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河南省实验中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) (Word


河南省实验中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)命题“若 A?B,则 A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题 有() A.0 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 2. (5 分)在

△ ABC 中,a=2,b= A. B. ,A= ,则 B=() C. D.

3. (5 分)在△ ABC 中,sinA:sinB:sinC=4:3:2,则 cosA 的值是() A.﹣ B. C. ﹣ D.

4. (5 分)x>1,y>1 且 lgx+lgy=4,则 lgxlgy 最大值为() A.2 B. 4 C. 8

D.16

5. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=4x+2y 的最大值为()

A.12

B.10

C. 8

D.2

6. (5 分)在△ ABC 中, A. B.

,三边长 a,b,c 成等差数列,且 ac=6,则 b 的值是() C. D.

7. (5 分)数列{an}的通项式 an= A.第 9 项 C. 第 10 项

,则数列{an}中的最大项是() B. 第 10 项和第 9 项 D.第 9 项和第 8 项

8. (5 分)已知等差数列{an}中,有 Sn>0 成立的 n 的最大值为() A.11 B.19

+1<0,且该数列的前 n 项和 Sn 有最大值,则使得

C.20

D.21

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9. (5 分)设 x,y 都是正数,且 2x+y=1,则 A.4 B. 3

的最小值是() C.2+3 D.3+2

10. (5 分)数列{an}的首项为 1,{bn}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,且 bn=an+1 *) ﹣an(n∈N 则 an=() n n n+1 n A.2 ﹣1 B. 2 C.2 ﹣1 D.2 ﹣2

11. (5 分) 若两个等差数列{an},{bn}的前 n 项的和为 An,Bn.且 () A. B. C. D.

,则

=

12. (5 分)已知平面区域 D 由以 A(1,3) ,B(5,2) ,C(3,1)为顶点的三角形内部以 及边界组成.若在区域 D 上有无穷多个点(x,y)可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m=() A.﹣2 B.﹣1 C. 1 D.4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上) 13. (5 分)设 a= ﹣ ,b= ﹣ ,c= ﹣ ,则 a、b、c 的大小顺序是. 14. (5 分)不等式 x ﹣ax﹣b<0 的解集是(2,3) ,则不等式 bx ﹣ax﹣1>0 的解集是. 15. (5 分)把一数列依次按第一个括号内一个数,第二个括号内两个数,第三个括号内三 个数,第四个括号内一个数,…循环分为(1) , (3,5) , (7,9,11) , (13) , (15,17) , (19, 21,23) , (25) ,…,则第 100 个括号内的数为. 16. (5 分)在三角形 ABC 中,若角 A,B,C 所对的三边 a,b,c 成等差数列,则下列结 论中正确的是(填上所有正确结论的序号) (1)b ≥ac(2)
2 2 2

(3)b ≤

2

(4)tan

2



三、解答题(本大题共 6 小题,70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 2 2 17. (10 分)设条件 p:2x ﹣3x+1≤0,条件 q:x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p 是¬q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 18. (12 分)△ ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB. (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值.

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19. (12 分) (1)已知 a,b,c 为任意实数,求证:a +b +c ≥ab+bc+ca; (2)设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,求证:ab+bc+ca≤ .

2

2

2

20. (12 分)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=﹣10 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{ }的前 n 项和.

21. (12 分)长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示.经规划调研确定,棚改规 划建筑用地区域近似地为半径是 R 的圆面. 该圆面的内接四边形 ABCD 是原棚户建筑用地, 测量可知边界 AB=AD=4 万米,BC=6 万米,CD=2 万米. (1)请计算原棚户区建筑用地 ABCD 的面积及圆面的半径 R 的值; (2)因地理条件的限制,边界 AD、DC 不能变更,而边界 AB、BC 可以调整,为了提高 棚户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧 ABC 上设计一点 P;使得棚户区改造的新建筑用 地 APCD 的面积最大,并求最大值.

