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1994年国家数学集训队测验试题及解答














年国家数学集训队测验试题及解答
黄宣国
复 旦 大 学 数学 研 究所



姚健 钢
北 京 市人 大 附 中


本文

讲授
题 是 新的
,

年 国家数学集训 队测验试题 中











,



一二,



的 几 何 部 分 几 何题 一 共 有

题 据作 者 所 知 其 中

,

,



,


一 一
一二,

题 是成题


,

次 浏脸 第
,

题 黄 宣 国供 题
,

,


,






,

,





在 一个 光 滑 的桌 面 上 放有 半径 分别 为
, ,





二一工 。

的三 个 木 球 每 个 木 球 均 与 桌 面 相 切 并 且 与 其 余 两
个 木 球 外 切 另 外 在 桌 面 上 还 有 一 个 半径 小 于
,
,



两 边平 方 有
一 一 一
,

工一


、 ‘ 了 、 吸 了

小木 球 与桌面 相 切 并且 与三个 木球 都外切 求这 个 小 木 球 的 半径





了 、 了, 、



易 知 半径 分别 为 八
,

,

,

的两 个 与 桌 面 相 切
, ,

式 展 开 后 化简 有


,

且 互 相 外 切 的球 与 桌 面 的 两 切 点 间 的 距 离 为

二设 小 木 球 半径 为 石二
木球 与 桌面 的 切 点 分 别 为
月刀 乃

半径分别 为
,
,

,




,

由于
, 二



二 丁




,

可得

,

于是

,











丫万 护丁
,

,


,

,




,

丫万


,

〔 第

次 测脸 第

题 李 成 章供 题
,

,

了丁

,

了石


过 正 十二 边 形 内 部 的 一 个 非 中心 点 最 多 能 作 夕 几 条 不 同的 对 角线 解


记乙 在 △
理 有

,



夕 则乙

,

刀月“



中 由余 弦 定

设 正十二边形为








?


