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应用三角换元法解高考最值问题


·解题方法·

数学通讯 — 2014 年第 1 期 ( 下半月)

29

应用三角换元法解高考最值问题
于志洪
( 江苏省泰州市森南新村 15 栋 103 室, 225300 )

三角代换法是一种用三角函数代替问题中的字 然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的 母, 一种换

元方法. 此法应用广泛, 本文仅就这种方法在 求解最值问题中的应用, 精选部分数学高考题为例 说明如下. 例1 ( 2013 年宁镇杨三市高考二模试题) x +槡 y ≤k 槡 2x + y , 若不等式槡 对任意正实数 x, y 成立, 求 k 的最小值. 本题已知条件是不等式, 常规解法是通 过不等式来推导求解 k 的最小值. 但如果通过变形 分析 后利用三角函数换元, 就简便多了. 解 y, 在题设不等式两边同除以槡 得 x + 1 ≤k y

试题精致小巧, 能较好地考查学生的数学思维水平 , 笔者仅介绍一种三角代换法. 解
2 2 4 x2 + xy + 由于 4 x + xy + y = 1 ,

y2 15 y2 + 16 16

= 1, 即( 2 x +

y 2 15 y2 y 15 槡 ) + = 1. 令 2x + = cosθ, 4 16 4 4

4 1 sinθ, sinθ. 从而 2 x = cosθ - 15 15 槡 槡 1 4 2 x + y = cosθ - sinθ + sinθ = 15 15 槡 槡 y = sinθ, 则y= 15 cosθ + 3sinθ 槡 24 15 3 槡 = × ( 槡 cosθ + sinθ ) = 15 15 24 24 槡 槡 槡 槡





2x +1 y



24 24 2 10 槡 sin( θ + φ) ≤ 槡 = 槡 . 5 15 15 槡 槡 15 10 π ( 其中设 φ∈( 0 , ) , 且 sinφ = 槡 = 槡 ) 2 4 24 槡 6 10 cosθ = sinφ = 槡 , 当 sinθ = cosφ = 槡 , 即当 x 4 4 10 10 = 槡 , y = 槡 时取最大值. 10 5 2 10 故 2 x + y 的最大值是 槡 . 5 第一步配方很关键, 接下来根据结构特 征采用三角换元顺利解决问题. 点评 例3 ( 2012 年浙江省数学高考文科试题 ) 若 y 满足 x + 3 y = 5 xy, 正数 x, 则 3 x + 4 y 的最小值是 ( ) A. 24 5 B. 28 5 C. 5 D. 6

1 x x 1 π 2 = tanθ ( 0 < θ < ) , 令 则 = tan θ, y 槡 2 y 2 2 1 k 1 tan2 θ + 1 , 代入①得 tanθ + 1 ≤ k 槡 化简得 ≥ cos θ 2 2 槡 槡



·

sinθ 1 + 1, 即 k≥ sinθ + cosθ. cosθ 2 槡 1 又 sinθ + cosθ = 2 槡





1 2 ) + 1 2 sin ( θ + φ ) = 2 槡

6 槡 sin( θ + φ ) , 2 ( φ 为锐角 ) 确 这里的 φ 由 tanφ = 槡 2 定. 1 π 易知当 sin( θ + φ) = 1 , 即 θ + φ = 时, sinθ + 2 2 槡 6 cosθ 有最大值槡 . 2 6 6 于是 k≥槡 , 即 k 的最小值是槡 . 2 2 例 2 ( 2011 年浙江省高考理科第 16 题) 2 2 y 为实数, 设 x, 若 4 x + xy + y = 1 , 则 2x + y 的 . 最大值是 该题条件以二次方程的形式给出, 求一 次式的最值, 入口较宽, 可以从多个角度进行思考, 分析

, “所求结论 ” 本题考查要求层次提升 并 “题设中的一部分 ” , 非 但比较容易找寻到“所求结 与“题 设 条 件 ” 间 的 关 系, 只 要 稍 作“变 换 ” 与 论” 分析 “变形” , “透过现象看本质, , 便能 吹尽黄沙见真金 ” “x + 3 y = 5 xy 这一假面具” 先还 为“真面目 3 1 + = 5x 5y

1” , “看似极其陌生的、 从而将 并不多见的问题 ” 一

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数学通讯 — 2014 年第 1 期 ( 下半月)

·解题方法·

举转化而化归为“实际上非常熟悉的、 较为常见的 , ( 因为 sin2 θ + cos2 θ = 问题” 只需运用“三角换元 ” 1 ) 求解就简便多了. 解 1 3 = 1. 又 x > 0, y> 由 x + 3 y = 5 xy, 得 + 5x 5y