22. (12 分)已知数列{an}中,a1=2,a2=3,其前 n 项和 Sn 满足 Sn+2+Sn=2Sn+1+1(n∈N ) ; 数列{bn}中,b1=a1,{bn+2}是以 4 为公比的等比数列. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; n﹣1 * * (2) 设 cn=bn+2+ (﹣1) λ?2an (λ 为非零整数, n∈N ) , 试确定 λ 的值, 使得对任意 n∈N , 都有 cn+1>cn 成立.

*

河南省实验中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)命题“若 A?B,则 A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题 有() A.0 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个
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考点: 四种命题的真假关系. 专题: 计算题. 分析: 先判断原命题的真假, 再判断逆命题的真假, 然后由原命题和逆否命题是等价命题, 逆命题和否命题是等价命题来判断逆否命题和否命题的真假. 解答: 解:原命题:“若 A?B,则 A=B”是假命题, ∵原命题和逆否命题是等价命题, ∴逆否命题一定是假命题; 逆命题:“若 A=B,则 A?B”是真命题, ∵逆命题和否命题是等价命题. ∴否命题一定是真命题. 故选 B. 点评: 本题考查四种命题的真假判断, 解题时要认真审题, 注意原命题和逆否命题是等价 命题,逆命题和否命题是等价命题. 2. (5 分)在△ ABC 中,a=2,b= A. B.

,A=

,则 B=() C. D.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据正弦定理 求得 sinB= . 再由 b<a 可得 B<A, 从而求得 B 的值. ,A= ,则根据正弦定理可得 ,

解答: 解:在△ ABC 中,由于 a=2,b= 即 = ,求得 sinB= .

再由 b<a 可得 B<A,∴B=



故选 B. 点评: 本题主要考查正弦定理的应用,以及大边对大角,根据三角函数的值求角,属于中 档题. 3. (5 分)在△ ABC 中,sinA:sinB:sinC=4:3:2,则 cosA 的值是() A.﹣ B. C. ﹣ D.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 已知比例式利用正弦定理化简求出三边之比, 进而设出三边长, 利用余弦定理表示 出 cosA,将三边长代入即可求出 cosA 的值. 解答: 解:在△ ABC 中,sinA:sinB:sinC=4:3:2,
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利用正弦定理化简得:a:b:c=4:3:2, 设 a=4k,b=3k,c=2k, ∴cosA= = =﹣ .

故选:A. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,熟练掌握定理是解本题的关键. 4. (5 分)x>1,y>1 且 lgx+lgy=4,则 lgxlgy 最大值为() A.2 B. 4 C. 8 考点: 专题: 分析: 解答: 基本不等式. 不等式的解法及应用. 利用基本不等式和对数的意义即可得出. 解:∵x>1,y>1,∴lgx>0,lgy>0.

D.16

∴4=lgx+lgy ,化为 lgx?lgy≤4,当且仅当 lgx=lgy=2 即 x=y=100 时取等号. 故 lgxlgy 最大值为 4. 故选:B. 点评: 本题考查了基本不等式和对数的运算,属于基础题.

5. (5 分)设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=4x+2y 的最大值为()

A.12

B.10

C. 8

D.2

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 1.作出可行域 2 目标函数 z 的几何意义:直线截距 2 倍,直线截距去的最大值时 z 也取得最大值 解答: 解:本题主要考查目标函数最值的求法,属于容易题,做出可行域,由图可知,当 目标函数过直线 y=1 与 x+y=3 的交点(2,1)时,z 取得最大值 10.

点评: 本题考查线性规划问题:目标函数的几何意义

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6. (5 分)在△ ABC 中, A. B.

,三边长 a,b,c 成等差数列,且 ac=6,则 b 的值是() C. D.

