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2014-2015学年点拨高中数学必修4(北师大版)过关测试卷:模块测试卷


必修四模块测试卷
(150 分,120 分钟) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 〈易错题〉下列说法中正确的是( ) ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底; ②两个非零向量平行,则它们所在直线平行; ??? ? ???? ③△ABC 中,若 AB ? AC >0,则△ABC 为锐角三角形;
??? ? ???? ④△

ABC 中,若 AB ? AC <0,则△ABC 为钝角三角形.

A.①③

B.②④

C.③

D. ④

2. 在△ABC 中, ①sin(A+B)+sinC;②cos(B+C)+cosA; ③tan 其中恒为定值的是( ) A.①② B.②③

A? B C B?C A tan ;④cos sin , 2 2 2 2

C.②④

D.③④ )

3. 〈赣州一模〉向量 a,b 满足 a =2,a?b= A.

3 , a+b =2 2 ,则向量 a,b 夹角的余弦为( 2

3 4 3 C. D. 2 5 4 ? ? ? ? ? ? 4.已知函数 y=sin ? 2 x ? ? -m 在 ? 0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围为( 6? ? ? 2?

1 2

B.



1? 1? ?1 ? ? ?1 ? ? 1? 1 A. ? , B. ? ?1,- ? C. ? ,1 D. ? -,- ? 2? 2? ?2 ? ? ?2 ? ? ? 5. 〈创新题〉定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下,对任意的 a=(m,n),b=(p,q),令 a ⊙b=mq-np,下面说法错误的是( ) A.若 a 与 b 共线,则 a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a C.对任意的λ ∈R,有(λ a)⊙b=λ (a⊙b) D.(a⊙b)2+(a?b)2=|a|2|b|2 ??? ? ??? ???? ???? ? 6. 〈赣南冲刺训练〉平面上有四个互异的点 A,B,C,D,满足( AB - BC )?( AD - CD )

=0,则三角形 ABC 是( A.直角三角形 C.等腰直角三角形

) B.等腰三角形 D.等边三角形

7. 〈浙江能力提升训练〉 设△ABC 的三个内角为 A,B,C,向量 m=( 3 sin A,sin B),n =(cos B, 3 cos A),若 m?n=1+cos(A+B),则 C 等于 ( A. ) D.

?? 6 ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ???? 8. 〈名师预测〉已知点 O 为△ABC 所在平面内一点,且 OA + BC 2= OB 2+ CA 2= OC 2+
? 6
B.

? 3

C.

?? 3

??? ? AB 2,则 O 一定为△ABC 的(

) C.垂心 D.重心

A.外心

B.内心

9.北京召开的国际数学家大会会标如图 1 所示,它是由 4 个相同的直角 三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形, 若直角三角形中较小的锐 角为θ ,大正方形的面积是 1,小正方形的面积是 值等于( A.1 ) B.-

1 ,则 sin2θ -cos2θ 的 25
图1

24 25

C.

7 25

D.-

7 25

10.使函数 f(x)=sin(2x+θ )+ 是( A. )

? ?? 3 cos(2x+θ )是奇函数,且在 ? 0, ? 上是减函数的θ 的一个值 ? 4?

? ?? ?? ?? B. C. D. 3 3 3 3 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 〈重庆一轮复习〉已知向量 a=(1,3),b=(-3,4),则 a 在 b 方向上 的投影为______.
12.函数 f(x)=Asin(ω x+ ? ) (x∈R,A>0,ω >0,0< ? < 像如图 2 所示,则 f(x)的解析式为______.

? )的部分图 2

图2 ??? ? ???? 13 . 〈山东师大附中高三第四次模拟测试〉在四边形 ABCD 中, AB = DC = ( 1,1 ) ,
??? ? ???? ??? ? 1 1 3 ????? ? BA + ????? ? BC = ????? ? ? BD ,则四边形 ABCD 的面积为______. BA BC BD

14. 〈江苏能力训练〉不等式 sin2x+acosx+a2≥1+cosx 对一切 x∈R 成立,则实数 a 的取值范 围为______. 15.给出下列命题:

? ; 3 (2)若α ,β 是锐角△ABC 的内角,则 sinα >cosβ ; ?? ? ?2 (3)函数 y=sin ? x- ? 是偶函数; 2 ? ?3 ?? ? ? (4)函数 y=sin2x 的图像向右平移 个单位,得到 y=sin ? 2 x+ ? 的图像. 4? 4 ?
(1)存在实数 x,使 sinx+cosx= 其中正确命题的序号是______. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或步骤) 16.求函数 y=(sinα +a)(cosα +a)(0<a≤ 2 )的最值.

