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迎初赛苦练本领系列训练天天练049答案


迎初赛苦练本领系列训练天天练 049 答案
(2013 年 4 月 4 日) 姓名 ____________ 得分 ____________ 一、填空题( 4?10' ? 40' ) 289.设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , f (0) ? 1, f (1) ? 1, f (?1) ? 1 ,则 f (2) 的最大值为 ________

解: f (2) ? 4a ? 2b ? c ? 3(a ? b ? c) ? (a ? b ? c) ? 3c
? 3 f (1) ? f (?1) ? 3 f (0) ? 3 f (1) ? f (?1) ? 3 f (0) ? 3 ?1? 3 ? 7 ;

故当 f ( x) ? ?2 x2 ? 1 时, f (2) ? 7 . 290.已知椭圆

x2 y 2 , ? ? 1 (a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 于 M、N 两点,且 OM ? ON ( O 为原点) a 2 b2
3 , 3 2 ] 时,椭圆长轴长的取值范围是 ________ 2

当椭圆的离心率 e ? [

? x2 y 2 ?1 ? ? 解:由方程组: ? a 2 b 2 ,可得: (a2 ? b2 ) x2 ? 2a2 x ? a2 ? a2b2 ? 0 ; ?x ? y ? 1 ?

再由 OM ? ON ,得: x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即: 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ,①; 将 x1 ? x2 ? ?

2a2 a 2 ? a 2 b2 , x1 x2 ? ; a 2 ? b2 a 2 b2
1 1 1 1 ? 2 ? 2 ,即: 2 ? 2 ? 2 ; 2 b a a b

代入得①式中,得:
3 , 3

又因为 e ? [ 从而有

2 3 c 2 1 b2 1 1 b2 2 ] ,即 ? ? ,得: ? 1 ? 2 ? ,即: ? 2 ? ; 2 3 a 2 3 2 2 a 3 a

3 1 ? a2 ? (2 ? 2 ) ? 2 ,解得: 5 ? 2a ? 6 . 2 a

291.在平面直角坐标系中,定义:两点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 之间的“直角距离”为:
d ( P, Q) ?| x1 ? x2 | ? | y1 ? y2 | ,若 C ( x, y ) 到点 A(1, 3) , B(6,9) 的“直角距离”相等,其中实数

x, y 满足 0 ? x ? 10 , 0 ? y ? 10 ,则所有满足条件的点 C 的轨迹的长度之和为 ________
解:由条件得: | x ? 1| ? | y ? 3 |?| x ? 6 | ? | y ? 9 | ,①; 当 y ? 9 时,①式化为: | x ? 1| ?6 ?| x ? 6 | ,无解; 当 y ? 3 时,①式化为: | x ? 1|? 6? | x ? 6 | ,无解; 当 3 ? y ? 9 时,①式化为: 2 y ? 12 ?| x ? 6 | ? | x ? 1| ,②;
1

若 x ? 1 ,则 y ? 8.5 ,线段长度为1; 若 1 ? x ? 6 ,则 x ? y ? 9.5 ,线段长度为 5 2 ; 若 x ? 6 ,则 y ? 3.5 ,线段长度为4; 综上可知,点 C 的轨迹的构成的线段长度之和为: 1 ? 5 2 ? 4 ? 5(1 ? 2) . 292.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该 小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 ________ 解:如图 1,考虑小球挤在一个角时的情况: 记小球半径为 r ,作平面 A 1 B1C1 // 平面 ABC ,与小球相切于点 D , 则小球球心 O 为正四面体 P ? A 1 B1C1 的中心, 且 PO ? 平面A1 B1C1 ,垂足 D 为 A1 B1C1 的中心;