考点: 数列与三角函数的综合. 专题: 综合题. 分析: 根据三边长 a,b,c 成等差数列,可得 a+c=2b,再利用余弦定理及 ac=6,可求 b 的值. 解答: 解:由题意,∵三边长 a,b,c 成等差数列 ∴a+c=2b ∵ ∴由余弦定理得 b =a +c ﹣2accosB=(a+c) ﹣3ac ∵ac=6 ∴b =6 ∴ 故选 D. 点评: 本题以三角形载体,考查余弦定理的运用,考查数列与三角函数的综合,属于中档 题. 7. (5 分)数列{an}的通项式 an= A.第 9 项 C. 第 10 项 考点: 数列的函数特性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 利用导数考察函数 f(x)= 解答: 解:由数列{an}的通项式 an= (x>0)的单调性即可得出. ,考察函数 f(x)= (x>0)的单调性. ,则数列{an}中的最大项是() B. 第 10 项和第 9 项 D.第 9 项和第 8 项
2 2 2 2 2

∵f′(x)=

, ,此时函数 f(x)单调递增;令 f′(x)<0,解得 ,

令 f′(x)≥0,解得 0< 此时函数 f(x)单调递减.

而 ,f(9)=f(10) . ∴数列{an}中的最大项是第 10 项和第 9 项. 故选:B. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值, 考查了计算能力, 属于基础题.

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8. (5 分)已知等差数列{an}中,有 Sn>0 成立的 n 的最大值为() A.11 B.19

+1<0,且该数列的前 n 项和 Sn 有最大值,则使得

C.20

D.21

考点: 等差数列的前 n 项和;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 <0,公差 d<0,进而可得 S19>0,S20<0,可得答案.

解答: 解:由

+1<0 可得

<0

又∵数列的前 n 项和 Sn 有最大值, ∴可得数列的公差 d<0, ∴a10>0,a11+a10<0,a11<0, ∴a1+a19=2a10>0,a1+a20=a11+a10<0. ∴S19>0,S20<0 ∴使得 Sn>0 的 n 的最大值 n=19, 故选 B 点评: 本题考查等差数列的性质在求解和的最值中应用,属基础题.

9. (5 分)设 x,y 都是正数,且 2x+y=1,则 A.4 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ = B. 3

的最小值是() C.2+3 D.3+2

基本不等式. 不等式的解法及应用. 利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出. 解:∵x,y 都是正数,且 2x+y=1, =3+ =3+2 ,当且仅当 y= x= ﹣1

时取等号. 因此 的最小值是 .

故选:D. 点评: 本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质,属于基础题. 10. (5 分)数列{an}的首项为 1,{bn}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,且 bn=an+1 *) ﹣an(n∈N 则 an=() n n n+1 n A.2 ﹣1 B. 2 C.2 ﹣1 D.2 ﹣2 考点: 数列递推式.
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专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等比数列的通项公式求出 bn,然后利用累加法即可求出数列的通项公式. 解答: 解:∵{bn}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列, n﹣1 n ∴bn=2?2 =2 , n 即 bn=an+1﹣an=2 , 1 则 a2﹣a1=2 , 2 a3﹣a2=2 , 3 a4﹣a3=2 , … an﹣an﹣1=2 , 等式两边同时相加得, an﹣a1=
n n n﹣1

=2 ﹣2,

n

即 an=2 ﹣2+1=2 ﹣1, 故选:A 点评: 本题主要考查数列通项公式的求解, 根据等比数列的通项公式以及累加法是解决本 题的关键.

11. (5 分) 若两个等差数列{an},{bn}的前 n 项的和为 An,Bn.且 () A. B. C. D.

,则

=

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列.

分析:

=

=

,代入可得结论.

解答: 解:

=

=

=

=



故选:D. 点评: 本题考查等差数列的通项与求和,考查学生的计算能力,比较基础. 12. (5 分)已知平面区域 D 由以 A(1,3) ,B(5,2) ,C(3,1)为顶点的三角形内部以 及边界组成.若在区域 D 上有无穷多个点(x,y)可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m=() A.﹣2 B.﹣1 C. 1 D.4