2 2 联想到三 角 公 式 sec θ - tan θ = 1 , 不妨设 1 - z = xsecθ, y = xtanθ, 从而将多元函数式 xy + 2 xz 转化为

三角函数求最大值. 解 y, z < 1, 由已知可得 0 < x, 且 ( 1 - z)
2

- y2

3 3 0, = cos2 θ ( θ 为 锐 角 ) , , y = 可令 则 x = 5x 5cos2 θ 1 9 1 4 1 9 , 因此 3 x + 4 y = · 2 + · 2 = · 5 cos θ 5 sin θ 5 5sin2 θ cos θ + sin θ 4 cos θ + sin θ 9 4 + · = · tan2 θ + 5 5 5 cos2 θ sin2 θ 1 13 + ≥2 tan2 θ 5 5, 当且仅当
2 2 2 2

π = x2 , y = xtanθ, 令 1 - z = xsecθ, θ ∈ ( 0 , ) . 因为 - 2 2 - sinθ 2 < 0, 所以 xy + 2 xz = x tanθ + 2 x( 1 - xsecθ ) = cosθ - 2 - sinθ 2cosθ 2 - sinθ ( x2 - x) = - ( x - cosθ 2 - sinθ cosθ



9 4 1 13 12 13 tan2 θ· · 2 + = + = 5 5 tan θ 5 5 5

cosθ 2 cosθ cosθ ) + . ≤ 2 - sinθ 2 - sinθ 2 - sinθ 令t= cosθ , t2 + 1 sin ( θ + φ ) = 2 t ( φ 为 则槡 2 - sinθ 1 3 , 于是 t ≤槡 . 3 3

9 4 1 2 tan2 θ = · 2 , tan2 θ = 即 sin2 θ = 5 5 tan θ 3

2 , “ = ”成 立. 由 sin2 θ + cos2 θ = 1 得 cos2 θ 时 3 cos2 θ = 3 2 , sin2 θ = , 5 5

t2 + 1 , t2 ≤ 辅助角) . 所以 | 2 t | ≤ 槡

3 3 π 所以 xy + 2 xz≤槡 , 等号当且仅当 x = 槡 , θ= 即x 3 3 6 3 1 1 =槡, y= , z = 时成立. 故 xy + 2 xz 的最大值为 3 3 3 3 槡 . 3 点评 本题运用三角换元法求解, 思维自然, 解 , , 法流畅 这种创新的思维流程 对于有效指导学生解 激发学生的解题热情, 提高学生的解题能力, 大 题, 有益处.
2 例 6 ( 2013 年浙江大学自主招生试题 ) 若 x 2 2 + 2 xy - y2 = 7 ( x, y ∈R) , 求 x + y 的最小值.

1 y = 时, 3 x + 4 y 取到最小值 5 . 故选 即当 x = 1 , 2 C. ( 2008 年 高 考 重 庆 卷 ) 已 知 函 数 y = m 1 -x + 槡 x + 3 的最大值为 M, 最小值为 m, 则 的 槡 M 例4 值为 分析 . ax + b + 此题考查的是形如 y = 槡

cx + d ( ac < 0 ) 的无理函数最值的求法, 它是高中 槡 数学一个难点内容, 本文用三角代换法, 会使求解过 程快捷. 解
2 2 1 - x = s,槡 x + 3 = t, 令槡 则 s +t =4 ( s

这是一道二元最值问题, 根据题设, 通过 将题设变形可得到两种三角换元解法 . 分析 解法 1 7. 令

π t≥0 ) . 可设 s = 2cosθ, t = 2sinθ, 0, ] , ≥0 , θ∈[ 则y 2 π = s + t = 2cosθ + 2sinθ = 2 槡 2 sin ( θ + ) . 由 θ ∈[ 0, 4 2 π π π 3π π 槡 ] , , sin ( θ + ) ∈[ , 1] , 得 θ + ∈[ , ] 则 2 4 4 4 4 2 m 2 y∈[ 2, 2槡 2] , 2, m = 2, = 槡 . 所以 M = 2 槡 M 2 解此题的关键是通过三角代换把无理函 数转化为三角函数, 试题别具特色, 精致小巧, 能较 好地考察学生的数学思维水平. y, 例 5 ( 2010 年北京大学自主招生题 ) 设 x, z ∈R + 且 槡 x2 + y2 + z = 1 , 求 xy + 2 xz 的最大值. 分析 由题设条件可变形为 ( 1 - z )
2

{

2 2 2 2 由 x + 2 xy - y = 7 得( x + y ) - 2 y =

x + y =槡 7 secθ, 14 7 secθ - 槡 tanθ, y= 则 x =槡 2 2y =槡 7 tanθ, 槡
2

14 14 2 2 槡 tanθ, 7 secθ - 槡 tanθ ) 于是 x + y = ( 槡 2 2 14 ( 槡 tanθ ) 2 2 sinθ - 2 槡 ). sin2 θ - 1
2

