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圆与方程练习题1


圆与方程知识点 1、圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 圆心 C(a,b),半径为 r 2、圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 3 圆的标准方程:圆心是点(a, b),半径为 r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,其参数方程为 ? x ? a ? r cos? (θ 为参数) 。 ? ? y

? b ? r sin ?
D2 ? E 2 ? 4F ? 0 表示圆,圆心 C( ? D2 ? E 2 ? 4F ? 0 表示点( ?
D2 ? E 2 ? 4F D E , ? )半径为 2 2 2

D E , ? ) D2 ? E 2 ? 4F ? 0 不表示任何图形 2 2 3、点 M ( x0 , y0 ) 与圆的关系的判断方法:

(1)圆方程为标准式 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ? 点在圆外 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ? 点在圆上 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ? 点在圆内 (2)圆方程为一般式 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? 点在圆外 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? 点在圆内 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? 点在圆上

4、直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C 的位置关系判断方法 (1)求出圆的半径 r ,圆心 C 到直线 l 的距离为 d

d ? r ? 直线 l 与圆 C 相离 ? 直线 l 与圆 C 无交点 d ? r ? 直线 l 与圆 C 相切 ? 直线 l 与圆 C 有一交点 d ? r ? 直线 l 与圆 C 相交 ? 直线 l 与圆 C 有两交点
(2)将直线方程代入圆的方程消元变成一元二次方程,求出判别式 ? ? b
2

? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相离 ? 直线 l 与圆 C 无交点 ? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相切 ? 直线 l 与圆 C 有一交点 ? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相交 ? 直线 l 与圆 C 有两交点
C1C2 ? r1 ? r2 ? 圆 C1 与圆 C 2 相离 ? 有 4 条公切线
C1C2 ? r1 ? r2 ? 圆 C1 与圆 C 2 外切 ? 有 3 条公切线

? 4ac

5、 圆与圆的位置关系判断方法 求出圆心距 C1C2 ,两圆的半径 r1 , r2

| r1 ? r2 |? C1C2 ? r1 ? r2 ? 圆 C1 与圆 C 2 相交 ? 有 2 条公切线 C1C2 ?| r1 ? r2 | ? 圆 C1 与圆 C 2 内切 ? 有 1 条公切线 C1C2 ?| r1 ? r2 | ? 圆 C1 与圆 C 2 内含 ? 有 0 条公切线

6、过点求圆的切线方程 (1)点 ( x0 , y0 ) 在圆上 圆的方程为 x 2 ? y 2 ? r 2 ,切线方程 x0 x ? y0 y ? r 2 圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,切线方程 ( x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2

圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,切线方程 x0 x ? y0 y ? D

x0 ? x y ?y ?E 0 ?F ?0 2 2

(2)点 ( x0 , y0 ) 在圆外,设直线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 即 kx ? y ? kx0 ? y0 ? 0 由圆心到直线的距离 d ? r 求出 k (过圆外一点作圆的切线有 2 条) 7、圆 C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交,则公共弦的直线方 程为 ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0
l 公共弦长 l ,半径 r ,圆心到弦的距离(弦心距) d 满足关系式: ( ) 2 ? d 2 ? r 2 2 2 2 2 2 8、圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交,过两圆交点的圆系

方程可设为 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0(? ? ?1) 或
x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ?[( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 )] ? 0

9、圆 C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 点 M 在圆 C1 上,点 N 在圆 C2 上,则有 MN max ? C1C2 ? r1 ? r2
MN
min

? 0 (相交,相切), MN min ? C1C2 ? r1 ? r2 (相离)

MN min ? r1 ? r2 ? C1C2 (内含)

11、空间直角坐标系
R M O P Q M' y

(1)点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ( x, y, z ) , x 、 y 、 z 分别 是 P、Q、R 在 x 、 y 、 z 轴上的坐标 (2)有序实数组 ( x, y, z ) ,对应着空间直角坐标系中的一点 12 、 点 P1 ( x1 , y1 , z1 ) 与 点 P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 的 中 点 坐 标 为 x ? x2 y? y2 ? 1 z z ( 1 , 1 , )2 2 2 2

x

距离 P1 P2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2 圆的标准方程 (1)已知圆的参数方程是 ?
? x ? 8 cos? ? y ? 8 sin?