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考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 将目标函数 z=x+my 化成斜截式方程后得:y=﹣ x+ z,若 m>0 时,目标函数值 Z 与直线族: y=﹣ x+ z 截距同号, 当直线族 y=﹣ x+ z 的斜率与直线 AC 的斜率相等时, 目标函数 z=x+my 取得最小值的最优解有无数多个;若 m<0 时,目标函数值 Z 与直线族: y=﹣ x+ z 截距异号,当直线族 y=﹣ x+ z 的斜率与直线 BC 的斜率相等时,目标函数 z=x+my 取得最小值的最优解有无数多个, 但此时是取目标函数取最大值的最优解为无数个, 不满足条件. 解答: 解:依题意,满足已知条件的三角形如下图示: 令 z=0,可得直线 x+my=0 的斜率为﹣ , 结合可行域可知当直线 x+my=0 与直线 AC 平行时, 线段 AC 上的任意一点都可使目标函数 z=x+my 取得最小值, 而直线 AC 的斜率为 =﹣1,

所以﹣ =﹣1,解得 m=1, 故选 C. 增加网友的解法,相当巧妙值得体会!请看: 依题意,1+3m=5+2m<3+m,或 1+3m=3+m<5+2m,或 3+m=5+2m<1+3m 解得 m∈空集,或 m=1,或 m∈空集, 所以 m=1,选 C. 评析: 此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴, 区域的三个顶点中一定有两 个顶点的坐标是最优解,故此两点处函数值相等,小于第三个顶点处的目标函数值,本题略 去了判断最优解取到位置的判断,用三个不等式概括了三种情况,从而解出参数的范围,此 方法可以在此类求参数的题中推广,具有一般性!

点评: 目标函数的最优解有无数多个,处理方法一般是:①将目标函数的解析式进行变 形,化成斜截式;②分析 Z 与截距的关系,是符号相同,还是相反;③根据分析结果,结 合图形做出结论④根据斜率相等求出参数.
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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上) 13. (5 分)设 a= ﹣ ,b= ﹣ ,c= ﹣ ,则 a、b、c 的大小顺序是 a>b>c. 考点: 不等式比较大小. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 不妨设 a>b,由此得出 a>b,同理得出 b>c,即可得出 a、b、c 的大小顺序. 解答: 解:∵a= ﹣ >0,b= ﹣ >0,c= ﹣ >0, 不妨设 a>b, 即 ﹣ > ﹣ , ∴ + > + , ∴8+2 >8+2 , 即 > , ∴15>12, ∴a>b, 同理 b>c; ∴a、b、c 的大小顺序是 a>b>c. 故答案为:a>b>c. 点评: 本题考查了表达式的比较大小的问题, 解题时应先比较两个数的大小, 从而得出正 确的结果,是基础题. 14. (5 分)不等式 x ﹣ax﹣b<0 的解集是(2,3) ,则不等式 bx ﹣ax﹣1>0 的解集是(﹣ ,﹣ ) .
2 2

考点: 一元二次不等式的应用. 专题: 计算题. 分析: 根据不等式 x ﹣ax﹣b<0 的解为 2<x<3, 得到一元二次方程 x ﹣ax﹣b=0 的根为 2 x1=2,x2=3,利用根据根与系数的关系可得 a=5,b=﹣6,因此不等式 bx ﹣ax﹣1>0 即不等 式﹣6x ﹣5x﹣1>0,解之即得﹣ <x<﹣ ,所示解集为(﹣ ,﹣ ) . 解答: 解:∵不等式 x ﹣ax﹣b<0 的解为 2<x<3, 2 ∴一元二次方程 x ﹣ax﹣b=0 的根为 x1=2,x2=3, 根据根与系数的关系可得:
2 2 2 2 2 2

,所以 a=5,b=﹣6;

不等式 bx ﹣ax﹣1>0 即不等式﹣6x ﹣5x﹣1>0, 整理,得 6x +5x+1<0,即(2x+1) (3x+1)<0,解之得﹣ <x<﹣ ∴不等式 bx ﹣ax﹣1>0 的解集是(﹣ ,﹣ ) 故答案为: (﹣ ,﹣ )
2 2