1 1 因 VP ? A1B1C1 ? S?A1B1C1 ? PD ? 4 ?VO ? A1B1C1 ? 4 ? ? S?A1B1C1 ? OD ; 3 3
故 PD ? 4OD ? 4r ,从而 PO ? PD ? OD ? 4r ? r ? 3r ; 记此时小球与面 PAB 的切点为 P1 ,连接 OP , 1 则 PP ? PO2 ? OP2 ? (3r )2 ? r 2 ? 2 2r ; 1 1 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 PAB )相切时的情况: 易知小球在面 PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形, 记为 P EF ,如图 2,记正四面体的棱长为 a , 1 过 P1 作 P M ? PA 于 M ; 1 因 ?MPP ? 1 图1

?
6

,有 PM ? PP ? cos MPP ? 2 2r ? 1 1

3 ? 6r ; 2
图2

故小三角形的边长 PE ? PA ? 2PM ? a ? 2 6r ; 1 小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为(如图 2 中阴影部分) ;

S?PAB ? S?P1EF ?

3 2 (a ? (a ? 2 6r )2 ) ? 3 2ar ? 6 3r 2 4

又 r ? 1 , a ? 4 6 ,所以 S?PAB ? S?P1EF ? 24 3 ? 6 3 ? 18 3 ; 由对称性,且正四面体共 4 个面, 所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为: 72 3 .

2

二、解答题( 2? 30' ? 60' ) 293.设 b ? 0 ,数列 {an } 满足: a1 ? b , an ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证:对于一切正整数 n ,均有 an ? 解: (1)∵ an ?
nban ?1 (n ? 2) ; an ?1 ? 2n ? 2

bn ?1 ? 1 成立. 2n ?1

nban ?1 a ban ?1 n 2 n ?1 1 ? ? ? ; ,∴ n ? ,∴ an ?1 ? 2n ? 2 n an ?1 ? 2n ? 2 an b an ?1 b n n ?1 1 n 1 1 ? ? ,∴ ? ? ( n ? 1) ? ,即 an ? 2 ; an an ?1 2 an 2 2

①当 b ? 2 时,

n 1 ? a 2?b n 1 2 n ?1 1 2 ? ( ? )? n ? ; ②当 b ? 0 且 b ? 2 时, ? n ?1 1 an 2 ? b b an ?1 2 ? b b ? an ?1 2 ? b
当 n ? 1 时,
n 1 1 1 2 ? ? ? ? ; an 2 ? b a1 2 ? b b(2 ? b)

?n 2 1 ? 2 ∴数列 ? ? 为首项, 为公比的等比数列; ? 是以 b (2 ? b ) an 2 ? b ? b ?
∴有:
n 1 1 2 ? ? ? ( )n ; an 2 ? b 2 ? b b

于是有:

n 2n 1 2n ? b n n(2 ? b)bn ? ? ? ,从而有: an ? n ; n n an (2 ? b)b 2 ? b (2 ? b)b 2 ? bn

b?2 ?2, ? 综上所述: an ? ? n(2 ? b)b n . , b ? 0,b ? 2 ? n n ? 2 ?b
(2)方法 1: ①当 b ? 2 时, an ?

bn ?1 ?1 ? 2 ; 2n ?1

②当 b ? 0 且 b ? 2 时, 2n ? bn ? (2 ? b)(2n ?1 ? 2n ?2 b ? ? ? 2bn ?2 ? bn ?1 ) ;

an ?

2

n ?1

?2

n?2

n ? bn n ? bn ? ? n?2 n ?1 b ? ? ? 2b ? b n n 21? 2 ??? ( n ?1) ? b1? 2 ??? ( n ?1)
b 2
n ?1 2 n ?1 2

bn
n

2

n ( n ?1) 2

?b

n ( n ?1) 2

? 2

bn
n ?1 2

?b

n ?1 2

?