(0≤θ<2π)若圆上一点 M 的坐标为(4,-4

3

),则 M 所对应

的参数 θ 的值为 . 分析:将点 M 的坐标代入参数方程分别求得 sinθ,cosθ 的值,由此求 θ 的值. 解:将点 M(4,-4 3 )代入
? x ? 8 cos? ? ? y ? 8 sin?
1 ? ?cos ? ? 2 ? 得? ?sin? ? ? 3 ? 2 ?

又∵0≤θ<2π,∴θ= 5? .答案: 5?
3 3
? x ? ?5 ? 3 cos? ? y ? 3 ? 3sin?

(2)已知圆的参数方程为 ?

,则它的普通方程为

.

分析:由参数方程解得 cosθ、sinθ 的表达式,由 cos2θ+sin2θ=1 求出 x 与 y 的关系式,即 可求得.
? x ? ?5 ? 3 cos? 解:由 ? ? y ? 3 ? 3sin?
x?5 ? ?cos ? ? 3 ? 得? 由 ?sin? ? y ? 3 ? 3 ?

cos2θ+sin2θ=1 得(x+5)2+(y-3)2=9

答案:(x+5)2+(y-3)2=9 2.已知点 M 是圆 x2+y2-4x=0 上的一个动点,点 N(2,6)为定点,当点 M 在圆上运动时, 求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程,并说明轨迹的图形. 分析:先将圆 x2+y2-4x=0 化为(x-2)2+y2=4 利用圆的参数方程求解. 解法一:将已知圆的方程化为: (x-2)2+y2=4, 则其参数方程为 ?
? x ? 2 ? 2 cos? , 故可设点 ? y ? 2 sin? ? x ? 2 ? cos? ? y ? 3 ? sin?

M(2+2cosθ,2sinθ)又∵点 N(2,6).
? x ? 2 ? cos? ? y ? 3 ? sin?

∴MN 的中点 P 为 ?

∴点 P 的轨迹方程为: ?

它表示圆心在(2,3) ,半径为 1 的圆. 2 2 3.若实数 x、y 满足 x +y -2x+4y=0,求 x-y 的最大值. 分析一:将圆化为参数方程来解. 解法一:将圆 x2+y2-2x+4y=0 变为(x-1)2+(y+2)2=5,∴圆的参数方程为 ? ? 代入 x-y 得
? x ? 1 ? 5 cos ? ? y ? ?2 ? 5 sin? ?

x-y=(1+

5

cosθ)-(-2+

5

sinθ)=3+

5

(cosθ-sinθ)=3+

10

cos(θ+ ? )
4

≤3+ 10 ∴x-y 的最大值为 3+ 10 . 分析二:令 x-y=u 代入圆方程来解. 解析二:令 u=x-y,则 y=x-u 代入圆方程得 2x2+2(1-u)x+u2-4u=0 由 Δ=4(1-u)2-8(u2-4u)≥0 即 u2-6u-1≤0∴3- 10 ≤u≤3+ 10 即 3- 10 ≤x-y≤3+ 10 ∴x-y 的最大值为 3+ 10 . 4.已知对于圆 x2+(y-1)2=1 上任意一点 P(x,y),不等式 x+y+m≥0 恒成立,求实数 m 的取值 范围. 分析:将圆的参数方程代入 x+y+m≥0,转化为求 m 的最值问题来解. 解:由 x2+(y-1)2=1 得其参数方程为:
? x ? cos? ? ? y ? 1 ? sin?

代入 x+y+m≥0 得 cosθ+1+sinθ+m≥0
2

∴m≥-cosθ-sinθ-1∴m≥∴转化为求? 2 sin(θ+ 4

sin(θ+ ? )-1 恒成立,
4
2

)-1 的最大值,∴-

sin(θ+ ? )-1 的最大值为
4

2

-1.

且∠BOC= ? (O 为坐标原点) ,求△ ABC 重心 G 的轨迹方程.
3

∴m≥ 2 -1. 5.已知圆 x2+y2=1,定点 A(1,0),B、C 是圆上两个动点,保持 A、B、C 在圆上逆时针排列, 分析:利用三角形重心坐标公式:
x1 ? x2 ? x3 ? ?x ? ? 3 ? y1 ? y 2 ? y3 ?y ? ? 3 ?

来解.

解:令 B(cosθ,sinθ),则 C(cos(θ+ ? ),sin(θ+ ? )),设重心坐标为 G(x,y)
3 3

? 1? ? ? ? x ? ?1 ? cos ? ? cos(? ? )? 3? 3 ? 则? ? 1? ? ? ? y ? sin? ? sin(? ? ) ? 3? 3 ? ? ? ?