,

对 份 〉





首先 证 明
,

条 对 角线
。 , ‘



丫岌不二 戈就


尹 又术之







,



那么

万 二币井
‘ ‘ 泣
,



相 交 于 正 十二 边 形 内 部 的





之 从 笋

,



一 个 非 中心 点 因 为

,

,

类似地 分别利 用 △
△ 力



子产

,

,

中余 弦 定 理 有


,


,


,

所 以 直线

,



。 ,

月,


,
, , ,











汽井 ‘



、 尹 了恤 产
‘ 、 了 、

‘ 、

分 别 是 △击


的三 条 内 角 平 分 线 于 是 与儿




〔 一

夕 〕



经过对 角线 凡
。 ,



的交 点


同理 直

线

义一

八 八

八 八
,



,

八 几

分别 是 △
也经过点

的三 条 内 角
于是 这
,

易得
二 二二

平分线 所 以 对 角 线 人

,





一扩

条 对 角线 相 交 于 点
于 中心
,

这点

在弦





,

不同

丫 飞
,



了一
,


,











下 面 证 明 在 正 十 二 边 形 中不 存 在

条 对 角线
,

丫 飞

相交 于 其 内部 的一 个 非 中心 点
用 反 证 法 假设这 样的

利用

,






条对 角 线 存 在 那 么
,






一 夕





条 对 角线的

个 端 点互 不 相 同 并 且 其 中 任 意



头〔




一 条 对 角线 将 正 十 二 边 形 的 外 接 圆 分 成 的 两 段 弧 上

分 别 有 其余

条 对 角线 的

个 端 点 由此 可 知 如 果

,

年第 这


,

个端 点给 出 那 么 这

,

条 对 角 线 也就 确 定 了
,

条边 设 这点 为

,

,

由 正 十 二 边 形 顶 点 的对 称 性 不 妨 设 这 点 中除 去
上述

个顶
, ,

若从

引出
,

条边
,



,

,


,

,

通 八
,

,

则 依题



,

,

八‘

,

,

月‘ 月 ,
,

中某 一 点 为

意 由于 没 有 四 面 体 那 么 由
、一
,



,








个 端 点 现 在 对 这 某 一 点 分情 况 讨 论
尸口 、 声尸阳

,

点 组 成 的子 图 中 投 有 三 角 形 由 结 论

,

这子 图 中



,

若这点为
对 角 线 中的


,

由于



,

,

月,

从而这
,


月。



,

,



,

、,



至 多有 〔

一 令〕
,



条边 那么 以

,

,

为顶 点 的三 角 形

月,

,

的交 点
,

与 中心
,

及点

至 多有

个 矛盾

在 一 条 直线上 △
,
,

只要 注 意到 △ 人
,

全 等于

若从点
,


,

引出
,

条边



,


,


,

,



,

以 及 △。材
,

全 等于 △
不在这

就 能 知道

这一性质 于是 交点
一条




条对 角线 中的 另


,
,

。 一 、一 气一 则 类 似 ‘’ 至 多 有 〔 〕





,

,



,



个三 角 形 以 人 为

上 矛盾
,

,,

顶点 矛盾

若从 点
,



引出
,

条边
,

八仍

,



,

月。

,

由于

若这点 为
八。
,

由于

月 几 一 月 , 几 ‘。
,

,

从而
和点

条对

没 有 四 面体 可知
,



,


,

个 点 构 成 的子 图 中

角线 中的

,

。 、

的交 点 盯 中 心



同一 条直线上 点
月 八


不在

条 对 角线 中的另一 条

,

没 有 三 角形 再 利 用 结 论 条边 从 而 以
,

?

这子 图至 多有 〔


,


,

上 也矛盾

,

?



为顶 点 的三 角 形 至 多 有
,
,



若这点为

,



,

姓。

,

中的某点 此 时
,

,

不以

为顶 点 的三 角 形 必 以 点

为一个顶 点 类

条 对 角线 中的
,



,

沪 都 是 直 径 必 相 交 于 中心

,

似地 也至 多有

,

个三 角形 那 么 三角 形 总 数簇
八,

矛盾

矛盾

综 上 所述 本 题 的 答 案 为

,

若从 点

引出

条边

,

… 月 注

,

,

,

则此
,



次 浏验 第
点 其 中任
, ,

题 李 成 章供 题
点不共面 在这

,

时 点 结论 有

,


?

,

,



个 点 构 成 的子 图 中没 有三 角 形 由

,

已 知空间中

至 多有 〔
,

连 接 若 干 条 线 段 使 图 中不 存 在 四 面 体 问 图 甲 最 多 有 多 少 个三 角 形
在 解
先证 明下 述 结论



,

一 〕





条边 从 而 原 图 中 至 多

,

个 三 角形 矛 盾
于 是 满 足 题 目 条 件 的三 角形 至 多
,


,
,


,

个点
,

,

,



,

,

分成
,

组弋



,



,

个 、数 不 超 过 〔
设这
,

个 点 的 空 间 图 中不 存 在 三 角形 则 其



。 ,



,

月。 八,
,

,

同 组 中两 点 不 连 线 而 不 个三角

,


、,
,

?

同 组 的 两 点 间 均 连 线 这 样 有 仍己

,
,

个点 为
,

,

其 中从
,

,

引出的

,

形 当然 无 一 个 四 面体

,

边数最多 不妨设共有


条边
,

,





,





,

次 测验 第
为 实数
已知点

题 夏兴 国供 题
对 应 的点 复数
,
,
,

,

一。

一 依条件 不存在三角形 那么点 凡 。

,


,

表 示 复平 面上 复数

?





之 间 没 有边相连 从而 空 间 图 中每条 边均 至
、,
,





,



,

少有 一个 端点 为
‘ 落 簇 一



,

中的点 而 每个 人
,

,

是 凸 五 边形
,

的 顶 点 并且 原 点 及 点

,

,

至 多引出

条 边 则 总 边 数簇






,



,



,



均在

的内

簇〔





,

部 求证 点 其 中任
, ,

下面 证 明空间 中
,

点不 共面 在这 个 图
,

,

,



“ 晋

?

点 间连接 若干 条线段 如果 图 内 已 有 至 少
,

证明
则在角

已知凸五边形

三 角形 则 至 少 有 一 个 四 面 体 用 反 证 法 假设 不 存 在 一 个 四 面 体 设 这 为

,
, ,

及 内部 一 点
,


,

,

个点

,

,

,


?

,





,

,

由抽 屉 原 理 其 中 必 有 一 点 为 至 少 的顶 点 、

,


,

中必 有一 个 不 超 过






。 个三 角 形


,








表示 不




?

结论

,

的证 明 假设

小于翌





,



的最 小整数 从而 从这个 点 至 少 引出






,


,
,





、 、 ’ 、

,

,

,

均 大于 禁 则
,

,



艺 。 要丸








夕十两






几二 夕






一几

那么


‘几



风 几



由三 角形 的 正 弦 定 理 有


黯 黯 湍 黯
隽器器器
? ? ?

?

?

?

丰一 一




,

‘ 风 〕

,




,










,







一二 飞 气

,

,







一八 个 …

?





、‘

产 夕少
,







” , ‘ 一

但是

于是 有


,


尹 再 兼顾

,

,


那么
,

“ 、

, ’

气吕








夕 蕊〔


凡 夕





夕 几
一一





夕 风 夕


与 夕


? ?。


,

? ?