+

=7 ×

sin2 θ - 槡 2 sinθ + 1 = 7( - 1 + 1 - sin2 θ

点评

2 sinθ - 2 = m, 2, -2 +槡 2) , 设槡 则 m∈( - 2 - 槡 2m 2 2 ) = 7( - 1 + 从而 x + y = 7 ( - 1 + 2 m + 4m + 2 2 2 2 ), -2槡 2] , 容易求得 m + ∈ ( - 4 , 故x 2 m m + +4 m

- y2 = x2 ,

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+ y2 ≤ 7 ( - 1 + 7槡 2 . 2

7 2 2 2 2 ) = 槡, 即( x +y ) 2 4 -2槡 2

min

=

测功能与较强的命题导向功效, 很值得我们一同来 鉴赏与探寻. 三角代换的优点在于可以将已知条件 中的一个或多个变量代换为同一个角的某个三角函 数来表示, 从而利于我们运用熟知的三角公式进行 化简, 直至问题的解决, 这种代换思想符合新课程改 革的理念精神, 利于学生融会贯通课本知识, 理解教 材内容, 利于提高学生的基本技能和基础知识 , 利于 激发学生学习的积极性, 利于发展学生的数学才能, 利于启迪学生思维、 拓宽知识视野, 提高分析问题和 解决实际问题的能力, 为此, 笔者认为: 有目的地引 导学生对高考问题进行探究是很有必要的 . 参考文献:
J] . 中学生理科应试, [ 1] 于志洪. 代换法求最值十二曲[ 2013 ( 4 ) . [ 2] 姚先伟. 三角换元巧解竞赛中的不等式问题[ J] . 数学 2010 ( 3 ) ( 上半月) . 通讯, [ 3] 张琴宇. 七用“代换法” [J] . 中学数学研究 ( 广州 ) . 2011 ( 7 ) . ( 收稿日期: 2013 - 10 - 10 )

2 2 y= 令 x = tcosθ, 解法 2 设 x + y = t ( t > 0 ) , 2 2 2 2 2 tsinθ, 代入 x + 2 xy - y = 7 得 t ( cos θ - sin θ ) + 2 t sin2 θ = 7 ,即 t2 ( cos2 θ + sin2 θ ) = 7 ,得 t2 =

7 2 , 显然( t ) cos2 θ + sin2 θ 7 2 = 槡. 2

min

=

2 7 7槡 2 2 , = 故( x + y ) 2 2 槡

min

y 中的任何一个量来表示另 本题中用 x, 一个量都显得很麻烦, 然而通过题设等式可变形为 点评 两个式子的平方差及待求式为平方和, 抓住这样的 y 统一为 θ 结构特点, 进而采用三角换元, 将变量 x, 的函数, 解答简单清晰, 让人耳目一新, 可谓“此中 ! 有真意, 欲辨已忘言” 综上所述可知: 上述求最大值和最小值的高考 题, 自主招生题等都是比较典型的三角代换题目 , 考 题根植于往年高考, 结构简洁, 原生形态, 看似平常, , , , 实乃新奇 构思精巧 意境高远 有着良好的考查检

“失误 ” 从一次 谈谈命制试题的严谨性
孙承辉
( 江苏省天一中学, 214101 )

1

命题中的一次失误 在课堂教学中, 教师有时需要对例题或习题进

l2 被圆 C 所截得弦长 ( 3 ) 当 a = - 1 时, 求 l1 , 之和的最大值. 于是笔者将此题略作修改, 命制成了下面这道 题目: 例2
2 2 B两 已知圆 O: x + y = 1 与 x 轴交于 A,

行变式教学, 在学情反馈时, 又需要改编参考资料中 的陈题, 这些工作需要创作的技巧以及缜密的思维 , 稍有疏忽就容易产生科学错误或者其它意想不到的 失误. 笔者在一次高三联考的命题工作中, 打算命制 一道将圆的基础知识和基本不等式的应用联系在一 起的试题, 正好看到 2009 年盐城市高三第三次调研 考试中有这么一题: 例1 已知圆 C : ( x + 2 )
2

0 ) 为一定点. 点, 点 M( t, ( 1 ) 略; ( 2) 当 t = 1 时, 过点 M 作两条相互垂直的直 2

l2 , l2 被圆 O 截得的弦长分别为 d1 , d2 , 记 l1 , 求 线 l1 , + y = 4, 相互垂直的
2

0) . l2 都过点 A( a, 两条直线 l1 , ( 1 ) ( 2 ) 略;

7 28 + 2 的最小值. d2 d2 1 并提供了如下的参考解答:


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