? 1? ? ? ? x ? ?1 ? 3 cos(? ? )? 3? 6 ? ? ? 3 ? ? ? y ? 3 sin(? ? 6 ) ?

化为普通方程得: (x- 1 )2+y2= 1 .
3 3

1.直线 x ? 2 y ? 0 被曲线 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 15 ? 0 所截得的弦长等于 2.圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的外有一点 P( x0 , y0 ) ,由点 P 向圆引切线的长______ 2. 对 于 任 意 实 数 k , 直 线 ( 3 ? 2 ) ? k y? 2? 与 圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 的 位 置 关 系 是 k x 0 _________ 4.动圆 x 2 ? y 2 ? (4m ? 2) x ? 2my ? 4m2 ? 4m ? 1 ? 0 的圆心的轨迹方程是
2 2

.

5. P 为圆 x ? y ? 1 上的动点,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为_______. 三、解答题 1.求过点 A(2, 4) 向圆 x 2 ? y 2 ? 4 所引的切线方程。 2.求直线 2 x ? y ? 1 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 所截得的弦长。 y?2 3.已知实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1 ,求 的取值范围。 x ?1 4.已知两圆 x 2 ? y 2 ? 10 x ? 10 y ? 0, x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 40 ? 0 , 求(1)它们的公共弦所在直线的方程; (2)公共弦长。 1. 4 5 2.
( x ? 3)2 ? ( y ? 1) 2 ? 25 , d ? 5, r ? 5, r 2 ? d 2 ? 2 5 2k 2k x0 2 ? y0 2 ? Dx0 ? Ey0 ? F 3.相切或相交 ? ? 2; 2 2 (3k ? 2) ? k k 2

另法:直线恒过 (1,3) ,而 (1,3) 在圆上 4. x ? 2 y ? 1 ? 0,( x ? 1) 5. 1
d ?r ? 10 ?1 ? 1 5

圆心为 (2m ? 1, m), r ? m , (m ? 0) ,令 x ? 2m ? 1, y ? m

三、解答题 1.解:显然 x ? 2 为所求切线之一;另设 y ? 4 ? k ( x ? 2), kx ? y ? 4 ? 2k ? 0 4 ? 2k 3 ? 2, k ? ,3x ? 4 y ? 10 ? 0 ? x ? 2 或 3x ? 4 y ? 10 ? 0 为所求。 而 4 k 2 ?1 2 2.解:圆心为 (0,1) ,则圆心到直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 ,半径为 2 5 得弦长的一半为 3.解:令 k ?
30 2 30 ,即弦长为 。 5 5

y ? (?2) , 则 k 可看作圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的动点到点 (?1, ?2) 的连线的斜率 x ? (?1) 3 y?2 3 而相切时的斜率为 ,? ? 。 4 x ?1 4 4.解: (1) x 2 ? y 2 ? 10 x ? 10 y ? 0, ①; x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 40 ? 0 ②;

② ? ①得: 2 x ? y ? 5 ? 0 为公共弦所在直线的方程; (2)弦长的一半为 50 ? 20 ? 30 ,公共弦

长为 2 30 。 17. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的顶点 A 为(3,-1) ,AB 边上的中线所在直线方程为 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 , ?B 的平分线所在直线方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,求 BC 边所在直线的方程. 18. (本小题满分 12 分)设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长
5 ,求该圆的方程. 5 19. (本小题满分 12 分)设 M 是圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0 上的动点,O 是原点,N 是射线 OM 上

之比为 3:1;③圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离为

的点,若 | OM | ? | ON |? 150 ,求点 N 的轨迹方程。 20. (本小题满分 12 分)已知过 A(0,1)和 B(4, a) 且与 x 轴相切的圆只有一个,求 a 的值及 圆的方程. 21. (本小题满分 12 分) (2006 年辽宁卷)已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? y 2 ? 2 px( p? 0)上的两个动点, O 是坐标原点,向量 OA , OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB .设圆 C 的方 程为 x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 (I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径;(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为 求 p 的值。 22. (本小题满分 14 分) 已知定点 A (0, ,(0, ,(1, . 1) B -1) C 0) 动点 P 满足:AP ? BP ? k | PC | 2 . (1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型; ??? ??? ? ? (2)当 k ? 2 时,求 | 2 AP ? BP | 的最大、最小值. 17.设 B(4 y1 ? 10, y1 ) ,由 AB 中点在 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 上, 4y ? 7 y ?1 可得: 6 ? 1 ? 10 ? 1 ? 59 ? 0 ,y1 = 5,所以 B(10,5) . 2 2 设 A 点关于 x ? 4 y ? 10 ? 0 的对称点为 A '( x ', y ') ,
y? ? 4 ? x? ? 3 ? 4? ? 10 ? 0 ? ? 2 2 则有 ? ? A?(1,7) .故 BC : 2 x ? 9 y ? 65 ? 0 . y? ? 1 1 ? ? ? ?1 ? x? ? 3 4 ?