17.(12 分)〈徐州高一期末考〉设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,|3a-b|= 5 . (1)求|a+3b|的值; (2)求 3a-b 与 a+3b 夹角的正弦值.

3? ? 18.(12 分)已知向量 a=(sinx,-1),b= ? cos x, ? . 2? ? 2 (1)当 a∥b 时,求 cos x-3sin2x 的值; (2)求 f(x)=(a+b)?b 的最小正周期和单调递增区间.

19. (12 分) 已知定义在 R 上的函数 f(x)=asinω x+bcosω x(ω >0)的周期为π , 且对一切 x∈R, ? ?? 都有 f(x)≤f ? ? =4 ; ? 12 ? (1)求函数 f(x)的表达式; ?? ? (2)若 g(x)=f ? - x ? ,求函数 g(x)的单调增区间. ?6 ?

? 1 ? ,x ? (m 是常数). 20.(13 分)〈江苏冲刺训练〉已知向量 a=(mx2,-1),b= ? 1 ? mx- ?

1 是奇函数,求 m 的值; a?b ? ?? (2)若向量 a,b 的夹角θ 为 ?0, ? 中的值,求实数 x 的取值范围. ? 2?
(1)若 f(x)=

3x 3x ? x x? ? ? ? ?? 21.(14 分)〈山东专训〉已知向量 a= ? cos ,sin ? ,b= ? cos , ? sin ? ,且 x∈ ? 0, ? . 2 2 ? 2 2? ? ? ? 2? (1)求 a?b 及|a+b|的值;

(2)若 f(x)=a?b-2λ |a+b|的最小值是-

3 ,求λ 的值. 2

参考答案及点拨 一、1.D 点拨:平面内任意两个不共线向量都可以作为基底,故①错;平行向量包含两 ??? ? ???? 向量在一条直线上的情况,故②错; AB ? AC >0,只能说明∠A 是锐角,不能排除∠B 或
??? ? ???? ∠C 是钝角,故③错, ; AB ? AC <0 说明∠A 是钝角,故④对.

2 . B 点 拨 : ① sin(A+B)+sinC=2sinC ; ② cos(B+C)+cosA=0 ; ③ tan

A? B C tan =1 ; ④ 2 2

B?C A A sin =sin2 ,故选 B. 2 2 2 3.D 点拨:设向量 a,b 的夹角为θ .
cos ∵|a+b|=2 2 ,∴a2+2a?b+b2=8,∴|b|=1,∴cosθ =
a ?b 3 = . a b 4

?? ? ? ?? 4.C 点拨:问题等价于函数 f(x)=sin ? 2 x ? ? 的图像与直线 y=m 在 ? 0, ? 上有两个交点, 6? ? ? 2? ?1 ? 1 ? .正确答案为 C. 所以 m 的取值范围为 ? , ?2 ?

5.B 点拨:因为 b⊙a=pn-qm,而 a⊙b=mq-np,所以 a⊙b≠b⊙a,故选项 B 错误,选 B. ??? ? ??? ???? ???? ??? ? ??? ???? ???? ??? ? ? ? 6.B 点拨:由( AB - BC )?( AD - CD )=0,得( AB - BC )?( AD + DC )=0,即( AB -
??? ? ??? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ? ??? ? ??? ? BC )? AC =0,( AB - BC )?( AB + BC )=0,即 AB 2- BC 2=0,所以| AB |=| BC |,故三

角形 ABC 为等腰三角形. 7.C 点拨:依题意得, 3 sin Acos B+ 3 cos Asin B=1+cos(A+B), 3 sin(A+B)=1
?? ?? 1 ? ? ?? ? ? +cos(A+B), 3 sin C+cos C=1,2sin ? C ? ? =1,sin ? C ? ? = .又 <C+ < , 6 6 2 6 6 6 ? ? ? ?

因此 C+ 8.C

? ?? ?? = ,C= ,选 C. 6 6 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? 点拨:由 OA 2+ BC 2 = OB 2 + CA 2, 得 OA 2+ OC ? OB

?

?

2

??? ? ??? ? ???? = OB 2 + OA ? OC

?

?

2

,得

? ???? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? OC ? OB = OA ? OC .∴ OC ? AB =0,O 在边 AB 的高线上.同理 O 在边 AC 的高线上,即 O 为

△ABC 的垂心. 9.D 点拨: (cos θ - sin θ )2=

1 1 ? ?? ? cos θ - sin θ = ± ,∵ θ ∈ ? 0, ? , ∴ cos θ - sin θ 25 5 ? 4?