‘“

?


。 ,



夕 一
,

。 夕 〕




,

‘一





‘一

” 一“

矛盾 ③, 。



,

、‘ ‘








,







、 、



二 二二






,

?

不 妨设



不超过




誓从 而 在 冲 至 多 有 一 角大 , 等 于 鉴又 角 一 这 , 个 角 一 或 , 大 于 器因

,

则 此 时有



,

?

,



?

可知 在
忱一
,



《 《
,


中必 有 一 个



即有 用

,







俩正

价 反 一飞 一 一 戮






,



一价

号 “‘ ,


,

,

,

风 夕…

,

,









那么

局 两
?







,

财旦 牛垫




因此 只可能
一 ,
,

,





一 。


记此 角





,








为书写 方便 不妨 “ 盾





卜,

,



, “

?

凡 这里应用
,

下面对


分 情 况 讨论





“。





晋那 么

仍 然 有‘

,

?



① 〔‘

,



,

幻 则此时
,
,

,



……

综 上 所述 结论
,

,

成立







气 乙


一, 一

矛盾


,
,

气 十 份二 十 头




,



, 几

叫 卜

,

,

、 乙五



下 面 来解 本 题 设距 原点 个 凸 五边形

,
,

最 远 的一
的顶 点 为
尸 几、

才勺



已 口

‘日








约 一 育又


少,


,

的 内 部 任意 一 点
。 《
,

一 则 。







‘ 擎、音
, 〕此 时 。





,

?




的距 离 均 不 会 超 过
于是 从
,

②, 。 〔 二

,



,

候粤

,



可 以 知道
,






下 面考 虑

?

’’

注 意 到 如果

,




,





。、






”时






?






?

”的 情





而十


口少 ,



而个

夕 。

由结 论 ‘

,

,

不 妨设
,




一 , ,一。
,


,


,

, ,,


?

因为





,

从而 点



在匕





内 于是 有
。 ‘ 。‘

,



比 乡 言 ‘

“‘

又。 十 声 ,
,




。、

十 十 产刀

,尸




一 一
吝 名



吕,



二 一 而十
?







而 向 童了 夏 又 刀 古 与可 石 币不司峨 表 的复 数分别 为

,

从而 有






,

于 是 复数

,

的 辐 角 小于 等 于



?

?。 ? ‘



只 斋 斋 》 斋 斋 韶






、一



努 即井

,

的 辐 角小 于 等于

—“

禁而






?

?



上护 之 葬 大 奥




年第
那么 有
, 是 ,
,

期 ‘
?

,

斋尚
。,




,

“ 晋


?

从 而 艺
艺 乙
,

,

乙 仍 △ 记 绕点




,


,

匕 的 △


,

次浏脸 第
为△


题 过 伯 祥供 题
的 内接 相 似三 角形 其 中
,

,

这导致 △




,

已知 △
,

仍△ 将△

二艺尸

分别 在

刃月

,

边上 且艺
△刀
,

,



,



顺 时针 旋 转 角
, ,
,

到 △’ ’ ’


,



则 点 ’在 射 线

上 点 ’ ’分 别 在 射 线

‘ £

作出 △ 把△
,
, , ,

的 一 个 内接 相 似

上 并 且 有 ’五

,




,

,

, 尸
,
,



求 证 这 个 构 图 中存 在 这 样 一 点

绕着 点
, ,


已知 尸
,

次 浏脸 第
为射 线

题 过 伯 祥供 题
上 两点

旋 转 一 个 适 当 角 度 到 △ ’’ ’ 这 时 点
, ,

为射 线 分别 在 线段
一 一

口 尸便分别在射线
,

,

以 〕上 且 ’ ’
, ,

上 两点 并满足
, ,

竺 塑
,

一 又

,

,





上 并且满足


得之口 ’ ’