2 5 时, 5

18. 设圆心为 (a, b) , 半径为 r, 由条件①: 2 ? a2 ? 1 , 由条件②: 2 ? 2b2 , 从而有: b2 ? a 2 ? 1 . 由 r r 2
?2b 2 ? a 2 ? 1 ? a ? 1 ? a ? ?1 | a ? 2b | 5 ? ?| a ? 2b |? 1 ,解方程组 ? 条件③: 可得: ? 或? ,所以 5 5 ?b ? 1 ?b ? ?1 ?| a ? 2b |? 1

r 2 ? 2b2 ? 2 .故所求圆的方程是 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 或 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 . ???? ? ???? ? x1 ? ? x 19.设 N ( x, y ) , M ( x1 , y1 ) .由 OM ? ? ON (? ? 0) 可得: ? , ? y1 ? ? y

? ? x1 ? ? 150 由 | OM | ? | ON |? 150 ? ? ? 2 .故 ? x ? y2 ?y ? ? 1 ?

150 x x2 ? y2 ,因为点 M 在已知圆上. 150 y x2 ? y2

所以有 (

150 x 2 150 y 2 150 x 150 y ) ?( 2 ) ? 6? 2 ?8? 2 ? 0 ,化简可得:3x ? 4 y ? 75 ? 0 为所 2 2 2 2 x ?y x ?y x ?y x ? y2

求. 20.设所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .因为点 A、B 在此圆上,所以 E ? F ? 1 ? 0 , ③④又知该圆与 x 轴(直线 y ? 0 )相切,所以由 1 ③ 由①、 ③消去 E、 可得: (1 ? a) D 2 ? 4 D ? a 2 ? a ? 16 ? 0 , ②、 F ? ? 0 ? D2 ? 4 F ? 0 , 4 ④ 由题意方程④有唯一解,当 a ? 1 时, D ? ?4, E ? ?5, F ? 4;当 a ? 1 时由 ? ? 0 可解得 a ? 0, 这时 D ? ?8, E ? ?17, F ? 16 . ① , 4D ? aE ? F ? a 2 ? 16 ? 0 ② 综上可知, 所求 a 的值为 0 或 1, a ? 0 时圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 17 y ? 16 ? 0 ; a ? 1 时, 当 当 圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 5 y ? 4 ? 0 . ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 21.(I)证明 1: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB ) 2 ? (OA ? OB ) 2 ??? ??? ? ? ??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB 整理得: OA ? OB ? 0 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ???? ???? 设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA ? MB ? 0 即 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 整理得: x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 证明 2: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB ) 2 ? (OA ? OB ) 2 ??? ??? ? ? ??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB 整理得: OA ? OB ? 0 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……..(1) 设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则 y ? y2 y ? y1 ? ? ?1( x ? x1 , x ? x2 ) 去分母得: ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 即 x ? x2 x ? x1 点 ( x1 , y1 ), ( x1 , y2 ), ( x2 , y1 )( x2 , y2 ) 满足上方程,展开并将(1)代入得: x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 证明 3: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB ) 2 ? (OA ? OB ) 2 ??? ??? ? ? ??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB 整理得: OA ? OB ? 0 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……(1)以线段 AB 为直径的圆的方程为 x ?x y ?y 1 ( x ? 1 2 )2 ? ( y ? 1 2 )2 ? [( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ] 2 2 4 2 2 展开并将(1)代入得: x ? y ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径 (II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则 x1 ? x2 ? ?x ? 2 y12 y2 2 ? 2 2 ? y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ( p ? 0) ? x1 x2 ? 又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ? 4 p2 ? y ? y1 ? y2 ? ? 2 y 2 y2 2 ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? 1 2 ? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0 ? y1 ? y2 ? ?4 p 2 4p

x1 ? x2 yy 1 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 ? ( y 2 ? 2 p 2 ) 2 4p 4p 4p p 2 2 所以圆心的轨迹方程为 y ? px ? 2 p 1 | ( y2 ? 2 p2 ) ? 2 y | | x ? 2y | | y 2 ? 2 py ? 2 p 2 | p 设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则 d ? ? ? 5 5 5p x?
? p 2 5 | ( y ? p)2 ? p 2 | p ? 当 y=p 时,d 有最小值 ,由题设得 ? p ? 2. 5 5 5p 5

