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台州市2012学年第二学期高二年级期末质量评估理科数学试题(含答案)


台州市2012 学年高二年级期末质量评估试题 第二学期



学(理科)

2013.07

命题:冯海容(黄岩中学) 张文琴(台州一中) 审题:牟洪宇(黄岩第二高级中学) 一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知复数 z ?

A. 1 ? i D. ? 1 ? i 2.袋中共放有 6 个仅颜色不同的小球,其中 3 个红球,3 个白球,每次随机任取 1 个球, 共取 2 次,则下列不可作为随机变量的是 .. A.取到红球的次数 B.取到白球的次数 C.2 次取到的红球总数 D.取球的总次数 3.某校一年级共 3 个班,每班从 4 个风景点中选择一处游览(可重复选择) ,则不同的选 法共有 A.81 种 B.64 种 C.24 种 D.4 种
x 8 4.方程 C10 ? C10 的解集为

1? i (其中 i 为虚数单位) ,则 z ? i B. 1 ? i C. ? 1 ? i

A. 2,8} {

B. 2} {

C. 8} {

D. x | 0 ? x ? 10, x ? N} {

5.记 R 为实数集, P 为所有平面向量的集合,设 a , b, c ?R, x, y, z ? P .则下列类比所 得的结论正确的是 A.由 a ? b ? R,类比得 x ? y ? P B.由 (ab)c ? (bc)a ,类比得 ( x ? y) z ? ( y ? z) x
2 2 2 2 C.由 (a ? b) ? a ? 2ab ? b ,类比得 ( x ? y ) ? x ? 2 x ? y ? y 2 2

D.由 | ab |?| a | ? | b | ,类比得 | x ? y |?| x | ? | y | 6.把 3 个不同的小球放入 2 个不同的盒子中,若每个盒子均非空,则不同的放法种数为 A.4 B.6 C.8 D.10 7. 已知复数 z ? ?3 ? i(其中 i 为虚数单位) 复数 z 的共轭复数记作 z , z ? z1 ? 4 ? 3i , , 若
数学(理)试题卷第 1 页(共 8 页)

则在复平面内与复数 z1 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

8.有 3 位同学参加某项测试,假设每位同学能通过测试的概率都是 测试是相互独立的,则至少有二位同学能通过测试的概率为 A.

1 ,且各人能否通过 2
D.

1 8

B.

3 8

C.

1 2

7 8

9.若 f ' ( x) ? 2e x ? xe x (其中 e 为自然对数的底数),则 f (x) 可以是 A. xe ? x
x

B. ( x ? 1)e x ? 1

C. xe

x

D. ( x ? 1)e x ? x

10.有 6 张卡片,其中二张为 a ,二张为 b ,二张为 c ,从这 6 张卡片中等可能随机取出 4 张,则这 4 张中 a, b, c 均出现的概率是

4 8 7 1 B. C. D. 5 15 15 5 11.一排共有 9 个座位,现有 3 人就座,若要求每人左右均有空位,那么不同的坐法种数 为
A. A.24
2

B.36

C.60

D.72

12.已知函数 f ( x) ? x ? cos x ,对于 [ ?

? ? , ] 上的任意 x1 , x2 ,则下列条件中能使 2 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立是
A. x1 ? x 2 C. x1 ? x2 B. x1 ? x2
2 2

D. x2 ? x1

y

13.如图,记 S (t ) 为 x 轴、 y 轴、直线 x ? t 、曲线 y ? f (x) 所 围成的曲边形的面积, 则函数 y ? S (t ) 的导函数 y ? S (t ) 的
'

O x=t (第 13 题)

x

图象为 y y y y

O A.

t

O B.

t

O

t

O D.

t

数学(理)试题卷第 2 页(共 8 C. 页)

14.若 (2x ? 1)

n

? a0 ? a1 x ? ?? ai x i ? ?? an x n ,其中 n ? N * ,则

a1 ? 2 2 a2 ? ?? (?1) n?1 n 2 an ?
A. (?1) n?1 ? 2 ? (5n ? 4) C. 2n(2n ? 1) ? 3n?2 B. (?1) n?1 ? 6 ? (3n ? 2) D. (?1) n?1 ? 2n(2n ? 1)

二、填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 3 分, 共 18 分. 15.若复数 z ? (2 ? 3 i) 2 ? a (其中 i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a = 16.已知随机变量 ? ~ B(n, p) ,若 E? ? 2 , D? ?
n

▲ .

4 ,则 n ? 3





? 1 ? 1 ? 展开式中二项式系数之和为 128, 17. ? 3 x ? 若? 则展开式中含 2 项的系数是 ▲ . ? x x? ?
18.设函数 f ( x) ?

f1 ( x) ?
f 2 ( x) ? f 3 ( x) ?

f 4 ( x) ?

3x ,观察: x?3 3x f ( x) ? , x?3 3x f ( f1 ( x)) ? , 2x ? 3 x f ( f 2 ( x)) ? , x ?1 3x f ( f 3 ( x)) ? , 4x ? 3

…… 根据以上事实,由归纳推理可得:
* 当 n ? N 且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ?