?

b n ?1 2n ?1

?

b n ?1 ? 2n ?1 2 b n ?1 ? 2n ?1 b n ?1 ? 2n ?1 bn ?1 ? ? ? n ?1 ? 1 ; 2n ?1 2n ?1 2n ?1 2

3

故对于一切正整数 n , an ? 方法 2: ①当 b ? 2 时, an ?

bn ?1 ?1 . 2n ?1

bn ?1 ?1 ? 2 ; 2n ?1 bn ?1 nbn (2 ? b) bn ?1 ? 1 ,只须证: n ? n ?1 ? 1 , 2n ?1 2 ? bn 2

②当 b ? 0 且 b ? 2 时,要证: an ? 即证: 即证:

n(2 ? b) b 1 ? n ?1 ? n ; n n 2 ?b 2 b n b 1 ? ? ; 2n ?1 ? 2n ?2 b ? ? ? 2bn ?2 ? bn ?1 2n ?1 bn b 1 ? n )(2n ?1 ? 2n ? 2 b ? ? ? 2bn ? 2 ? bn ?1 ) ? n ; n ?1 2 b

即证: ( 即证: ( 因为 (

b b2 bn?1 bn 2n?1 2n?2 2 1 ? 3 ? ? ? n ? n?1 ) ? ( n ? n?1 ? ? ? 2 ? ) ? n 2 2 2 2 2 b b b b

b b2 bn?1 bn 2n ?1 2n ?2 2 1 ? 3 ? ? ? n ? n?1 ) ? ( n ? n ?1 ? ? ? 2 ? ) ; 2 2 2 2 2 b b b b

?(

b 1 b2 2 bn?1 2n?2 bn 2n?1 ? ) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ( n ? n?1 ) ? ( n?1 ? n ) 22 b 2 b 2 b 2 b
b 1 b2 2 b n ?1 2n ? 2 b n 2n ?1 ? ? 2 3 ? 2 ??? 2 ? n ?1 ? 2 n ?1 ? n ? n ; 22 b 2 b 2n b 2 b

?2

所以原不等式成立 故对于一切正整数 n , an ?

bn ?1 ?1 . 2n ?1

(方法 2,更容易下手做,此法叫“分析法” 一切难题的方法) , 294.已知椭圆

x2 Q ? y 2 ? 1 ,过定点 C (1, 0) 两条互相垂直的动直线分别椭交圆于 P、 两点; 2

F1、 F2 分别为左、右焦点,点 O 为坐标原点; ???? ???? ? (1)求向量 | PF1 ? PF2 | 的最小值; ???? ???? ? ???? ???? ? Q (2)当向量 PF1 ? PF2 与 QF1 ? QF2 互相垂直时,求 P、 两点所在直线的斜率.

???? ???? ? ??? ? 解: (1)因为 PF1 ? PF2 ? 2PO ,

(示意图,各人自己画吧,必须要画滴,易理解)

???? ???? ? ??? ? 所以 | PF1 ? PF2 |? 2 | PO | ,即最小值为 2b ? 2 ;
当 P 点位于短轴上顶点时,取等号.
4

???? ???? ? ??? ? ???? ???? ? ???? (2)因为 PF1 ? PF2 ? 2PO , QF1 ? QF2 ? 2QO , ???? ???? 所以 PO 与 QO 互相垂直,则线段 PQ 为 Rt ?POQ 与 Rt ?PCQ 公共斜边;
设线段 PQ 中点为 M ,则 MC ? MO ,即 xP ? xQ ? 2 xM ? xC ? 1 ,①; 设直线 PQ 方程为: y ? kx ? b ,与

x2 ? y 2 ? 1 联立; 2

得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 2 ? 0 , 由① 得: 1 ? 2k 2 ? 4kb ? 0 ,②;
???? ???? y yQ ? ?1 ,③; 又由 PO 与 QO 互相垂直可知: P ? xP xQ

直线 PQ 与 即: (2 ?

x2 x2 y ? kx 2 ? y 2 ? 1 合成得: ? y 2 ? ( ) ; 2 2 b

2 y 2 4k y 2k 2 )( ) ? ? ? 1 ? 2 ? 0 ; b x b2 x b 2 2k 2 ) ? (1 ? 2 ) ? 0 ,④; b2 b
2 10 ? 5 . 10

由③ 得: (2 ?

由② 与④ 解得: k ? ?

5


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