在 艺
, ,

,

上 取点 ’ ,


,

再取点 ,

,

使
,

篇 篇 兴
, ,





艺口 ’ 于
,

连接
,

口 并 延长 文


,

过点
,

分别 作
于是
,



, ’ , ’的 平 行 线 交
,



三 点 的位 关 系 如 何 。 解 如 图 建 立 直 角坐 标 系 用 二 的横 坐 标与纵 坐 标 依题 目条 件 可 设
,
,

,



分别 表 示

面了

万万

又了


从 而


,

才 ’尸
仍 △口
,











再设
少,

丽 厢

,

,

,



,

,

,

,


,

,

△刀 ’ ’显 然 相 似 于 △
△ 则

却一

,
,

,



,

,




,

△刀








一 夕八





,

的一 个 内接相 似 证明

三 角形

再利 用

汤 妒定义

,


,

月一





艺 乙
,


,

一 介 翔一






知 匕


,

那么

,





二尸



,,


,






的 外接 圆 不 相 切 于 点

即这 两 圆 还 有 异 于


的一 个交点 下 面证 明

左 盖

,

夕‘ 盛



这交 点就 是题 目 中要 求
的点
见 图 因为艺 艺尸

,

那么

,

扛 二卫竺


二三 二二三兰

,

一 夕仙
,

一 二甘




’一

从而

三 点共线





次浏脸 第
,

题 过伯 祥供 越
凡 为 的 的 外 公 切 线 的交 点 在
,
,

,



一 一




艺尸


已 知 半径 不 等 的 相 离 两 圆

、,

内 公 切 线 的交 点

线段

,
,

上 取一 点

为 使得
,

,

在小 圆

的 外部 过

乙 匕


,

’ 从而 点

,

也在 △ 由于


的外接 圈 上
, , ,

为直 径 的圆 交 于 四 点 其 的两 条 切 线 与 以 ‘ 同 侧 的两 点 求 证 直 线 尸 尸 中 尸 尸 为在 直 线 为大 圆 的切 线

四 点共 圈 所 以 乙

,

,

证明 别为
, ’

设圆


, ,

的 圆 心 分别 为
,

,

,

半径 分




同理 艺
又艺

,

匕 坎了 匕
,

,



二艺

如 图 甲 容 易看到
上 而且
, ,

,

都在两 圆连心 线
,







锹毅汗





从 而 在 平面 上 , 足













八‘





的点

” 的 轨迹 为 以



为直 径 的 圆 ‘阿‘







入 。二
‘十
,

一匕









了呜
一 ‘
,

罗尼 圆


贫 才 一

了月

乙月






上 式表 明 匕 浅
,

,

,

乙儿



‘ 一
,

?



,

中有 一 个 角 不 小 于








图甲 如 图 乙 连接


于 是 命题 得 证

,

,

,

,

并且过
,

作圆


的切 线
,



因 为毛 共黔 尸




,

,

,



三 介
,

一 尸 头进 于 而 直 角 △。卜 相 。声 从 川 用 一 一
,










,

第 次浏脸 第 年第 页至 第
已知 △
,
,

题 《美 国 数 学 月

,







直 角 所以
因 为

在 △
,

的 形 外 作三 个 相 似 矩 形
,
,

满足条 件
,

竺一些

,

朋一 些

,






,



,



分 别在 线段




丑 方

,

”“ “
,





,

,

所以
一艺

,

图乙
沪 、
沪口

相交 成一 个 △


装 箫




二 旦



直线





,

求证



,

证 一 又明

拔 机 一
,



又 利用对称性 可知

,

一尸

那么 乙 匕 乙




艺尸

从而
十艺
,

,


十乙


,

,

如图 依照 题 日条 件 在 直 角 三 角

, ,





,


,



,

十乙


,




中 有

了 于是
劣 叮》 ,





三 点共 线

,




年第
已知



次 浏验 第

题 《美 国 数 学 月

,



,


,





,

艺月




?

,



,

沪 … 是这 正 一 定 存 在 一 个艺 ,
咖〔



边形 是 平面 上 一 个 正 边 形 内部 任意 一 点 求 证 , 满 足 二 一 二 二 蕊 儿 。街
,

将 它 们记 为 “ 那 么


,

,




一匕
,










一‘

















一乙


一匕













一匕




琢气

事 实上 此命题 对 于 任意 正 边 形 都成 立 欢 里正 整数 下 面 对 于 正 边 形 给 出证 明
,

证明


,

同理 艺 在 △





和 △


那么 △ 的△ 中 由正 弦 定 理 有
,

,

其顶

依次为




,

,

,







一 — 艺









夕 一升

最近 是距 点 的 正 走 边 形 的一 个顶 点 连 月 口 并延 长交正 多边

,

从而

,

形于 一 汽 如果
户,
,

?

为某个 顶 点
,

则 艺儿 如果



命题

丹’


入公
,


一一


卜 赤 壁



川 一

) 」 八 一 刀



一 。


?,

成立





一 嘿黯


,

“ …

, ?“

在某条 边
,




,



月, 月

的 内部 则 了
冈为
,




, ,






,


、 ‘

,




‘ ‘

再而 万
△ △注 况

十 ,

叹 霖孟

” 十 ?‘ 。 十

?

、 ,

于是 有

所 坦 二长

‘匕 簇乙
了入







生旦少 土丝塑经土 鲤必土 三
矛十厂

从而 乙 八

,

,


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