1 24 1 = ,2cosθ sinθ = , ∴sin2θ -cos2θ =(sinθ +cosθ )(sinθ -cosθ )=- (sinθ +cosθ )= 5 25 5

24 1 1 7 1+ =- 1+2sin ? cos ? =- . 25 5 5 25 ?? ? 点拨:∵ f(x)=sin(2x+θ )+ 3 cos(2x+ θ )=2sin ? 2 x+? + ? 是奇函数,∴ f(0)=0,故 3? ?

10 .B

?? ? ?? A,C 错误;又∵f(x)在 ? 0, ? 上是减函数,∴当θ = 时 f(x)=-2sin2x 成立. 3 ? 4?
二、11.

9 5

点拨:a 在 b 方向上的投影为

a ? b 1 ? ? ?3? ? 3 ? 4 9 = = . 2 2 b 5 ? ?3? ? 4

?? ?3 12.f(x)=2sin ? x+ ? 4? ?2

T ? ?? ? 3 ? ?? 点拨:由题图知 A=2, = , 则 =4? , ∴ω = .又 f ? ? ? 3 3 2 4 ? ? 6?

?? ?? ?3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =2sin ? ? ? ? +? ? =2sin ? ? ? ? =0, ∴sin ? ? ? ? =0, ∵0< ? < , ∴ ? <? ? < , 4 4 2 6 2 4 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ?

?? ? ? ?3 ∴ ? ? =0,即 ? = ,∴f(x)的解析式为 f(x)=2sin ? x+ ? . 4? 4 4 ?2 ??? ? ???? ??? ? ???? 13. 3 点拨:由 AB = DC =(1,1)可得| AB |=| DC |= 2 且四边形 ABCD 是平行四边形,再
??? ? ???? ??? ? ??? ??? ? ? 1 1 3 ? ? BD 可知 D 在∠ABC 的平分线上,且以 BA 及 BC 上单位 由 ????? ? BA + ????? ? BC = ????? BA BC BD

向量为边的平行四边形的一条对角线(如答图 1)是 PB= 3 ,因此∠ABC= S
四边形 ABCD

? ,AB=BC,所以 3

=ABsin

??? ? ???? ? ? ?BC= 2 ? 2 sin = 3 ,该题由 AB = DC =(1,1)考查向量相等的概念, 3 3

??? ? ???? ??? ? 1 1 3 ? ? BD 考查向量的加法的几何意义. 由 ????? ? BA + ????? ? BC = ????? BA BC BD

答图 1 14.a≥1 或 a≤-2 点拨:由题意,acosx+a2≥cos2x+cosx,即 cos2x+(1-a)cosx-a2≤0 对任意 x∈R 成立.令

? f ?1? ? 0, ? f(t)=t2+(1-a)t-a2(t=cosx,-1≤t≤1),∴ ? ? ? ? f ? ?1? ? 0
或 a≥1.

?1+?1 ? a ? ? a 2 ? 0, ? 解得 a≤-2 ? 2 ? ?1 ? ?1 ? a ? ? a ? 0.

? ? ?? 15. (1) (2) (3) 点拨:(1) sinx+cosx= 2 sin ? x+ ? ∈[- 2 , 2 ],而 ∈[- 2 , 2 ], 4? 3 ? 故(1)成立; ? ? ?? ? (2)锐角△ABC 中,α +β > ? α > -β ? sinα >sin ? ? ? ? ? sinα >cosβ ; 2 2 2 ? ? 2 ?? 2 ? 2 ? ? ? ? (3) y=sin ? x ? ? =sin ? x ? 4? ? ? =cos x 是偶函数; 2 ? 2? 3 ?3 ?3 ?? ?? ? ? ? (4) y=sin2x 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 为 y=sin2 ? x ? ? =sin ? 2 x ? ? 的 图 像 , 与 y = 4? 2? 4 ? ?

?? ? sin ? 2 x+ ? 的图像不同;故其中正确命题的序号是: (1) (2) (3). 4? ?

三、16.解: 设 sinα +cosα =t(- 2 ≤t≤ 2 ), 则 sinα cosα = y= = =

t2 ?1 ,于是 2

1 2 (t -1)+at+a2 2

1 2 1 t +at+a2- 2 2 1 1 1 (t+a)2+ a2- . 2 2 2

∵0<a≤ 2 ,∴- 2 ≤-a<0, ∴当 t=-a 时,y 最小=

1 2 1 a- ; 2 2 1 . 2 5 . 6

当 t= 2 时,y 最大=a2+ 2 a+

17.解:(1)由|3a-b|= 5 ,得(3a-b)2=5,所以 9a2-6a?b+b2=5,因为 a2=b2=1,所以 a?b= 因此(a+3b)2=a2+6a?b+9b2=15,所以|a+3b|= 15 . (2) 设 3a - b 与 a+3b 的夹角为 θ , 因为 (3a - b) ? (a+3b)=3a2+8a ? b - 3b2=

20 , 则 cos θ 3

20 2 ?4 3? 4 3 33 2 3 = = ,因为 0°≤θ ≤180°,所以 sinθ = 1 ? cos ? = 1 ? ? = ,所以 3a-b ? ? ? 9 9 5 3 ? 9 ?