19.由 0,1,2,3,4 五个数字组成的四位数中,若数字可以重复,则含有奇数个 2 的数 ....... 共有 ▲ 个.
2 n ?1

20.已知过 A(1, a) 作函数 y ? x 为 ▲ .

( n ? N * ) 图象的切线有三条,则实数 a 的取值范围

三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 21.(本小题满分 6 分)现有 6 本不同书,其中数学书 1 本,物理书 1 本,其它科目的书 4 本.按下列要求分给甲、乙、丙三人,各有多少种不同的分法?
数学(理)试题卷第 3 页(共 8 页)

(Ⅰ)甲得 1 本,乙得 2 本,丙得 3 本; (Ⅱ)每人 2 本,且数学书分给甲,物理书分给乙. 22.(本小题满分 7 分)在数列 {an } 中, a 2 ? (Ⅰ)求 a1 , a3 , a4 ; (Ⅱ)猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明.

1 * ,且 (n ? an )an?1 ? (n ? 1)an (n ? N ) . 4

* 23.(本小题满分 8 分)已知 f ( x) ? (2 ? a n x) n , n ? N , a ? R ,且 a ? 0 .

(Ⅰ)当 n ? 3 时, f (x) 的展开式的第三项的系数是第二项系数的 4 倍,求 a 的值; (Ⅱ)当 n ? 4 时,若 f ( x) ? b1 ? b2 x ? b3 x 2 ? b4 x 3 ? b5 x 4 ,且对任意的整数 i ,都 有 bi ?1 ? bi (1 ? i ? 4) 成立,求实数 a 的取值范围. 24.(本小题满分 9 分)袋子共装有 9 个球,其中 4 个白球,4 个黄球,1 个黑球,每次从袋 中取出一个球(不放回,且每球取到的机会均等) ,直到当袋中的白球数小于 2 个或黄 球数小于 2 个时才停止取球,记随机变量 ? 表示取球的次数. (Ⅰ)求当 ? ? 3 时的概率; (Ⅱ)求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E (?) .

2 1 25.(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? ln( ? ax) , g ( x) ? x ? ax ,其中 a 为实数.

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的极小值; (Ⅱ) 是否存在实数 a , 使得函数 y ? f (x) 与函数 y ? g (x) 在区间 [1,??) 上单调性相 同?若存在,请求出实数 a 的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)若对任意的实数 a ? (1, 2) ,总存在一个与 a 无关的实数 x1 ,且 x1 ? [ ,1] ,使 得 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? m ?

1 2

1 2 a 恒成立,求实数 m 的取值范围. 5

数学(理)试题卷第 4 页(共 8 页)

台州市2012 学年高二年级期末质量评估 第二学期
数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 3 分,共 42 分) 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 A 5 C 6 B 7 C 8 C 9 B 10 A 11 C 12 B 13 A 14 D

二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 15.5 16.6 17.21 18.

3x nx ? 3

19.223

20. (0,1)

三、解答题: 21.解:
1 2 3 (Ⅰ)由分步计数原理得: C6 ? C5 ? C3 ? 60

所以,甲得 1 本,乙得 2 本,丙得 3 本共有 60 种分法.……………………… 3 分
1 1 (Ⅱ)由分步计数原理得: C4 ?C3 ? 12 ;

所以每人 2 本,且数学书分给甲,物理书分给乙共有 12 种分法.…………… 6 分 另解: 由分步计数原理得: C4 ?C2 ? 12 ;
2 1

所以每人 2 本,且数学书分给甲,物理书分给乙共有 12 种分法. 22.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时,解得 a1 ? 1 ,当 n ? 2 时, a n ?1 ? 得 a3 ?

?n ? 1? an
n ? an



1 1 , a4 ? . 7 10

………………………………………………………… 3 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可猜想: a n ?

1 * ( n ? N )……………………………………… 4 分 3n ? 2

下面用数学归纳法证明这个猜想. (1)当 n=1 或2时,猜想显然成立;
数学(理)试题卷第 5 页(共 8 页)

* (2)假设当 n=k( k ? N 且 k ? 2 )时猜想成立,即 a k ?

1 , 3k ? 2

那么当 n ? k ? 1 时, a k ?1 ?

?k ? 1? ak
k ? ak

?

?k ? 1? ?