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点评: 本题给出含有字母参数的一元二次不等式的解集, 求参数的值并解另一个一元二次 不等式的解集, 着重考查了一元二次不等式的解法、 一元二次方程根与系数的关系等知识点, 属于基础题. 15. (5 分)把一数列依次按第一个括号内一个数,第二个括号内两个数,第三个括号内三 个数,第四个括号内一个数,…循环分为(1) , (3,5) , (7,9,11) , (13) , (15,17) , (19, 21,23) , (25) ,…,则第 100 个括号内的数为 397. 考点: 归纳推理. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: 括号里的数有规律:即每三个一组,里面的数都是 1+2+3=6,所以到第 100 个括号 内的数为第 34 组的第一个数,即可得出结论. 解答: 解:括号里的数有规律:即每三个括号算一组,里面的数个数都是 1+2+3=6 个, 所以到第 100 个括号内的数为第 34 组的第一个数, 第 100 个括号内的数为是 2×(33×6+1)﹣1=397. 故答案为:397 点评: 本题是等差数列的通项公式的简单运用及等差数列的求和公式, 属于基本知识的运 用,试题较易. 16. (5 分)在三角形 ABC 中,若角 A,B,C 所对的三边 a,b,c 成等差数列,则下列结 论中正确的是(1) (3) (4) (填上所有正确结论的序号) (1)b ≥ac(2)
2

(3)b ≤

2

(4)tan

2



考点: 解三角形. 专题: 解三角形. 分析: 由 a,b,c 成等差数列,利用等差数列的性质得到 2b=a+c,利用基本不等式得到 a+c≥2 ,把 2b=a+c 代入得到结果,即可对于选项(1)做出判断;选项(2)中不等式左 边通分并利用同分母分式的加法法则变形,把选项(1)的结论代入即可做出判断;利用作 差法判断选项(3)即可;利用余弦定理表示出 cosB,把 2b=a+c 代入并利用基本不等式化 简求出 cosB 的范围,确定出 B 的范围,即可求出 tan
2

的范围,做出判断.

解答: 解:由 a,b,c 成等差数列,得到 2b=a+c, ∵a+c≥2 , 2 ∴2b≥2 ,即 b ≥ac,选项(1)正确; + = = ≥ = ,选项(2)错误;

∵b ﹣

2

=



=﹣

≤0,选项(3)正确;

由余弦定理得: cosB= = = ≥ = ,

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∴0<B≤ 则 tan
2



≤ ,选项(4)正确,

故答案为: (1) (3) (4) 点评: 此题属于解三角形题型,涉及的知识有:等差数列的性质,基本不等式的运用,余 弦定理,以及正切函数的性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键. 三、解答题(本大题共 6 小题,70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 2 2 17. (10 分)设条件 p:2x ﹣3x+1≤0,条件 q:x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p 是¬q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 利用不等式的解法求解出命题 p,q 中的不等式范围问题,结合二者的关系得出关 于字母 a 的不等式,从而求解出 a 的取值范围. 解答: 解:由题意得,命题 ∵?p 是?q 的必要不充分条件, ∴p 是 q 的充分不必要条件, 即 A?B, ∴ ∴ . , ,命题 q:B={x|a≤x≤a+1},

故实数 a 的取值范围为. 点评: 本题考查一元二次不等式的解法, 考查二次不等式与二次函数的关系, 注意等价转 化思想的运用. 18. (12 分)△ ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB. (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ) 已知等式利用正弦定理化简, 再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式 变形, 求出 tanB 的值, 由 B 为三角形的内角, 利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; (Ⅱ)利用三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积,把 sinB 的值代入,得到三角形面 积最大即为 ac 最大,利用余弦定理列出关系式,再利用基本不等式求出 ac 的最大值,即可 得到面积的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)由已知及正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinBsinC①, ∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC②, ∴sinB=cosB,即 tanB=1, ∵B 为三角形的内角,
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∴B=

; ac,
2 2

(Ⅱ)S△ ABC= acsinB=

由已知及余弦定理得:4=a +c ﹣2accos 整理得:ac≤

≥2ac﹣2ac×



,当且仅当 a=c 时,等号成立, × = × ×(2+ )= +1.

