h( x) 递增

h(2) ? ln 2 ?

4 1 32 ? ln ? 0 5 5 e4

? x0 ? 2, 2 ? 1
此时 a ?

?

?

1 1 ?8 ? ? x0 ? ? ? 1? ? , 2 ? 1 1? 2 ? ?5 ? x0 ? 4 ? x0 ? ? 2 2? ?

x0 2

所以满足条件的最小整数 m ? 2 ……………………12 分

22、解: (1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OAC=∠ODB.

[ 中国教@^ 育*出版#网%]

∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC. ∵OC=OD=6,AC=4,∴



BD OD , ? OC AC

BD 6 ? ,∴BD=9.……………………5 分 6 4

(2)证明:∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A. ∴∠AOD=180?–∠A–∠ODC=180?–∠COD–∠OCD=∠ADO. ∴AD=AO ……………………10 分

23、解: (1)直线 l : y ? x

曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 ……………………4 分 2

? ? x ? x0 ? ? (2)设点 M ? x0 , y0 ? 及过点 M 的直线为 l1 : ? ?y ? y ? 0 ? ?
由直线 l1 与曲线 C 相交可得:

2t 2 2t 2

3t 2 ? 2tx0 ? 2 2ty0 ? x0 2 ? 2 y0 2 ? 2 ? 0 2

x 2 ? 2 y0 2 ? 2 8 8 MA ? MB ? ? 0 ? ,即: x02 ? 2 y02 ? 6 3 3 3 2
x2 ? 2 y 2 ? 6 表示一椭圆……………………8 分
取 y ? x ? m 代入

x2 ? y 2 ? 1得: 3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0 2

由? ? 0得? 3 ? m? 3 故点 M 的轨迹是椭圆 x ? 2 y ? 6 夹在平行直线 y ? x ? 3 之间的两段弧……10 分
2 2

24.解(1)由 x ? 1 ? 2 ? 5 得 ?5 ? x ?1 ? 2 ? 5

??7 ? x ?1 ? 3

得不等式的解为 ?2 ? x ? 4 ……………………5 分

(2)因为任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,

所以 { y | y ? f ( x)} ? { y | y ? g ( x)} , 又 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 3 ?| (2x ? a) ? (2x ? 3) |?| a ? 3| ,

g ( x) ?| x ? 1| ?2 ? 2 ,所以 | a ? 3 |? 2 ,解得 a ? ?1 或 a ? ?5 ,
所以实数 a 的取值范围为 a ? ?1 或 a ? ?5 .……………………10 分


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