与 a+3b 的夹角的正弦值为 18.解:(1)由 a∥b 得 所以 cos2x-3sin2x=

33 . 9

3 2 sinx+cosx=0,即 tanx=- , 2 3

45 cos2 x ? 6sin x cos x 1 ? 6 tan x = = . 1 ? tan 2 x 13 sin 2 x ? cos2 x 3? 1? ? ? (2) 因为 a=(sinx,-1),b= ? cos x, ? ;所以 a+b= ? sin x ? cos x, ? ; 2? 2? ? ?
f(x)=(a+b)?b=(sinx+cosx)cosx+
?? 5 2 3 1 5 ? = (sin2x+cos2x)+ = sin ? 2 x+ ? + ;所以最小正 2 4? 4 4 2 4 ?

周 期 为 π ; 由 2k π -

? ? ? ?? ? <2x+ <2k π + 得 k π - <x<k π + , 故 单 调 递增 区 间为 2 4 2 8 8

?? ?? ? ? k ? ? , k ? ? ? (k∈Z). 8 8? ?

19.解:(1)∵f(x)=asinω x+bcosω x= a2 +b2 sin(ω x+ ? )(其中 cos ? =

a a +b 2
2

,sin ? =

b a +b
2 2

),又周期 T=

2?

?

? ?? =π , ∴ω =2,∵对一切 x∈R,都有 f(x)≤f ? ? =4, ? 12 ?

? a 2 +b 2 =4, ? ? ?a=2, ∴? 解得: ? ∴f(x)的解析式为 f(x)=2sin2x+2 3 cos2x. ? ? ? ?a sin +b cos =4, ?b=2 3, 6 6 ?
?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? (2)∵g(x)=f ? ? x ? =4sin ? 2 ? ? x ? ? ? =4sin ? ?2 x ? ? =-4sin ? 2 x ? ? . 6 3 3 ? 6 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?? ? ? ?? ?? ? ∴g(x)的增区间是函数 y=sin ? 2 x ? ? 的减区间.∴由 2kπ + ≤2x- ≤2kπ + 得 g(x) 3 ? 2 3 2 ? ?? ??? ? ? 的增区间为 ? k ?+ , k ? ? (k∈Z). 12 12 ? ? ?

1 mx2 x mx ? 1 -x = ,所以 f(x)= =m- ,由题知对任意不 x mx ? 1 mx ? 1 x 1 1 为零的实数 x, 都有 f(-x)=-f(x),即 m+ =-m+ 恒成立,所以 m=0. x x
20.解: (1)由题知 a?b= (2)由题知 a?b>0,所以

x >0,即 x(mx-1)>0,①当 m=0 时,x<0;②当 m>0 时, mx ? 1 1? 1? 1 1 ? ? ? x ? ? x>0;所以 x<0 或 x> ;③当 m<0 时, ? x ? ? x<0,所以 <x<0. m? m? m m ? ?
1 ; m

综上, 当 m=0 时,实数 x 的取值范围是 x<0;当 m>0 时, 实数 x 的取值范围是 x<0 或 x> 当 m<0 时, 实数 x 的取值范围是 21.解:(1)a?b=cos

1 <x<0. m

3x x 3x x ?cos -sin ?sin =cos2x. 2 2 2 2
2 2

3x x ? ? 3x x? ? |a+b|= ? cos ? cos ? ? ? sin ? sin ? = 2+2cos 2 x =2 cos2 x . 2 2? ? 2 2? ?
? ?? ∵x∈ ? 0, ? ,∴cosx≥0,∴|a+b|=2cosx. ? 2? (2)f(x)=cos2x-4λ cosx,即 f(x)=2(cosx-λ )2-1-2λ 2. ? ?? ∵x∈ ? 0, ? ,∴0≤cosx≤1. ? 2?

①当λ <0 时,当且仅当 cosx=0 时, f(x)取得最小值-1,这与已知矛盾; ②当 0≤λ ≤1 时,当且仅当 cosx=λ 时, f(x)取得最小值-1-2λ 2,由已知得-1-2λ 2=- 解得λ =

3 , 2

1 (负值舍去) ; 2

③当λ >1 时,当且仅当 cosx=1 时,f(x)取得最小值 1-4λ ,由已知得 1-4λ =-

3 , 2

5 解得λ = ,这与λ >1 相矛盾. 8
综上所述,λ =

1 即为所求. 2


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