则△ ABC 面积的最大值为 ×

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,两角和与差的正弦函数公式,以 及基本不等式的运用,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 19. (12 分) (1)已知 a,b,c 为任意实数,求证:a +b +c ≥ab+bc+ca; (2)设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,求证:ab+bc+ca≤ .
2 2 2

考点: 不等式的证明. 专题: 证明题;不等式的解法及应用. 2 2 2 2 2 2 分析: (1)利用基本不等式可得 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca,三式相加即得结论, 2 2 2 2 2 2 2 (2)利用(a+b+c) =a +b +c +2ab+2bc+2ca=1,a +b +c ≥ab+bc+ca,即可证明. 2 2 2 2 2 2 解答: 证明: (1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca, 2 2 2 三式相加即得 a +b +c ≥ab+bc+ca, (6 分) 2 2 2 2 2 2 2 (2)因为(a+b+c) =a +b +c +2ab+2bc+2ca=1,a +b +c ≥ab+bc+ca, 所以 (12 分)

点评: 本题考查不等式的证明,考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 20. (12 分)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=﹣10 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{ }的前 n 项和.

考点: 等差数列的通项公式;数列的求和. 专题: 综合题. 分析: (I) 根据等差数列的通项公式化简 a2=0 和 a6+a8=﹣10,得到关于首项和公差的方程组,求出方 程组的解即可得到数列的首项和公差,根据首项和公差写出数列的通项公式即可; (II)

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把(I)求出通项公式代入已知数列,列举出各项记作①,然后给两边都除以 2 得另一个关 系式记作②,①﹣②后,利用 an 的通项公式及等比数列的前 n 项和的公式化简后,即可 得到数列{ }的前 n 项和的通项公式.

解答: 解: (I)设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得



解得:



故数列{an}的通项公式为 an=2﹣n; (II)设数列{ }的前 n 项和为 Sn,即 Sn=a1+ +…+ ①,故 S1=1,

=

+

+…+

②,

当 n>1 时,①﹣②得: =a1+ +…+ ﹣

=1﹣( + +…+

)﹣

=1﹣(1﹣

)﹣

=



所以 Sn=



综上,数列{

}的前 n 项和 Sn=



点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值, 会利用错位相减法求数列的 和,是一道中档题. 21. (12 分)长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示.经规划调研确定,棚改规 划建筑用地区域近似地为半径是 R 的圆面. 该圆面的内接四边形 ABCD 是原棚户建筑用地, 测量可知边界 AB=AD=4 万米,BC=6 万米,CD=2 万米. (1)请计算原棚户区建筑用地 ABCD 的面积及圆面的半径 R 的值; (2)因地理条件的限制,边界 AD、DC 不能变更,而边界 AB、BC 可以调整,为了提高 棚户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧 ABC 上设计一点 P;使得棚户区改造的新建筑用 地 APCD 的面积最大,并求最大值.

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考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;综合题. 分析: (1)连接 AC,根据余弦定理求得 cos∠ABC 的值,进而求得∠ABC,然后利用 三角形面积公式分别求得△ ABC 和△ ADC 的面积, 二者相加即可求得四边形 ABCD 的面积, 在△ ABC 中,由余弦定理求得 AC,进而利用正弦定理求得外接圆的半径. (2)设 AP=x,CP=y.根据余弦定理求得 x 和 y 的关系式,进而根据均值不等式求得 xy 的 最大值,进而求得△ APC 的面积的最大值,与△ ADC 的面积相加即可求得四边形 APCD 面 积的最大值. 解答: 解: (1)因为四边形 ABCD 内接于圆, 所以∠ABC+∠ADC=180°,连接 AC,由余弦定理: 2 2 2 AC =4 +6 ﹣2×4×6×cos∠ABC 2 2 =4 +2 ﹣2×2×4cos∠ADC、 所以 cos∠ABC= ,∵∠ABC∈(0,π) , 故∠ABC=60°. S 四边形 ABCD= ×4×6×sin60°+ ×2×4×sin120° =8 (万平方米) . 在△ ABC 中,由余弦定理: AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cos∠ABC =16+36﹣2×4×6× . AC=2 . = = =2R, = ,
2 2 2

由正弦定理 ∴2R=

∴R=

(万米) .