解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则 x ?x ? x? 1 2 2 2 ? ? 2 ? y 2 ? 2 px , y 2 ? 2 px ( p ? 0) ? x x ? y1 y2 ? 1 1 2 2 1 2 4 p2 ? y ? y1 ? y2 ? ? 2 y 2 y2 2 又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? 1 2 ? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0 4p x ?x2 1 yy 1 2 ? y1 ? y2 ? ?4 p 2 x ? 1 ? ( y12 ? y 2 2) ? ( y 12? y 2? 2 y y1 ) ? 1 2 2 2 4p 4p 4p 1 ? ( y 2 ? 2 p 2 ) 所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2 p 设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为 共点, 所以当 x-2y-2=0 与 y 2 ? px ? 2 p 2 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为
? x ? 2 y ? 2 ? 0? (2) 将(2)代入(3)得 y 2 ? 2 py ? 2 p 2 ? 2 p ? 0 ?? ? 4 p 2 ? 4(2 p 2 ? 2 p) ? 0 ? 2 2 ? y ? px ? 2 p ? (3) ?p?0

2 5 ,则 m ? ?2 因为 x-2y+2=0 与 y 2 ? px ? 2 p 2 无公 5
2 5 5

? p ? 2.

解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则 x1 ? x2 ? x ?x | 1 2 ? ( y1 ? y2 ) | ?x ? 2 ? 2 圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则 d ? ? 5 ? y ? y1 ? y2 ? ? 2 y 2 y2 2 ? y12 ? 2 px1 , y2 2 ? 2 px2 ( p ? 0) ? x1 x2 ? 1 2 又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 4p
?? y1 ? y2 ?
|

y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ?0 , ? y1 ? y2 ?0 ? y1 ? y2 ? ?4 p 2

1 ( y12 ? y2 2 ) ? ( y1 ? y2 ) | | y 2 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? 4 p( y1 ? y2 ) ? 8 p 2 | ( y1 ? y2 ? 2 p ) 2 ? 4 p 2 4p ? ?d ? ? 1 4 5p 5 4 5p

p 2 5 p ? ,由题设得 ? p ? 2. 5 5 5 ??? ? ??? ? ??? ? ? 22 . 1 ) 设 动 点 坐 标 为 P( x, y ) , 则 A P ? ( x, y 1), BP ? ( x, y ? 1) , PC ? (1 ? x, y ) . 因 为 (

当 y1 ? y2 ? 2 p 时,d 有最小值

AP ? BP ? k | PC | 2 ,所以 x 2 ? y 2 ? 1 ? k[( x ? 1)2 ? y 2 ] . (1 ? k ) x 2 ? (1 ? k ) y 2 ? 2kx ? k ? 1 ? 0 .

若 k ? 1 ,则方程为 x ? 1 ,表示过点(1,0)且平行于 y 轴的直线. 1 k 2 1 2 k 若 k ? 1 ,则方程化为 ( x ? 为半径的 ) ? y2 ? ( ) .表示以 ( , 0) 为圆心,以 |1 ? k| 1? k 1? k k ?1 圆. ? ? ?? ? ? ?? ( 2 ) 当 k ? 2 时 , 方 程 化 为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 , 因 为 2 A P? B P ( 3 x 3?y , ) 以 ? , 1所 ??? ??? ? ? | 2 AP ? BP |? 9 x 2 ? 9 y 2 ? 6 y ? 1 . ??? ??? ? ? 又 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ,所以 | 2 AP ? BP |? 36 x ? 6 y ? 26 . 因为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 ,所以令 x ? 2 ? cos? , y ? sin ? , 则 36 x ? 6 y ? 26 ? 6 37 cos(? ? ? ) ? 46 ? [46 ? 6 37, 46 ? 6 37] . ??? ??? ? ? 所以 | 2 AP ? BP | 的最大值为 46 ? 6 37 ? 3 ? 37 ,最小值为 46 ? 6 37 ? 37 ? 3 .


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