1 1 3k ? 2 ? , 1 3?k ? 1? ? 2 k? 3k ? 2

所以, n ? k ? 1 时猜想也成立. 根据(1)和(2) ,可知猜想对任意的 n ? N 都成立.………………………… 7 分 23.解: (Ⅰ)当 n ? 3 , f ( x) ? (2 ? a 3 x) 3 , 所以
1 2 f (x) 的展开式的第二项系数为 C3 ? 2 2 ? a 3 ,第三项系数为 C3 ? 2 ? a 6
6 3 得 2a ? 4 ? 4 ? a ,又因为 a ? 0 ,所以 a ? 2 ……………………………………4 分 ?

i (Ⅱ)由题意得 bi ? C4?1 ? 25?i ? (a 4 ) i ?1

由 bi ?1 ? bi 得 即

4! 4! ? 2 4 ?i ? ( a 4 ) i ? ? 2 5?i ? (a 4 ) i ?1 i!(4 ? i)! (i ? 1)!? (5 ? i)!
4

2i 对 i ? 1,2?,4 都成立;………………………………………………6 分 5?i 2i 4 又因为函数 g (i ) ? 在 [1,4] 上是递增,所以 a ? 8 ,………………………7 分 5?i
即a ?
3 3

得 a ? 2 4 或 a ? ?2 4 …………………………………………………………………8 分 24.解: (Ⅰ)当 ? ? 3 时,即三次都取白球,或都取黄球,则

P(? ? 3) ?

(Ⅱ)由题意得 ? 的所有可能取值为,3,4,5,6;……………………………………4 分

3 A4 2 ……………………………………………………………3 分 ?2 ? 3 21 A9

P(? ? 4) ? P(? ? 5) ?

1 1 3 C5C3 A4 5 ?2 ? 4 21 A9 2 3 C52 A4 A4 8 ?2 ? 5 21 A9

数学(理)试题卷第 6 页(共 8 页)

P(? ? 6) ?

2 3 3 C4 A5 A4 2 ? 2 ? ……………………………………………………7 分 6 7 A9

所以随机变量 ? 的分布列为

?
P

3

4

5

6

2 21

5 21

8 21

2 7

所以 E (?) ?

2 20 40 12 34 ? ? ? ? ………………………………………………………9 分 7 21 21 7 7

25.解:
' (Ⅰ)当 a ? 2 时, ( f ( x) ? g ( x)) ?

2 2 x(2 x ? 1) 1 ? 2x ? 2 ? ( x ? ? ) ………1 分 1 ? 2x 1 ? 2x 2

当 x ? ( ,?? ) 时, ( f ( x) ? g ( x))'? 0 ,函数 f ( x) ? g ( x) 递增;

1 2

1 2 1 当 x ? (? ,0) 时, ( f ( x) ? g ( x))'? 0 ,函数 f ( x) ? g ( x) 递增;………………2 分 2 1 3 所以当 x ? 时,函数 f ( x) ? g ( x) 取极小值 ? ? ln 2 ;………………………3 分 2 4 a , g ?( x) ? 2 x ? a ,………………4 分 (Ⅱ)由已知得 1 ? ax ? 0 ,又因为 f ?( x ) ? 1 ? ax
当 x ? (0, ) 时, ( f ( x) ? g ( x))'? 0 ,函数 f ( x) ? g ( x) 递减;

1 由题意得 f ?( x) ? g ?( x) ? 0且a ? 0 在 ? , ? ?? 上恒成立,


a ? ?2 x ? a ? ? 0且a ? 0 在 ?1, ? ?? 上恒成立, 1 ? ax

?1 ? ax ? 0 , ?1 ? ax ? 0 , ? ? ? ? a ? 0 , 或 ? a ? 0 , 在 ?1, ? ?? 上恒成立, …………………………5 分 ? 2x ? a ? 0 ? 2x ? a ? 0 ? ?
所以实数 a 的取值范围为 ?0, 2? . ……………………………………………………6 分
2 (Ⅲ)记 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 h( x) ? ln( ? ax) ? x ? ax , 1

数学(理)试题卷第 7 页(共 8 页)

? h?( x) ?

a 2ax2 ? 2 ? a 2 x x 2ax ? a 2 ? 2 ? 2x ? a ? ? , 1 ? ax 1 ? ax 1 ? ax a 2 ? 2 1 ?a ? 2??a ? 1? a2 ? 2 1 ? ? ? 0, 即 ? , 2a 2 2a 2a 2

?

?

?

?

??

?1 ? a ? 2 ?

所以 h(x) 在 ? , 1? 上单调递增,? h( x) max ? h(1) ? ln( ? a) ? 1 ? a ,………8 分 1 ?2 ? 所以只须 ln(1 ? a ) ? 1 ? a ? m ? 即 m ? ln(1 ? a ) ? 1 ? a ?

?1

?

1 2 a 对任意的 a ? ?1 , 2 ? 恒成立, 5

1 2 a 对任意的 a ? ?1 , 2 ? 恒成立; 5 1 2 记函数 H (a ) ? ln(1 ? a ) ? 1 ? a ? a (1 ? a ? 2) , 5
由 H ?(a) ?

1 2 2a 2 ? 3a ?1 ? a ? 1? a 5 5(1 ? a)
? ? 3? ?3 ? ? 上单调递减,在 ? 2 , 2 ? 单调递增, 2? ? ?

得 H (a ) 在 ?1 ,

3 5 1 ? H (a) min ? H ( ) ? ln ? , 2 2 20
所以实数 m 的取值范围为 ? ? ? , ln (其它方法请酌情给分)

? ?

5 1 ? ? ? .……………………………………10 分 2 20 ?

数学(理)试题卷第 8 页(共 8 页)



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