(2)∵S 四边形 APCD=S△ ADC+S△ APC, 又 S△ ADC= AD?CD?sin120°=2 设 AP=x,CP=y. 则 S△ APC= xy?sin60°= xy. ,

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又由余弦定理 AC =x +y ﹣2xycos60° 2 2 =x +y ﹣xy=28. 2 2 ∴x +y ﹣xy≥2xy﹣xy=xy. ∴xy≤28,当且仅当 x=y 时取等号 ∴S 四边形 APCD=2 ∴最大面积为 9 + xy≤2 + ×28=9 ,

2

2

2

万平方米.

点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用, 正弦定理和余弦定理的应用以及基本不等式 求最值.考查了基础知识的综合运用. 22. (12 分)已知数列{an}中,a1=2,a2=3,其前 n 项和 Sn 满足 Sn+2+Sn=2Sn+1+1(n∈N ) ; 数列{bn}中,b1=a1,{bn+2}是以 4 为公比的等比数列. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; n﹣1 * * (2) 设 cn=bn+2+ (﹣1) λ?2an (λ 为非零整数, n∈N ) , 试确定 λ 的值, 使得对任意 n∈N , 都有 cn+1>cn 成立. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 Sn+2+Sn=2Sn+1+1 得 Sn+2﹣Sn+1﹣(Sn+1﹣Sn)=1,即 an+2﹣an+1=1(n≥1) , 再验证 a2﹣a1=1,从而得到数列{an}是等差数列,并求出 a1 和公差 d,由等差数列、等比数 列的通项公式求出 an,bn; n ﹣1 n﹣1 (2)由(1)和题意求出 cn,代入 cn+1﹣cn 化简并将不等式转化为: (﹣1) λ<2 恒成 立,再对 n 分偶数、奇数讨论,分别分离出 λ,再由指数函数的单调性和 n 的取值,求出对 应的最值,从而求出 c 的范围. 解答: 解: (1)由 Sn+2+Sn=2Sn+1+1 得,Sn+2﹣Sn+1﹣(Sn+1﹣Sn)=1, 所以 an+2﹣an+1=1(n≥1) (2 分) 又 a2﹣a1=1,所以数列{an}是以 a1=2 为首项,1 为公差的等差数列. 所以 an=n+1. (4 分) 因为{bn+2}是以 4 为首项,4 为公比的等比数列. n 所以 bn=4 ﹣2. (6 分) n n n﹣1 n+1 (2)因为 an=n+1,bn=4 ﹣2,所以 cn=4 +(﹣1) λ?2 . n+1 n n n+2 n﹣1 n+1 要使 cn+1>cn 恒成立,需 cn+1﹣cn=4 ﹣4 +(﹣1) λ?2 ﹣(﹣1) λ?2 >0 恒成立, n n﹣1 n+1 n﹣1 n﹣1 即 3?4 ﹣3λ(﹣1) 2 >0 恒成立.所以(﹣1) λ<2 恒成立. (9 分) n﹣1 ①当 n 为奇数时,即 λ<2 恒成立, n﹣1 当且仅当 n=1 时,2 有最小值 1,所以 λ<1; (10 分) n﹣1 ②当 n 为偶数时,即 λ>﹣2 恒成立, n﹣1 当且仅当 n=2 时,﹣2 有最大值﹣2.所以 λ>﹣2, (11 分)
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*

结合①②可知﹣2<λ<1. 又 λ 为非零整数,则 λ=﹣1. 故存在 λ=﹣1,使得对任意 n∈N ,都有 cn+1>cn 成立. (12 分) 点评: 本题考查等比、等差数列的通项公式,以及作差法解决数列不等式问题,恒成立问 题转化为求函数的最值问题.
*

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