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3.3.1双曲线及其标准方程 教案(北师大版选修2-1)


§ 3 双曲线 3.1 双曲线及其标准方程 ●三维目标 1.知识与技能 (1)了解双曲线的定义和标准方程. (2)会推导双曲线的标准方程. 2.过程与方法 在求双曲线标准方程的过程中,进一步掌握解析几何的基本思想. 3.情感、态度与价值观 了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ●重点难点 重点:求双曲线的标准方程. 难点:应用双曲线的定义及标准方程解决简单的应用问题. 有了椭圆的学习体验, 在学习双曲线的定义及标准方程的推导时, 可引导学生通过类比 来探究, 充分发挥学生的主体作用, 并通过引导学生比较椭圆与双曲线定义与标准方程的区 别,深化对双曲线的认识,从而突出重点,化解难点. (教师用书独具) ●教学建议 1.以类比思维作为教学的主线; 2.以自主探究作为学生的学习方式; 3.教法上以启发式、发现法为主,在教学中将启发、诱导贯穿于始终. ●教学流程 知识引入:知识回顾、观察动画、概括定义 知识探索:理解定义、推导方程、对比方 程 知识应用:例题讲解与变式训练 知识小结:知识总结、布置作业 课标解读 1.理解并掌握双曲线的定义, 了解双曲线的焦 点、焦距.(重点) 2.掌握双曲线的标准方程.(重点) 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单 的应用问题.(难点) 双曲线的定义 【问题导思】 取一条长拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上,一条边选择其端点,另一条边选 择中间的一点,分别固定到 F1、F2 上,F1 到 F2 的长为 2a(a>0),把笔尖放在 M 处,随着拉 链逐渐拉开或者闭拢,笔尖就画出一条曲线,如图所示. 1.笔尖在运动过程中,满足的条件是什么? 【提示】 |MF1|-|MF2|=2a. 2.笔尖 M 到两个定点 F1、F2 距离之差的绝对值与这两上定点间的距离有什么关系? 【提示】 ||MF1|-|MF2||<|F1F2|. 3.距离的差为什么要加绝对值? 【提示】 不加绝对值,得到的只是双曲线的一支. 双曲线的定义 我们把平面内到两定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点 的集合叫作双曲线. 定点 F1、F2 叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距. 双曲线的标准方程 【问题导思】 类比椭圆标准方程的推导,在推导双曲线方程时 1.如何建系? 【提示】 以直线 F1F2 为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系. 2.动点 M 的几何性质是什么? 【提示】 ||MF1|-|MF2||=2a. 3.怎样化简? 【提示】 先移项,再平方,移项是为使两个根式在等式的两边,平方是为了化无理式 为有理式. 双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 标准方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 焦点坐标 a,b,c 的 关系 c2=a2+b2 (-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c) x2 y2 - =1 a2 b2 y2 x2 - =1 a2 b2 焦点在 y 轴上 双曲线定义的应用 x2 y2 已知双曲线的方程是 - =1,点 P 在双曲线上,且到其中一个焦点 F1 的距 16 8 离为 10,点 N 是 PF1 的中点,求|ON|的大小(O 为坐标原点). 1 【思路探究】 连接 ON?ON 是△PF1F2 的中位线?求|PF2|?|ON|= |PF2| 2 1 【自主解答】 如图所示,连接 ON,F2P,ON 是△PF1F2 的中位线,∴|ON|= |PF2|. 2 ∵||P


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